2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

第二章平面解析幾何拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程人教B版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念,明確p的幾何意義;2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo),能根據(jù)條件求標(biāo)準(zhǔn)方程;3.能用拋物線方程解決一些相關(guān)實(shí)際問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1拋物線的定義定點(diǎn)F

定直線l過(guò)關(guān)自診1.定義中為什么加上條件“l(fā)不過(guò)F”?解

若點(diǎn)F在直線l上,滿足條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是過(guò)點(diǎn)F且垂直于l的直線,而不是拋物線.2.[北師大版教材習(xí)題]如圖,動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)A,且與定直線l相切,請(qǐng)指出圓心P的軌跡是什么,并說(shuō)明理由.解

圓心P的軌跡是以A為焦點(diǎn),以l為準(zhǔn)線的拋物線,理由是點(diǎn)P到定點(diǎn)A與到定直線l(不過(guò)點(diǎn)A)的距離相等,符合拋物線的定義.知識(shí)點(diǎn)2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是p.(

)(2)拋物線的開(kāi)口方向由一次項(xiàng)確定.(

)2.拋物線的準(zhǔn)線為直線x=-4,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A.x2=16y B.x2=8yC.y2=16x D.y2=8x√√C3.[人教A版教材習(xí)題改編]拋物線x2=y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

,準(zhǔn)線方程是

.

4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是拋物線,那么拋物線對(duì)應(yīng)的方程一定是二次函數(shù)嗎?解

拋物線對(duì)應(yīng)的方程不一定是二次函數(shù).如y2=4x是拋物線,但不是函數(shù),更不是二次函數(shù).重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】

分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,-1);解

因?yàn)辄c(diǎn)(-3,-1)在第三象限,所以設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2px(p>0),

(2)焦點(diǎn)為直線3x-4y-12=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).規(guī)律方法

1.用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟

2.注意事項(xiàng):當(dāng)拋物線的類型沒(méi)有確定時(shí),可設(shè)方程為y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),這樣可以減少討論情況的個(gè)數(shù).變式訓(xùn)練1[北師大版教材習(xí)題]根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)準(zhǔn)線方程為y=-;(2)焦點(diǎn)在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6.解

(1)x2=6y;(2)y2=12x或y2=-12x.探究點(diǎn)二拋物線定義的應(yīng)用【例2】

(1)已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),又有點(diǎn)A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).(2)平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.(方法二)由題意,動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,由于點(diǎn)F(1,0)到y(tǒng)軸的距離為1,則當(dāng)x<0時(shí),直線y=0(x<0)上的點(diǎn)適合條件;當(dāng)x≥0時(shí),可以看作是點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)與到直線x=-1的距離相等,故點(diǎn)P在以點(diǎn)F為焦點(diǎn),直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線上,其軌跡方程為y2=4x(x≥0).變式探究若將例2(1)中的點(diǎn)A(3,2)改為點(diǎn)(0,2),求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值.規(guī)律方法

1.拋物線的定義在解題中的作用,就是靈活地對(duì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化,另外要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用,如兩點(diǎn)之間線段最短,三角形中三邊間的不等關(guān)系,點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線垂線段最短等.2.解決軌跡為拋物線問(wèn)題的方法拋物線的軌跡問(wèn)題,既可以用軌跡法直接求解,也可以先將條件轉(zhuǎn)化,再利用拋物線的定義求解.后者的關(guān)鍵是找到滿足動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離且定點(diǎn)不在定直線上的條件,有時(shí)需要依據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化才能得到滿足拋物線定義的條件.變式訓(xùn)練2(1)已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切,且與定圓C:x2+(y+3)2=1外切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解

設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),半徑為r,由題意可得M到C(0,-3)的距離與到直線y=3的距離相等.由拋物線的定義可知,動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0,-3)為焦點(diǎn),以直線y=3為準(zhǔn)線的一條拋物線,其方程為x2=-12y.(2)[北師大版教材例題]已知拋物線y2=4x上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解

(方法一)由拋物線方程y2=4x,可得焦點(diǎn)F(1,0).所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)或(4,-4).(方法二)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2=4x上,得

=4x0.由拋物線方程y2=4x,可得其準(zhǔn)線方程為x=-1.由點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5可知,點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離也為5,即x0-(-1)=5,解得x0=4.將x0=4代入y2=4x,得

=16,即y0=±4.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)或(4,-4).探究點(diǎn)三拋物線的實(shí)際應(yīng)用【例3】

河上有一拋物線形拱橋,當(dāng)水面距拱橋頂5m時(shí),水面寬為8m,一小船寬4m,高2m,載貨后船露出水面上的部分高0.75m,問(wèn):水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少時(shí),小船開(kāi)始不能通航?解

如圖,以拱橋的拱頂為原點(diǎn),以過(guò)拱頂且平行于水面的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí),船開(kāi)始不能通航,設(shè)此時(shí)船面寬為AA',則

又知船露出水面上的部分高為0.75

m,所以h=|yA|+0.75=2(m),所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2

m時(shí),小船開(kāi)始不能通航.規(guī)律方法

首先確定與實(shí)際問(wèn)題相匹配的數(shù)學(xué)模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.此問(wèn)題中拱橋是拋物線型,因此可考慮利用拋物線的有關(guān)知識(shí)解決此問(wèn)題,其操作步驟可概括為:(1)建系:建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;(2)假設(shè):設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程;(3)計(jì)算:通過(guò)計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(4)求解:求出需要求出的量;(5)還原:還原到實(shí)際問(wèn)題中,從而解決實(shí)際問(wèn)題.變式訓(xùn)練3[人教A版教材習(xí)題]如圖,吊車梁的魚腹部分AOB是拋物線的一段,寬為7m,高為0.7m.根據(jù)圖中的坐標(biāo)系,求這條拋物線的方程.解

設(shè)所求拋物線的方程為x2=2py(p>0),依題意,知點(diǎn)B(3.5,0.7)在拋物線上,將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入方程x2=2py,得3.52=2p×0.7,解得2p=17.5,∴所求拋物線的方程為x2=17.5y.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練12345678910111213141516171.[探究點(diǎn)一]對(duì)拋物線x2=4y,下列描述正確的是(

)A.開(kāi)口向上,焦點(diǎn)為(0,1)A解析

∵拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y,∴2p=4,p=2,解得

=1,因此拋物線的焦點(diǎn)為(0,1),準(zhǔn)線為y=-1,可得該拋物線的開(kāi)口向上.12345678910111213141516172.[探究點(diǎn)一]拋物線y=2x2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是(

)C12345678910111213141516173.[探究點(diǎn)一]以x軸為對(duì)稱軸,頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是(

)A.y2=8x

B.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8yC解析

依題意設(shè)拋物線方程為y2=±2px(p>0).因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,所以p=4,所以2p=8,所以拋物線方程為y2=8x或y2=-8x.故選C.12345678910111213141516174.[探究點(diǎn)一、二]若拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P(2,y0)到其焦點(diǎn)的距離為4,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A.y2=2x B.y2=4x C.y2=6x

D.y2=8xD解析

拋物線y2=2px上一點(diǎn)P(2,y0)到焦點(diǎn)的距離等于到其準(zhǔn)線的距離,即為4,∴

+2=4,解得p=4,∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x.故選D.12345678910111213141516175.[探究點(diǎn)二]已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),|AF|=x0,則x0等于(

)A.4 B.2

C.1

D.8C1234567891011121314151617D解析

由題意得y2=4x,所以準(zhǔn)線為x=-1,又因?yàn)閨MF|=3,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),則有|MF|=x0+1=3,解得x0=2,12345678910111213141516177.[探究點(diǎn)二]若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是

.

9解析

拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線為x=-1.由M到焦點(diǎn)的距離為10,可知M到準(zhǔn)線x=-1的距離也為10,故M的橫坐標(biāo)滿足xM+1=10,解得xM=9,所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.12345678910111213141516178.[探究點(diǎn)三]一拋物線形拱橋,當(dāng)橋頂離水面2米時(shí),水面寬4米,若水面下降2米,則水面寬為

米.

解析

以拱橋的拱頂為原點(diǎn),以過(guò)拱頂且平行于水面的直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0).由當(dāng)橋頂離水面2米時(shí),水面寬4米可得圖中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,-2),所以4=-2p×(-2),解得p=1.所以拋物線的方程為x2=-2y.當(dāng)水面下降2米,即當(dāng)y=-4時(shí),12345678910111213141516179.[探究點(diǎn)二·北師大版教材例題]已知點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線l:x+6=0的距離小2,求點(diǎn)M的軌跡方程.解

如圖,點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線l:x+6=0的距離小2,即“點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離等于它到直線l':x+4=0的距離”.由此可知,點(diǎn)M的軌跡是以F(4,0)為焦點(diǎn),以直線l':x=-4為準(zhǔn)線的拋物線.故點(diǎn)M的軌跡方程是y2=16x.123456789101112131415161710.[探究點(diǎn)二]已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A(3,2).(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);12345678910111213141516171234567891011121314151617B級(jí)關(guān)鍵能力提升練11.AB是拋物線y2=2x的一條過(guò)焦點(diǎn)的弦,|AB|=4,則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是(

)C解析

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)拋物線的定義可知,|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,123456789101112131415161712.動(dòng)點(diǎn)P在拋物線x2=4y上,則點(diǎn)P到點(diǎn)C(0,4)的距離的最小值為(

)B123456789101112131415161713.(多選題)已知A(a,0),M(3,-2),點(diǎn)P在拋物線y2=4x上,則(

)A.當(dāng)a=1時(shí),|PA|的最小值為1B.當(dāng)a=3時(shí),|PA|的最小值為3C.當(dāng)a=1時(shí),|PA|+|PM|的最小值為4D.當(dāng)a=3時(shí),|PA|-|PM|的最大值為2ACD解析

當(dāng)a=1時(shí),A(1,0)為拋物線的焦點(diǎn),設(shè)P(x0,y0),x0≥0,則|PA|=x0+1≥1,故|PA|的最小值為1,故A正確;設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l:x=-1,過(guò)點(diǎn)P作PN⊥l于點(diǎn)N,此時(shí)|PA|+|PM|=|PN|+|PM|,故當(dāng)N,P,M三點(diǎn)共線時(shí),|PA|+|PM|取得最小值,此時(shí)(|PA|+|PM|)min=3+1=4,故C正確;1234567891011121314151617當(dāng)a=3時(shí),A(3,0),連接AM,并延長(zhǎng)AM交拋物線于點(diǎn)P',此時(shí)|PA|-|PM|=|P'A|-|P'M|=|AM|為|PA|-|PM|的最大值,當(dāng)P在其他位置時(shí),根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,可知均小于|AM|,123456789101112131415161714.若P(4,1)為拋物線C:x2=2py(p>0)上一點(diǎn),拋物線C的焦點(diǎn)為F,則|PF|=

.

5解析

由P(4,1)為拋物線C:x2=2py(p>0)上一點(diǎn),得42=2p×1,可得p=8,123456789101112131415161715.設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn).(1)若點(diǎn)P到直線x=-1的距離為d,A(-1,1),求|PA|+d的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.解

(1)依題意,拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.由已知及拋物線的定義,可知|PF|=d,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PF|的最小值.由平面幾何知識(shí)知,當(dāng)F,P,A三點(diǎn)共線時(shí),|PA|+|PF|取得最小值,最小值為1234567891011121314151617過(guò)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,交拋物線于點(diǎn)P1(如圖所示).由拋物線的定義,可知|P1Q|=|P1F|,則|