專題04計(jì)數(shù)原理（考點(diǎn)串講）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（2020選修）

高二滬教版數(shù)學(xué)下冊(cè)期末考點(diǎn)大串講串講04計(jì)數(shù)原理01020403目

錄易錯(cuò)易混題型剖析考點(diǎn)透視押題預(yù)測(cè)九大易錯(cuò)易混經(jīng)典例題4道期末真題對(duì)應(yīng)考點(diǎn)練三大重難點(diǎn)題型典例剖析+技巧總結(jié)四大?？键c(diǎn)：知識(shí)梳理考點(diǎn)透視1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問(wèn)題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，尤其是分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，與分類(lèi)討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，用分類(lèi)的方法可以有效地將之分解，達(dá)到求解的目的．正確地分類(lèi)與分步是用好兩個(gè)原理的關(guān)鍵，即完成一件事到底是“分步”進(jìn)行還是“分類(lèi)”進(jìn)行，這是選用計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵．知識(shí)梳理2．排列與組合排列數(shù)與組合數(shù)計(jì)算公式主要應(yīng)用于求值和證明恒等式，其中求值問(wèn)題應(yīng)用連乘的形式，證明恒等式應(yīng)用階乘的形式．在證明恒等式時(shí)，要注意觀察恒等式左右兩邊的形式，基本遵循由繁到簡(jiǎn)的原則，有時(shí)也會(huì)從兩邊向中間靠攏．對(duì)于應(yīng)用題，則首先要分清是否有序，即是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題．3．排列數(shù)與組合數(shù)公式及性質(zhì)【例1】某外語(yǔ)組有9人,每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén),其中7人會(huì)英語(yǔ),3人會(huì)日語(yǔ),從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人,有

種不同的選法.(

)

A.10 B.20 C.21 D.40答案

B解析

由題可知,既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的有7+3-9=1(人),僅會(huì)英語(yǔ)的有6人,僅會(huì)日語(yǔ)的有2人.從僅會(huì)英、日語(yǔ)的人中各選1人有6×2種選法;從僅會(huì)英語(yǔ)與英、日語(yǔ)都會(huì)的人中各選1人有6×1種選法;僅會(huì)日語(yǔ)與英、日語(yǔ)都會(huì)的人中各選1人有2×1種選法.根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,共有6×2+6×1+2×1=

20(種)不同選法.題型一：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理題型剖析方法技巧使用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問(wèn)題,我們可以恰當(dāng)?shù)禺?huà)出示意圖或列出表格,使問(wèn)題更加直觀、清晰.【例2】在高三(1)班元旦晚會(huì)上,有6個(gè)演唱節(jié)目,4個(gè)舞蹈節(jié)目.(1)當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí),有多少種不同的節(jié)目安排順序?(2)當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí),有多少種不同的節(jié)目安排順序?(3)若已定好節(jié)目單,后來(lái)情況有變,需加上詩(shī)朗誦和快板2個(gè)節(jié)目,但不能改變?cè)瓉?lái)節(jié)目的相對(duì)順序,有多少種不同的節(jié)目演出順序?題型二：排列、組合的應(yīng)用解

(1)第1步,先將4個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁起來(lái),看成1個(gè)節(jié)目,與6個(gè)演唱節(jié)目一起排,有

=5

040(種)方法;第2步,再松綁,給4個(gè)節(jié)目排序,有

=24(種)方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,一共有5

040×24=120

960(種).(2)第1步,將6個(gè)演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”),一共有

=720(種)方法.×□×□×□×□×□×□×第2步,再將4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個(gè)節(jié)目中間(即圖中“×”的位置),這樣相當(dāng)于7個(gè)“×”選4個(gè)來(lái)排,一共有

=7×6×5×4=840(種).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,一共有720×840=604

800(種).方法技巧1.解決排列組合應(yīng)用題的一般步驟(1)認(rèn)真審題,弄清楚是排列(有序)還是組合(無(wú)序),還是排列與組合混合問(wèn)題.(2)抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征,準(zhǔn)確合理地利用兩個(gè)基本原理進(jìn)行“分類(lèi)與分步”.2.處理排列組合應(yīng)用題的規(guī)律(1)兩種思路:直接法,間接法.(2)兩種途徑:元素分析法,位置分析法.3.排列組合應(yīng)用題的常見(jiàn)類(lèi)型及解法(1)特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排的策略.(2)合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步的策略.(3)正難則反,等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略.(4)相鄰問(wèn)題捆綁法,不相鄰問(wèn)題插空法的策略.(5)元素定序,先排后除的策略.(6)排列、組合混合題先選后排策略.(7)復(fù)雜問(wèn)題構(gòu)造模型策略.【例3】將5個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盒子中,每個(gè)盒子中至少有1個(gè)球,若甲球必須放入第1個(gè)盒子中,則不同的放法種數(shù)是(

)A.120 B.72C.60 D.36答案

C【例4】(1)已知(1+ax2)6(a是正整數(shù))的展開(kāi)式中x8的系數(shù)小于120,則a=

.

(2)已知(5x-)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和是各二項(xiàng)式系數(shù)之和的16倍.①求n;②求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);③求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).題型三：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用(1)答案

1方法技巧應(yīng)用二項(xiàng)式定理解題要注意的問(wèn)題(1)通項(xiàng)表示的是第“k+1”項(xiàng),而不是第“k”項(xiàng).(2)展開(kāi)式中第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

與第k+1項(xiàng)的系數(shù),在一般情況下是不相同的,在具體求各項(xiàng)的系數(shù)時(shí),一般先處理符號(hào),對(duì)根式和指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心,以防出差錯(cuò).(3)通項(xiàng)表示二項(xiàng)展開(kāi)式中的任意項(xiàng),只要n與k確定,該項(xiàng)也隨之確定.對(duì)于一個(gè)具體的二項(xiàng)式,它的展開(kāi)式中的項(xiàng)Tk+1依賴于k.【例5】設(shè)(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值.(1)a0;(2)a1+a2+a3+a4+…+a100;(3)a1+a3+a5+…+a99;(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;(5)|a0|+|a1|+…+|a100|.方法技巧賦值法的應(yīng)用與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題,包括求二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、各二項(xiàng)式系數(shù)或各項(xiàng)的系數(shù)的和、奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和,主要解決方法是賦值法,通過(guò)觀察二項(xiàng)展開(kāi)式右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和所求式子的關(guān)系,確定給字母所賦的值,有時(shí)賦值后得到的式子比所求式子多一項(xiàng)或少一項(xiàng),此時(shí)要專門(mén)求出這一項(xiàng),而在求奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和時(shí),往往要兩次賦值,再由方程組求出結(jié)果.解析B易錯(cuò)點(diǎn)01不能正確理解題意致誤易錯(cuò)易混解易錯(cuò)點(diǎn)02忽視排列數(shù)公式的隱含條件致誤解析易錯(cuò)點(diǎn)03未關(guān)注組合數(shù)中字母的取值范圍致誤D解析56易錯(cuò)點(diǎn)04不能正確判斷是排列還是組合致誤解析120解析60易錯(cuò)點(diǎn)05重復(fù)、遺漏計(jì)算出錯(cuò)解解析C易錯(cuò)點(diǎn)06未能正確理解二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)致誤解易錯(cuò)點(diǎn)07未能正確轉(zhuǎn)化三項(xiàng)式問(wèn)題而致誤解析225易錯(cuò)點(diǎn)08混淆展開(kāi)式中的奇偶次項(xiàng)與奇偶數(shù)項(xiàng)致誤易錯(cuò)點(diǎn)09混淆二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式系數(shù)致誤1.（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）將2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)和1本語(yǔ)文書(shū)在書(shū)架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書(shū)相鄰的概率為

．

押題預(yù)測(cè)2.（2023春?青浦區(qū)期末）某校開(kāi)展“全員導(dǎo)師制”．有2名導(dǎo)師可供5位學(xué)生選擇，若每位學(xué)生必須也只能選取一名導(dǎo)師且每位導(dǎo)師最多只能被3位學(xué)生選擇，則不同的選擇方案共有____種(用數(shù)字作答)．

20

2104.（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）某人有4種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多)，要在如圖所示的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有_____種(用數(shù)字作答)．【解析】解：每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)，即用了四種顏色的燈進(jìn)行安裝，分3步進(jìn)行，第一步，A、B、C三點(diǎn)選三種顏色燈泡共有A43種選法；第二步，在A1、B1、C