3.2.2雙曲線簡單的幾何性質(zhì)（一）課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

3.2.2雙曲線簡單的幾何性質(zhì)(一)焦點F到漸近線距離為b定義圖象方程焦點a.b.c的關系||MF1|-|MF2||=2a（0

<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)復習：一、研究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1、范圍xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)新授課xy-aa2.對稱性:O從圖形上看，雙曲線關于x軸、y軸、原點對稱.

從方程上看：

(1)把x換成-x方程不變，圖象關于

軸對稱；

(2)把y換成-y方程不變，圖象關于

軸對稱；

(3)把x換成-x，同時把y換成-y方程不變，

圖象關于

成中心對稱。y

x

原點

坐標軸是雙曲線的對稱軸,原點是雙曲線的對稱中心.雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心.新授課3、頂點（1）雙曲線與對稱軸的交點，叫做雙曲線的頂點xyo-bb-aa如圖，線段叫做雙曲線的實軸，它的長為2a,a叫做實半軸長；線段叫做雙曲線的虛軸，它的長為2b,b叫做雙曲線的虛半軸長（2）實軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線（3）3.頂點:xyO-bb-aa注：實軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線.新授課M(x,y)4、漸近線N(x,y')Q慢慢靠近xyoab實際上，雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交．探究新知考點二雙曲線的標準方程的求法2.與雙曲線共漸近線的雙曲線方程可設為:3.與雙曲線共焦點的雙曲線方程可設為:1.當所求雙曲線的焦點位置無法確定時，其方程可設為:4.以直線

為漸近線的雙曲線方程可設為:5、離心率離心率。c>a>0e>1e是表示雙曲線開口大小的一個量,e越大開口越大（1）定義：（2）e的范圍：（3）e的含義：雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小雙曲線的焦距與實軸長的比,叫做雙曲線的離心率.∵c>a>0∴e>1(1)定義：(2)e的范圍：(3)e的含義：(4)等軸雙曲線的離心率e=?5、離心率x2－y2＝λ(λ≠0)y＝±x2axyo-aab-b（1）范圍:（2）對稱性:關于x軸、y軸、原點都對稱（3）頂點:(0,-a)、(0,a)（4）漸近線:（5）離心率:小結(jié)或或關于坐標軸和原點都對稱性質(zhì)雙曲線范圍對稱性

頂點漸近線離心率圖象例1:

求雙曲線的實半軸長,虛半軸長,焦點坐標,離心率、漸近線方程。解：把方程化為標準方程可得:實半軸長a=4虛半軸長b=3半焦距c=焦點坐標是(0,-5),(0,5)離心率:漸近線方程:14416922=-xy1342222=-xy53422=+45==ace題型一：幾何性質(zhì)題型講解變式:1、若雙曲線的漸近線方程為則雙曲線的離心率為

。題型二：幾何性質(zhì)的應用例2:48例題

求出下列雙曲線的漸近線方程，并歸納出一般結(jié)論．題型三：求雙曲線標準方程例3:法二：巧設方程,運用待定系數(shù)法.⑴設雙曲線方程為,法二：設雙曲線方程為∴雙曲線方程為∴,解之得k=4,1、“共漸近線”的雙曲線的應用λ>0表示焦點在x軸上的雙曲線；λ<0表示焦點在y軸上的雙曲線?？偨Y(jié)：(5)漸近線為y＝kx的雙曲線方程可設為k2x2－y2＝λ(λ≠0)．(6)漸近線為ax±by＝0的雙曲線方程可設為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).k2x2－y2＝λ(λ≠0)a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)題型四：離心率p·e2＋q·e＋r＝02．求雙曲線離心率的取值范圍，通常構(gòu)造不等式求得，特別注意雙曲線離心率

．e∈(1，＋∞)(3)利用方程求．若得到的是關于a，c的齊次方程，即p·c2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關于e的方程

求解．取值范問題變式：設△ABC為等腰三角形，∠ABC=120°,則以A、B為焦點且過點C的雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.B2.過頂點A作x軸的垂線,它與其中一條漸近線的交點為S,則lSAl=___，lOSl=___，點S的坐標為__________。1.過焦點F作漸近線的垂線，垂足為H，則lFHl=___，lOHl=___，點H的坐標為__________.yoFHbcabayoFSbcabc特殊性1——雙曲線中“漸近線”的性質(zhì)A雙曲線中“漸近線”性質(zhì)的拓展PMN性質(zhì)1:QR12=+byax222（a＞b＞0）12222=-byax(a＞0b＞0)222=+ba(a＞0b＞0)c222=-ba(a＞b＞0)c橢圓雙曲線方程abc關系圖象橢圓與雙曲線的比較yXF10F2MXY0F1F2p小結(jié)關于x軸、y軸、原點對稱圖形方程范圍對稱性頂點離心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）關于x軸、y軸、原點對稱漸近線..yB2A1A2B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)3.2.2雙曲線簡單的幾何性質(zhì)

(二)關于x軸、y軸、原點對稱圖形方程范圍對稱性頂點離心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）關于x軸、y軸、原點對稱漸進線..yB2A1A2B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)復習：yB2A1A2B1

xO..F2F1yxOA2B2A1B1..F1F2關于x軸、y軸、原點對稱圖形方程范圍對稱性頂點離心率A1（-a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）F1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0)關于x軸、y軸、原點對稱A1（-a，0），A2（a，0）漸進線無1、“共漸近線”的雙曲線λ>0表示焦點在x軸上的雙曲線；λ<0表示焦點在y軸上的雙曲線。2、“共焦點”的雙曲線（1）與橢圓有共同焦點的雙曲線方程表示為（2）與雙曲線有共同焦點的雙曲線方程表示為復習練習：

2、

求與橢圓有共同焦點，漸近線方程為的雙曲線方程。3、求以橢圓的焦點為頂點，以橢圓的頂點為焦點的雙曲線的方程。例1、雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高55m.選擇適當?shù)淖鴺讼?，求出此雙曲線的方程(精確到1m).

A′A0xC′CB′By131225例題講解xyOlF引例：點M(x,y)與定點F(c,0)的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)(c>a>0)，求點M的軌跡.M解：設點M(x,y)到l的距離為d，則即化簡得(c2－a2)x2－

a2y2=a2(c2

－a2)設c2－a2=b2，(a>0,b>0)故點M的軌跡為實軸、虛軸長分別為2a、2b的雙曲線.b2x2－a2y2=a2b2即就可化為:M點M的軌跡也包括雙曲線的左支.探究一：雙曲線的第二定義雙曲線的第二定義

平面內(nèi)，若定點F不在定直線l上，則到定點F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e(e>1)的點的軌跡是雙曲線。

定點F是雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.對于雙曲線是相應于右焦點F(c,0)的右準線類似于橢圓是相應于左焦點F′(-c,0)的左準線xyoFlMF′l′點M到左焦點與左準線的距離之比也滿足第二定義.想一想：中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的準線方程是怎樣的？xyoF相應于上焦點F(c,0)的是上準線相應于下焦點F′(-c,0)的是下準線F′xyOlF例：點M(x,y)與定點F(5,0)的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)，求點M的軌跡.M解：設點M(x,y)到l的距離為d，則即化簡得

故點M的軌跡為實軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線.9x2－16y2=144即M點M的軌跡也包括雙曲線的左支.求軌跡方程記得檢驗2.過頂點A作x軸的垂線,它與其中一條漸近線的交點為S,則lSAl=___，lOSl=___，點S的坐標為__________。1.過焦點F作漸近線的垂線，垂足為H，則lFHl=___，lOHl=___，點H的坐標為__________.yoFHbcabayoFSbcabc特殊性1——雙曲線中“漸近線”的性質(zhì)A雙曲線中“漸近線”性質(zhì)的拓展PMN性質(zhì)1:QR歸納總結(jié)1.雙曲線的第二定義

平面內(nèi)，若定點F不在定直線l上，則到定點F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e(e>1)的點的軌跡是雙曲線。

定點F是雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。2.雙曲線的準線方程對于雙曲線準線為對于雙曲線準線為注意:把雙曲線和橢圓的知識相類比.

一般地,若P(x0,y0)是橢圓(a>b>0)上任意一點,則點P到左焦點F1的距離為:

點P到右焦點F2的距離為:xyOF1P(x0,y0)F2|PF1|、|PF2|稱為焦半徑，|PF1|=a+ex0、|PF2|=a-ex0稱為焦半徑公式，當橢圓的焦點在y軸上時，焦半徑公式：

|PF1|=a+ey0、|PF2|=a-ey0焦半徑公式：復習例1.

設M（x1,y1)是雙曲線上一點,求M到雙曲線兩焦點F1，F(xiàn)2的距離.xyOlF2設M（x1,y1)到雙曲線兩焦點F1，F(xiàn)2相應的準線的距離為d1,d2.解：由橢圓的第二定義可知：F1如果點M在雙曲線右支上，絕對值符號怎樣去掉？如果點M在雙曲線左支上，絕對值符號怎樣去掉？雙曲線焦半徑公式及其記憶方法：F1F2絕對值內(nèi)看焦，左加右減;去絕對值看支，左負右正xy點M在右支上當x1>a時當x1<-a時點M在左支上練習.已知雙曲線的同一支線上不同的三A（x1,y1)

，

B(,6),C（x2,y2)

與焦點F（0，5）的距離成等差數(shù)列，求y1+y2=

.解：∵雙曲線為∴a2=12,b2=13∴c2=252.在雙曲線上任取兩點A,B，則線段AB就是雙曲線的弦，AB的長就是弦長.1.在幾何學中，若一線段的兩個端點都在曲線上，則該線稱作該曲線的弦.弦的概念橢圓與直線的位置關系及判斷方法判斷方法（代數(shù)法）?<0?=0?>0（1）聯(lián)立方程組（2）消去一個未知數(shù)（3）復習:相離相切相交探究二：直線與雙曲線的位置關系1)位置關系種類XYO種類:相離;相切;相交(分別為0個交點，一個交點，一個交點或兩個交點)2)位置關系與交點個數(shù)相離:0個交點相交:一個交點相交:兩個交點相切:一個交點(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2(m2+b2)=01.二次項系數(shù)為0時，L與雙曲線的漸近線平行或重合。重合：無交點；平行：有一個交點。2.二次項系數(shù)不為0時,上式為一元二次方程,Δ>0直線與雙曲線相交（兩個交點）

Δ=0直線與雙曲線相切

Δ<0直線與雙曲線相離3)判斷直線與雙曲線位置關系的操作程序把直線方程代入雙曲線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與雙曲線的漸進線平行相交（一個交點）

計算判別式>0=0<0相交相切相離②相切一點:

△=0③相離:△<0

注意:①相交兩點:

同側(cè)：＞0

異側(cè):＜0

一點:直線與漸進線平行△＞0特別注意直線與雙曲線位置關系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支。1.過點P(1,1)與雙曲線

只有共有_______條.

變式:將點P(1,1)改為1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎樣的?41.兩條;2.三條;3.兩條;4.零條.交點的一個直線XYO。概念練習題：（1,1）例.已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4,試討論實數(shù)k的取值范圍,使直線與雙曲線(1)沒有公共點;(2)有兩個公共點;(3)