高中數(shù)學(xué)必修5第一章解三角形全章教案

數(shù)學(xué)5第一章解三角形

章節(jié)總體設(shè)計(jì)

(一)課標(biāo)要求

本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最終落實(shí)

在解三角形的應(yīng)用上。通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)?shù)竭_(dá)以下學(xué)習(xí)目的：

(1)通過對隨意三角形邊長和角度關(guān)系的探究，駕馭正弦定理、余弦定理，并能

解決一些簡潔的三角形度量問題。

(2)可以嫻熟運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問和方法解決一些及測量和幾何計(jì)算有關(guān)

的生活實(shí)際問題。

(二)編寫意圖及特色

1.數(shù)學(xué)思想方法的重要性

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成局部，有利于學(xué)生加深數(shù)學(xué)學(xué)問的理

解和駕馭。

本章重視及內(nèi)容親密相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，并且在提出問題、思索解決問題的策

略等方面對學(xué)生進(jìn)展詳細(xì)示范、引導(dǎo)。本章的兩個主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理，它

們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的學(xué)問，

就是“在隨意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”，“假如已知兩個三角形的兩條對應(yīng)邊及

其所夾的角相等,那么這兩個三角形全”等。

教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學(xué)生從已有的幾何學(xué)問動身，提出探究性問題：”在

隨意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準(zhǔn)

確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“假如已知三角形的兩條邊及

其所夾的角，依據(jù)三角形全等的斷定方法，這個三角形是大小、形態(tài)完全確定的三角形.我們

仍舊從量化的角度來討論這個問題，也就是討論如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角

形的另一邊和兩個角的問題?！痹O(shè)置這些問題，都是為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

2.留意加強(qiáng)前后學(xué)問的聯(lián)絡(luò)

加強(qiáng)及前后各章教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)絡(luò)，留意復(fù)習(xí)和應(yīng)用己學(xué)內(nèi)容，并為后續(xù)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容做

好打算，能使整套教科書成為一個有機(jī)整體，進(jìn)步教學(xué)效益，并有利于學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)問的

學(xué)習(xí)和穩(wěn)固。

本章內(nèi)容處理三角形中的邊角關(guān)系，及初中學(xué)習(xí)的三角形的邊及角的根本關(guān)系，已知三

角形的邊和角相等斷定三角形全等的學(xué)問有著親密聯(lián)絡(luò)。教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓

學(xué)生從已有的幾何學(xué)問動身，提出探究性問題“在隨意三角形中有大邊對大角，小邊對小角

的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內(nèi)容

時，提出探究性問題“假如已知三角形的兩條邊及其所夾的角,依據(jù)三角形全等的斷定方法，

這個三角形是大小、形態(tài)完全確定的三角形.我們?nèi)耘f從量化的角度來討論這個問題，也就

是討論如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個角的問題?！边@樣，從

聯(lián)絡(luò)的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對于過去的學(xué)問有了新的相識，同時使新學(xué)

問建立在已有學(xué)問的堅(jiān)實(shí)根底上，形成良好的學(xué)問構(gòu)造。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教科書把“解三角形”這局部內(nèi)容支配在數(shù)學(xué)五的第一局部內(nèi)容，位置相

對靠后，在此內(nèi)容之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面對量、直線和圓的方程等及本章學(xué)問

聯(lián)絡(luò)親密的內(nèi)容,這使這局部內(nèi)容的處理有了比擬多的工具，某些內(nèi)容可以處理得更加簡潔。

比方對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，須要對于三角形進(jìn)展討論，方

法不夠簡潔，教科書則用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力。

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理及勾股定理的比擬中，提出了一個

思索問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？"，并進(jìn)而指出，“從余弦定理以

及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，假如一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對

的角是直角；假如小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；假如大于第三邊的平方,

那么第三邊所對的角是銳角.從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣

3.重視加強(qiáng)意識和數(shù)學(xué)理論實(shí)力

學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，而如今比擬突出的兩個問題是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不

強(qiáng)，創(chuàng)建實(shí)力較弱。學(xué)生往往不能把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)問應(yīng)用

到實(shí)際問題中去，對所學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問的實(shí)際背景理解不多，雖然學(xué)朝氣械地仿照一些常見數(shù)學(xué)

問題解法的實(shí)力較強(qiáng)，但當(dāng)面臨一種新的問題時卻方法不多，對于諸如視察、分析、歸納、

類比、抽象、概括、猜測等發(fā)覺問題、解決問題的科學(xué)思維方法理解不夠。針對這些實(shí)際狀

況，本章重視從實(shí)際問題動身，引入數(shù)學(xué)課題，最終把數(shù)學(xué)學(xué)問應(yīng)用于實(shí)際問題。

（三）教學(xué)內(nèi)容及課時支配建議

1.1正弦定理和余弦定理（約3課時）

1.2應(yīng)用舉例（約4課時）

1.3實(shí)習(xí)作業(yè)（約1課時）

（四）評價建議

1.要在本章的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)依據(jù)教學(xué)實(shí)際，啟發(fā)學(xué)生不斷提出問題，討論

問題。在對于正弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應(yīng)當(dāng)因勢利導(dǎo)，依據(jù)詳

細(xì)教學(xué)過程中學(xué)生思索問題的方一直啟發(fā)學(xué)生得到自己對于定理的證明。如對于

正弦定理，可以啟發(fā)得到有應(yīng)用向量方法的證明，對于余弦定理則可以啟發(fā)得到

三角方法和解析的方法。在應(yīng)用兩個定理解決有關(guān)的解三角形和測量問題的過程

中，一個問題也經(jīng)常有多種不同的解決方案,應(yīng)當(dāng)激勵學(xué)生提出自己的解決方法,

并對于不同的方法進(jìn)展必要的分析和比擬。對于一些常見的測量問題甚至可以激

勵學(xué)生設(shè)計(jì)應(yīng)用的程序，得到在實(shí)際中可以干脆應(yīng)用的算法。

2.適當(dāng)支配一些實(shí)習(xí)作業(yè)，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步穩(wěn)固所學(xué)的學(xué)問，進(jìn)步學(xué)生分析問題

的解決實(shí)際問題的實(shí)力、動手操作的實(shí)力以及用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)習(xí)過程和實(shí)習(xí)結(jié)果實(shí)力，增

加學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和數(shù)學(xué)理論實(shí)力。教師要留意對于學(xué)生實(shí)習(xí)作業(yè)的指導(dǎo)，包括對于實(shí)

際測量問題的選擇，剛好訂正實(shí)際操作中的錯誤，解決測量中出現(xiàn)的一些問題。

第1課時

課題:§1.1.1正弦定理

?教學(xué)目的

學(xué)問及技能:通過對隨意三角形邊長和角度關(guān)系的探究，駕馭正弦定理的內(nèi)容及其證明方法;

會運(yùn)用正弦定理及三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類根本問題。

過程及方法：讓學(xué)生從已有的幾何學(xué)問動身,共同探究在隨意三角形中，邊及其對角的關(guān)系，

引導(dǎo)學(xué)生通過視察，推導(dǎo)，比擬，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)展定理根本應(yīng)用的理

論操作。

情感看法及價值觀：培育學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算實(shí)力；培育學(xué)生合

情推理探究數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想實(shí)力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等學(xué)問

間的聯(lián)絡(luò)來表達(dá)事物之間的普遍聯(lián)絡(luò)及辯證統(tǒng)一。

?教學(xué)重點(diǎn)

正弦定理的探究和證明及其根本應(yīng)用。

?教學(xué)難點(diǎn)

已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時推斷解的個數(shù)。

?教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

如圖1.1-1,固定AABC的邊CB及/B,使邊AC圍著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動。/A

思索：ZC的大小及它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？/\

明顯，邊AB的長度隨著其對角/C的大小的增大而增大。能否\

用一個等式把這種關(guān)系準(zhǔn)確地表示出來？C

B

II.講授新課

［探究討論］（圖1.1-1）

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來討論直角三角形中，角及邊的等

式關(guān)系。如圖1.1-2,在RtAABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,依據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函

數(shù)的定義有—=sinJ-=sin5

cC

A

abc

則-；----—；=-；-----=C

sin力sin夕sinC

abc

從而在直角三角形ABC中,

sin/sin/?sinC

（圖1.1-2）

思索：那么對于隨意的三角形，以上關(guān)系式是否仍舊成立？

（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種狀況：

如圖1.1-3,當(dāng)AABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD,依據(jù)隨意角三角函數(shù)

的定義，有CD=asin^=Z?sinJJiJ—~~-=――-

sinJsin夕

同理可得c_b

sinCsinB

a_b_c

sinJsin夕sinC

（圖1.1-3）

思索：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來討論

這個問題。

（證法二）：過點(diǎn)A作C

由向量的加法可得AB=AC+CB

則j-AB=j-UC+CB）

csinA^asinC,即高=募

b_c

同理，過點(diǎn)C作可得

sin5sinC

“habc

從而—7=

sin/sin//sine

類似可推出，當(dāng)AABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍舊成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

［理解定理］

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊及其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即

存在正數(shù)k使己=女$1114,b=ksinB,c=ksinC；

，八abcMg丁abcbac

（2）\=；=；\）|J；=；,；=；，；=；

sinJsin夕sinCsinJsin夕sinCsin夕sinJsinC

從而知正弦定理的根本作用為：

①已知三角形的隨意兩角及其一邊可以求其他邊，如4=如嗎；

sin夕

②已知三角形的隨意兩邊及其中一邊的對角可以求其他角的正弦值,如sinJ=—siru?。

b

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

［例題分析］

例1.在AABC中，已知4=32.0°,3=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

解：依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

依據(jù)正弦定理，

依據(jù)正弦定理，

評述：對于解三角形中的困難運(yùn)算可運(yùn)用計(jì)算器。

例2.在AABC中，已知a=20cm,Z>=28cm,A=40°,解三角形（角度準(zhǔn)確到1°,邊

長準(zhǔn)確到1cm）o

解：依據(jù)正弦定理，

因?yàn)?°<3<180°,所以3a64°,或3Ml6°.

⑴當(dāng)3。64°時，

⑵當(dāng)3對16°時,

評述：應(yīng)留意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。

UI.課堂練習(xí)

第4頁練習(xí)第1（1）、2（1）題。

［補(bǔ)充練習(xí)］已知AABC中，sinJ:sinj?:sin6'=l:2:3,求a:6:c

（答案：1：2：3）

IV.課時小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)）

b_ca+b+c

（1）定理的表示形式：「三=A（A>0）

sin/sin2?sinCsin/+sin夕+sinC

^La=ksinA,b=ksinB,c=ksinC{k>0)

(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

V.課后作業(yè)

第10頁［習(xí)題1.1］A組第1(1)、2(1)題。

第2課時

課題:§1.1.2余弦定理

?教學(xué)目的

學(xué)問及技能：駕馭余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運(yùn)用余弦定理

解決兩類根本的解三角形問題。

過程及方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過理論演算駕馭運(yùn)用余弦定理

解決兩類根本的解三角形問題

情感看法及價值觀：培育學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算實(shí)力；通過三角函

數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等學(xué)問間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)絡(luò)及辯證統(tǒng)一。

?教學(xué)重點(diǎn)

余弦定理的發(fā)覺和證明過程及其根本應(yīng)用；

?教學(xué)難點(diǎn)

勾股定理在余弦定理的發(fā)覺和證明過程中的作用。

?教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

c

如圖1.1-4,在AABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,/\

已知a,b和/C,求邊cb/

Ayc\"B

(圖1.1-4)

II.講授新課

［探究討論］

聯(lián)絡(luò)已經(jīng)學(xué)過的學(xué)問和方法，可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求，發(fā)覺因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來討論這個問題。

如圖1.1-5,設(shè)CB=a,CA=b,AB=c,那么c=a—8,貝!］b

|c|=c-c=^a-b^(a-b^

=a,a+b、b—2a,bCaB

=忖+|/?|-2a-b

從而/=/+一2a6cosc(圖1.1-5)

同理可證/=b2-^-c2-2bccosA

于是得到以下定理

余弦定理:三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊及它們的夾角

的余弦的積的兩倍。即a2=+c2-2bccosA

思索：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由

三邊求出一角？

（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

［理解定理］

從而知余弦定理及其推論的根本作用為：

①已知三角形的隨意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思索：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？

（由學(xué)生總結(jié)）若AABC中，C=90°,貝|cosC=0,這時/二4+^

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

［例題分析］

例1.在AABC中，已知。=2百，。="+0,8=60°,求b及A

⑴解：Vb2=a2+c2-2accosB

=（2后+（V6+72）2-2.273.（5/6+72）cos45°

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:

,b2+c2-a2(2①了+(6+應(yīng)產(chǎn)_(26產(chǎn)1

⑵解法一:cosA=^r-=-2X2&X函+?)N

解法二：:sinA=，sinB-sin45°,

b2V2

又；A/6+V2>24+1.4=3.8,

：.a<c,即0°<A<90°,

評述：解法二應(yīng)留意確定A的取值范圍。

例2.在AABC中，已知a=134.6c〃z,b=81.8cm,c=161.7cm,解三角形

（見課本第7頁例4,可由學(xué)生通過閱讀進(jìn)展理解）

解：由余弦定理的推論得：

廿+?2―々2

cosA=

2bc

cosB=

2ca

UI.課堂練習(xí)

第8頁練習(xí)第1（1）、2（1）題。

［補(bǔ)充練習(xí)］在AABC中，若a2=^+c2+6c,求角A（答案：A=120°）

IV.課時小結(jié)

（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例;

(2)余弦定理的應(yīng)用范圍：①.已知三邊求三角；②.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

V.課后作業(yè)

①課后閱讀：課本第8頁［探究及發(fā)覺］

②課時作業(yè)：第11頁［習(xí)題1.1］A組第3(1),4(1)題。

第3課時

課題:§1.1.3解三角形的進(jìn)一步討論

?教學(xué)目的

學(xué)問及技能：駕馭在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解

等情形；三角形各種類型的斷定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

過程及方法：通過引導(dǎo)學(xué)生分析，解答三個典型例子，使學(xué)生學(xué)會綜合運(yùn)用正、余弦定理,

三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問題。

情感看法及價值觀：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角

函數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必定聯(lián)絡(luò)及肯定條件下互相轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映

了事物之間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)。

?教學(xué)重點(diǎn)

在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；

三角形各種類型的斷定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

?教學(xué)難點(diǎn)

正、余弦定理及三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。

?教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

［創(chuàng)設(shè)情景］

思索：在AABC中，已知a=22o77,b=25cm,力=133°,解三角形。

(由學(xué)生閱讀課本第9頁解答過程)

從今題的分析我們發(fā)覺，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條

件下會出現(xiàn)無解的情形。下面進(jìn)一步來討論這種情形下解三角形的問題。

II.講授新課

［探究討論］

例1.在AABC中，已知a,4/,討論三角形解的狀況

分析：先由sin6=史”且可進(jìn)一步求出B；

a

則。=180°_(/+5)

1.當(dāng)A為鈍角或直角時，必需a>6才能有且只有一解；否則無解。

2.當(dāng)A為銳角時，

假如那么只有一解；

假如a<6,那么可以分下面三種狀況來討論：

(1)若a>8sin/,則有兩解；

(2)若a=3sin/,則只有一解；

(3)若a<6sin4,則無解。

(以上解答過程詳見課本第910頁)

評述：留意在己知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當(dāng)A為銳角且

6sin4<a<6時，有兩解；其它狀況時則只有一解或無解。

[隨堂練習(xí)1]

(I)在AABC中，已知a=80,6=100,N/=45°,試推斷此三角形的解的狀況。

(2)在AABC中，若a=l,c=1,Z6'=40°,則符合題意的b的值有個。

(3)在AABC中，a=xcm,b=2cm,/6=45°,假如利用正弦定理解三角形有兩解，

求X的取值范圍。

(答案：(1)有兩解；(2)0；(3)2<x<20)

例2.在AABC中，已知a=7,8=5,c=3,推斷AABC的類型。

分析：由余弦定理可知

(留意：/是銳角WAABC是銳角三角形)

解：72>52+32,即a2>+c2,

[隨堂練習(xí)2]

(1)在AABC中，已知sin/:sin氏sinC=l:2:3,推斷AABC的類型。

(2)已知AABC滿意條件acos/=6cos6,推斷AABC的類型。

(答案：(1)AABC是鈍角三角形；(2)AABC是等腰或直角三角形)

例3.在AABC中，4=60°,6=1,面積為￡,求,，@+.的值

2siny4+sinz/+sm6

分析：可利用三角形面積定理S=(a6sinC=(acsin3=(z?csin/以及正弦定理

解：由S=；Z?csin/=—■得c=2,

貝ija?=6?+/一28ccos/=3,即@=囪，

從而------------------==2

sin/+sin6+sinCsin/

UI.課堂練習(xí)

(I)在AABC中，若a=55,8=16,且此三角形的面積S=220函，求角C

?2A2_2

(2)在AABC中，其三邊分別為a、b、c,且三角形的面積5=三蘭—,求角C

(答案：(1)60°或120°；(2)45°)

IV.課時小結(jié)

(1)在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形;

(2)三角形各種類型的斷定方法；

(3)三角形面積定理的應(yīng)用。

V.課后作業(yè)

(1)在AABC中，已知6=4,c=10,5=30°,試推斷此三角形的解的狀況。

(2)設(shè)x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，務(wù)實(shí)數(shù)x的取值范圍。

(3)在AABC中，力=60°,a=l,b+c=2,推斷AABC的形態(tài)。

(4)三角形的兩邊分別為3cm,5cm，它們所夾的角的余弦為方程5入2_7入-6=0的根，

求這個三角形的面積。

第4課時

課題:§2.2解三角形應(yīng)用舉例

?教學(xué)目的

學(xué)問及技能：可以運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問和方法解決一些有關(guān)測量間隔的實(shí)際問

題，理解常用的測量相關(guān)術(shù)語

過程及方法：首先通過奇妙的設(shè)疑，順當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)

合學(xué)生的實(shí)際狀況，采納“提出問題一引發(fā)思索一探究猜測一總結(jié)規(guī)律一反應(yīng)訓(xùn)練”

的教學(xué)過程，依據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計(jì)變式，同時通過

多媒體、圖形視察等直觀演示，扶植學(xué)生駕馭解法，可以類比解決實(shí)際問題。對于例2這樣

的開放性題目要激勵學(xué)生討論，開放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺問題并進(jìn)展適當(dāng)?shù)闹敢统C正

情感看法及價值觀：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好，并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；同時培育學(xué)生運(yùn)用

圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的實(shí)力

?教學(xué)重點(diǎn)

實(shí)際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實(shí)際問題的解

?教學(xué)難點(diǎn)

依據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖

?教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

1、［復(fù)習(xí)舊知］

復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、［設(shè)置情境］

請學(xué)生答復(fù)完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙

不行及的月亮離我們地球原委有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出

了兩者的間隔，是什么奇妙的方法探究到這個奇妙的呢？我們知道，對于未知的間隔、高

度等，存在著很多可供選擇的測量方案，比方可以應(yīng)用全等三角形、相像三角形的方法，或

借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測量問題的真實(shí)背景下，某些方法會不能

施行。如因?yàn)闆]有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限

性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今日我們開場學(xué)習(xí)正弦定理、余弦

定理在科學(xué)理論中的重要應(yīng)用，首先討論如何測量間隔。

II.講授新課

(1)解決實(shí)際測量問題的過程一般要充分仔細(xì)理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問題

里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解

［例題講解］

（2）例1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的間隔，測量者在A的同

側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測出AC的間隔是55m,NBAC=51。，ZACB=75°?

求A、B兩點(diǎn)的間隔（準(zhǔn)確到0.1m）

啟發(fā)提問1：AABC中，依據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運(yùn)用哪個定理比擬適當(dāng)？

啟發(fā)提問2：運(yùn)用該定理解題還須要那些邊和角呢？請學(xué)生答復(fù)。

分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個不行到達(dá)的點(diǎn)之間的間隔的問題，題目

條件告知了邊AB的對角，AC為已知邊，再依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很簡潔依據(jù)兩個已知

角算出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。

解：依據(jù)正弦定理，得

AB=ACsinZACB

sinZABC

a65.7（m）

答:A、B兩點(diǎn)間的間隔為65.7米

變式練習(xí)：兩燈塔A、B及海洋視察站C的間隔都等于akm,燈塔A在視察站C的北偏東

30°,燈塔B在視察站C南偏東60°,則A、B之間的間隔為多少？

教師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。

解略：V2akm

例2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不行到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量A、B兩點(diǎn)間間隔的方

法。

分析：這是例1的變式題，討論的是兩個不行到達(dá)的點(diǎn)之間的間隔測量問題。首先須要構(gòu)

造三角形，所以須要確定C、D兩點(diǎn)。依據(jù)正弦定理中已知三角形的隨意兩個內(nèi)角及一邊既

可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的間隔。

解：測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D,測得CD=a,并且在C、D兩點(diǎn)分別測得NBCA=a,

ZACD=p,ZCDB=7,NBDA=5,在△人口（2和八8口（2中，應(yīng)用正弦定理得

AC=Qsin(y+b)=〃sin(y+b)

sin[180°-(/7+/+^)]sin(.+y+5)

BC=〃siny=asiny

sin[180°-(?+^+/)]sin(a+夕+y)

計(jì)算出AC和BC后，再在AABC中,應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的間隔

2

AB=VAC+BC2-2CxBCcosa

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進(jìn)展比照、分析。

變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測得NBCA=60°,NACD=30°,

ZCDB=45°,ZBDA=60

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20幾

評注：可見，在討論三角形時，敏捷依據(jù)兩個定理可以找尋到多種解決問題的方案，但有些

過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選

擇最佳的計(jì)算方式。

學(xué)生閱讀課本4頁，理解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。

UI.課堂練習(xí)

課本第13頁練習(xí)第1、2題

IV.課時小結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

(1)分析：理解題意，分清已知及未知，畫出示意圖

(2)建模：依據(jù)已知條件及求解目的，把已知量及求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建

立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解

V.課后作業(yè)

課本第19頁第1、2、3題

第5課時

課題:§2.2解三角形應(yīng)用舉例

?教學(xué)目的

學(xué)問及技能：可以運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問和方法解決一些有關(guān)底部不行到達(dá)的物體

高度測量的問題

過程及方法：本節(jié)課是解三角形應(yīng)用舉例的延長。采納啟發(fā)及嘗試的方法，讓學(xué)生在溫故知

新中學(xué)會正確識圖、畫圖、想圖，扶植學(xué)生逐步構(gòu)建學(xué)問框架。通過3道例題的支配和練習(xí)

的訓(xùn)練來穩(wěn)固深化解三角形實(shí)際問題的一般方法。教學(xué)形式要堅(jiān)持引導(dǎo)一討論一歸納，

目的不在于讓學(xué)生記住結(jié)論，更多的要養(yǎng)成良好的討論、探究習(xí)慣。作業(yè)設(shè)計(jì)思索題，供應(yīng)

學(xué)生更廣袤的思索空間

情感看法及價值觀：進(jìn)一步培育學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識及視察、歸納、類比、概括

的實(shí)力

?教學(xué)重點(diǎn)

結(jié)合實(shí)際測量工具，解決生活中的測量高度問題

?教學(xué)難點(diǎn)

能視察較困難的圖形，從中找到解決問題的關(guān)鍵條件

?教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

提問：現(xiàn)實(shí)生活中,人們是怎樣測量底部不行到達(dá)的建筑物高度呢？又怎樣在程度飛行的飛

機(jī)上測量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶兀拷袢瘴覀兙蛠砉餐懻撨@方面的問題

n.講授新課

［范例講解］

例3、AB是底部B不行到達(dá)的一個建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測量建筑物高

度AB的方法。

分析：求AB長的關(guān)鍵是先求AE,在AACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的間隔CA,

再測出由C點(diǎn)視察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長。

解：選擇一條程度基線HG,使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上。由在H、G兩點(diǎn)用測角儀

器測得A的仰角分別是0、(3,CD=a,測角儀器的高是h,那么，在AACD中，依據(jù)正

弦定理可得

AC="sin夕

sin(a一夕)

AB=AE+h

=ACsincr+h

—asinasin,十卜

sin(a-P)

例4、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角口=54°40',在塔底C處測得A

處的俯角p=50°T=已知鐵塔BC局部的高為27.3m,求出山高CD(準(zhǔn)確到1m)

師:依據(jù)已知條件,大家能設(shè)計(jì)出解題方案嗎？(給時間給學(xué)生討論思索)若在AABD中求

CD,則關(guān)鍵須要求出哪條邊呢？

生：需求出BD邊。

師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再依據(jù)NBAD=c求得。

解:在AABC中，NBCA=90°+/,NABC=90°-tz,ZBAC=?-尸，NBAD=(z.依據(jù)正

弦定理，

而2.?BCsin(90°+￡)_BCcos0

m以Ao=--；-----------------

sin(a一夕)sin(a一夕)

解RtAABD中，得BD=ABsinZBAD=尤cos丑sina

sin(a-P)

將測量數(shù)據(jù)代入上式，得

27.3cos50°l,sin54°40,

BD=----------；--------——

sin(5440'-50;1')

=177(m)

CD=BD-BC-177-27.3=150(m)

答:山的高度約為150米.

師：有沒有別的解法呢？

生：若在AACD中求CD,可先求出AC。

師：分析得很好，請大家接著思索如何求出AC?

生：同理，在AABC中，依據(jù)正弦定理求得。(解題過程略)

例5、如圖,一輛汽車在一條程度的馬路上向正東行駛，到A處時測得馬路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D

在東偏南15°的方向上，行駛5km后到達(dá)B處,測得此山頂在東偏南25°的方向上,仰角為8°,

求此山的高度CD.

師：欲求出CD,大家思索在哪個三角形中討論比擬合適呢？

生：在ABCD中

師：在ABCD中，已知BD或BC都可求出CD,依據(jù)條件，易計(jì)算出哪條邊的長？

生：BC邊

解:在AABC中，/A=15°,/C=25°-15°=10°,依據(jù)正弦定理,

ABsmA5sinl5

sinCsin10

=7.4524(km)

CD=BCxtanZDBOBCxtan8°^1047(m)

答:山的高度約為1047米

in.課堂練習(xí)

課本第15頁練習(xí)第1、2、3題

W.課時小結(jié)

利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學(xué)會審題及依據(jù)題意畫方位圖，要懂得從所給的

背景資料中進(jìn)展加工、抽取主要因素，進(jìn)展適當(dāng)?shù)暮喕?/p>

V.課后作業(yè)

1、課本第19頁練習(xí)第6、7、8題

2、為測某塔AB的高度，在一幢及塔AB相距20m的樓的樓頂處測得塔頂A的仰角為30°,

測得塔基B的俯角為45°,則塔AB的高度為多少m?

：20H---------(m)

3

第6課時

課題:§2.2解三角形應(yīng)用舉例

?教學(xué)目的

學(xué)問及技能：可以運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問題

過程及方法：本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)對解法有了根本的理解,

這節(jié)課應(yīng)通過綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)實(shí)力。除了支配課本上的例1,還針對性地選擇了既

具典型性有具啟發(fā)性的2道例題，強(qiáng)調(diào)學(xué)問的傳授更重實(shí)力的浸透。課堂中要充分表達(dá)學(xué)生

的主體地位，重過程，重討論，教師通過導(dǎo)疑、導(dǎo)思讓學(xué)生有效、主動、主動地參及到探究

問題的過程中來，逐步讓學(xué)生自主發(fā)覺規(guī)律，舉一反三。

情感看法及價值觀：培育學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的實(shí)力，并在教學(xué)過

程中激發(fā)學(xué)生的探究精神。

?教學(xué)重點(diǎn)

能依據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系

?教學(xué)難點(diǎn)

敏捷運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題

?教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

［創(chuàng)設(shè)情境］

提問：前面我們學(xué)習(xí)了如何測量間隔和高度，這些事實(shí)上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和

角求其余邊的問題。然而在實(shí)際的航海生活中，人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面

上如何確保輪船不迷失方向，保持肯定的航速和航向呢？今日我們接著討論這方面的測量問

題。

II.講授新課

［范例講解］

例6,如圖，一艘海輪從A動身，沿北偏東75。的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然后

從B動身，沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后到達(dá)海島C.假如下次航行干脆從A動身到

達(dá)C,此船應(yīng)當(dāng)沿怎樣的方向航行，須要航行多少間隔？（角度準(zhǔn)確到0.1°，間隔準(zhǔn)確到O.Oln

mile）

學(xué)生看圖思索并講解并描述解題思路

教師依據(jù)學(xué)生的答復(fù)歸納分析：首先依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對的角/ABC,

即可用余弦定理算出AC邊，再依據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角/CAB。

解：在AABC中，ZABC=180°-75°+32°=137°,依據(jù)余弦定理，

AC=4AB^~+^C^-2AB^<^C^<COS_2ABC

-113.15

依據(jù)正弦定理，

sinZCAB="sinZABC

AC

?0.3255,

所以ZCAB=19.0°,

75°-ZCAB=56.0°

答:此船應(yīng)當(dāng)沿北偏東56.1°的方向航行，須要航行113.15nmile

補(bǔ)充例1、在某點(diǎn)B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為6,沿BE方向前進(jìn)30m,至點(diǎn)C

處測得頂端A的仰角為26,再接著前進(jìn)106m至D點(diǎn)，測得頂端A的仰角為46,求。

的大小和建筑物AE的高。

師：請大家依據(jù)題意畫出方位圖。

生：上臺板演方位圖（上圖）

教師先引導(dǎo)和激勵學(xué)生主動思索解題方法，讓學(xué)生動手練習(xí)，請三位同學(xué)用三種不同方法板

演，然后教師補(bǔ)充講評。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在AACD中，

AC=BC=30,

AD=DC=log,

/ADC=180°-46,

因?yàn)閟in40=2sin20cos20

77

...cos26=—，得29=30

2

0=15

在RtAADE中，AE=ADsin60°=15

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

解法二：(設(shè)方程來求解)設(shè)DE=x,AE=h

在RtAACE中,(10百+xy+h2=302

在RtAADE中,x2+h②=(10月產(chǎn)

兩式相減，得x=5V§\h=15

.,.在RtAACE中,tan20=------------=

10V3+x3

.?.26=30°,6=15°

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

解法三：(用倍角公式求解)設(shè)建筑物高為AE=8,由題意，得

ZBAC=6?,/CAD=2，，

AC=BC=30m,AD=CD=106m

Y

在RtAACE中，sin26=——............①

30

4

在RtAADE中，sin46=一三，------②

10J3

仃

②+①得cos26>=—,26?=30°,6>=15°,AE=ADsin60°=15

2

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

補(bǔ)充例2、某巡邏艇在A處發(fā)覺北偏東45°相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東

75°的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇馬上以14海里/小時的速度沿著直

線方向追去，問巡邏艇應(yīng)當(dāng)沿什么方向去追？須要多少時間才追逐上該走私船？

師：你能依據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖建立數(shù)學(xué)模型

分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即須要引入時間這個參變量。

解:如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x,AB=14x,AC=9,

ZACB=75°+45°=120°

.-.(14x)2=92+(10X)2-2x9x10xcosl20°

c3Q

化簡得32x2-30x-27=0,即x=—，或x=-----(舍去)

216

所以BC=10x=15,AB=14x=21,

▽中石?/pgBCsin120°15舊5百

又因?yàn)閟inZBAC=---------------=一x—=------

AB21214

NBAC=38°13',或NBAC=141°47'（鈍角不合題意，舍去）,

.?.38°13,+45°=83°13,

答：巡邏艇應(yīng)當(dāng)沿北偏東83°13'方向去追，經(jīng)過1.4小時才追逐上該走私船.

評注：在求解三角形中，我們可以依據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的

應(yīng)用題，必需檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解

UI.課堂練習(xí)

課本第16頁練習(xí)

W.課時小結(jié)

解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種狀況：（1）已知量及未知量全部集中在一個三

角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）己知量及未知量涉及兩個或幾個三角形,

這時須要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先討論，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。

V.課后作業(yè)

1、課本第20頁練習(xí)第9、10、11題

2、我艦在敵島A南偏西50。相距12海里的B處，發(fā)覺敵艦正由島沿北偏西10。的方向以10

海里/小時的速度航行.問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦？（角

度用反三角函數(shù)表示）

第7課時

課題:§2.2解三角形應(yīng)用舉例

?教學(xué)目的

學(xué)問及技能：可以運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問題，駕

馭三角形的面積公式的簡潔推導(dǎo)和應(yīng)用

過程及方法：本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，奇妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時總結(jié)出該

公式的特點(diǎn)，按部就班地詳細(xì)運(yùn)用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題表達(dá)了前面所學(xué)學(xué)問

的生動運(yùn)用，教師要放手讓學(xué)生探索，使學(xué)生在詳細(xì)的論證中敏捷把握正弦定理和余弦定理

的特點(diǎn)，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行駕馭了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開闊思維，

有利地進(jìn)一步打破難點(diǎn)。

情感看法及價值觀：讓學(xué)生進(jìn)一步穩(wěn)固所學(xué)的學(xué)問，加深對所學(xué)定理的理解，進(jìn)步創(chuàng)新實(shí)力；

進(jìn)一步培育學(xué)生討論和發(fā)覺實(shí)力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的勝利體驗(yàn)

?教學(xué)重點(diǎn)

推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡潔的相關(guān)題目

?教學(xué)難點(diǎn)

利用正弦定理、余弦定理來求證簡潔的證明題

?教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

［創(chuàng)設(shè)情境］

師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今日我們來學(xué)習(xí)它的另一個表達(dá)公式。在

AABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h”、七、hc,那么它們?nèi)绾斡靡阎吅?/p>

角表示？

生：ha=bsinC=csinB

hb=csinA=asinC

hc=asinB=bsinaA

師：依據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公式S=」ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h°=bsinC代入，

2

可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=-absinC,大家能推出其它的幾個公式嗎？

2

生：同理可得，S=—bcsinA,S=—acsinB

22

師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的

面積呢？

生：如能知道三角形的隨意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解

II.講授新課

［范例講解］

例7、在AABC中，依據(jù)下列條件，求三角形的面積S(準(zhǔn)確到O.lcn?)

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;

(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;

(3)已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，及解三角形問題有親密的關(guān)系，

我們可以應(yīng)用解三角形面積的學(xué)問，視察已知什么，尚缺什么？求出須要的元素，就可以求

出三角形的面積。

解：(1)應(yīng)用S二工acsinB,得

2

S=1X14.8x23.5xsinl48.5°?90.9(cm2)

(2)依據(jù)正弦定理，

c=

sinB

S=-bcsinA=-b2sinCsinA

22sinB

A=18O°-(B+C)=180°-(62.7°+65.8°)=51.5°

sin65.8sin51.5

S=-x3.162x~4.0(cm2)

2sin62.7

(3)依據(jù)余弦定理的推論，得

c2+a2-b~

cosB=-----------------

lea

-0.7697

sinB=Vl-cos2B~71-0.76972-0.6384

應(yīng)用S=—acsinB,得

2

12

s--x41.4x38.7x0.6384-511.4(cm2)

例8、如圖,在某市進(jìn)展城市環(huán)境建立中，要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園，經(jīng)過測量得

到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？(準(zhǔn)確到

0.1cm2)?

師：你能把這一實(shí)際問題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？

生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。

由學(xué)生解答，教師巡察并對學(xué)生解答進(jìn)展講評小結(jié)。

解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,依據(jù)余弦定理的推論，

c2+a1-b2

cosB=-----------------

2ca

222

127+68-88OC

=-----------------------=0.7532

2x127x68

sinB=Vl-0.75322x0.6578

應(yīng)用S=—acsinB

2

1

S^-x68x127x0.6578~2840