第一章空間向量與立體幾何章末總結(jié)提升課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第一章空間向量與立體幾何章末總結(jié)提升人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一空間向量的概念及運算1.空間向量可以看作是平面向量的推廣,有許多概念和運算與平面向量是相同的,如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念,加法的三角形法則和平行四邊形法則,減法的幾何意義,數(shù)乘運算與向量共線的判斷、數(shù)量積運算、夾角公式、求模公式等等;向量的基底表示和坐標表示是向量運算的基礎(chǔ).2.向量的運算過程較為繁雜,要注意培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算能力.【例1】

[2023北京豐臺期中]已知空間向量a=(2,-2,1),b=(2,-1,4),c=(x,5,2).(1)若a⊥c,求x;(2)求|3a-2b|;(3)若向量c與向量a,b共面,求實數(shù)x的值.解

(1)已知空間向量a=(2,-2,1),b=(2,-1,4),c=(x,5,2),又a⊥c,則2x-10+2=0,即x=4.(2)由題意可得3a-2b=(2,-4,-5),(3)由向量c與向量a,b共面,則c=ma+nb,則(x,5,2)=(2m,-2m,m)+(2n,-n,4n),規(guī)律方法

空間向量的數(shù)乘運算及向量共面的充要條件(1)空間向量的數(shù)乘運算、共線向量的概念、向量共線的充要條件與平面向量的性質(zhì)是一致的.(2)利用向量共面的充要條件可以判斷第三個向量是否與已知的兩個不共線的向量共面,特別地,空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使專題二利用空間向量證明位置關(guān)系1.用空間向量判斷空間中位置關(guān)系的類型有線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直;判斷證明的基本思想是轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系或者利用平面的法向量、向量的共線和垂直進行證明.2.將立體幾何的線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系,可以培養(yǎng)邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力.【例2】

在四棱錐P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M為PC的中點.(1)求證:BM∥平面PAD;(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點N,使MN⊥平面PBD?若存在,確定點N的位置;若不存在,說明理由.(1)證明

以A為原點,以AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1),又BM不屬于平面PAD,∴BM∥平面PAD.規(guī)律方法

利用空間向量證明或求解立體幾何問題時,首先要選擇基底或建立空間直角坐標系轉(zhuǎn)化為坐標運算,再借助于向量的有關(guān)性質(zhì)求解(證).變式訓(xùn)練2在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.(1)求證:AC⊥BC1;(2)請說明在AB上是否存在點E,使得AC1∥平面CEB1.(1)證明

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因為AC=3,BC=4,AB=5,所以AC,BC,CC1兩兩垂直,以C為坐標原點,直線CA,CB,CC1分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).專題三利用空間向量計算距離空間距離的計算思路

(2)設(shè)平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點,P是平面α外一點,則點P到平面α的距離為(如圖).【例3】

在三棱錐B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱長AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求點D到平面ABC的距離.解

如圖所示,以AD的中點O為原點,以O(shè)D,OC所在直線為x軸、y軸,過O作OM⊥平面ACD交AB于點M,以直線OM為z軸建立空間直角坐標系,規(guī)律方法

利用向量法求點面距,只需求出平面的一個法向量和該點與平面內(nèi)任一點連線表示的向量,代入公式求解即可.B解析

以點A為原點,分別以直線AB,AD,AA1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖,易知A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),專題四利用空間向量求空間角空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1,l2的方向向量分別為m1,m2,則l1與l2的夾角θ滿足cosθ=|cos<m1,m2>|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m,n,則直線l與平面α的夾角θ滿足sinθ=|cos<m,n>|.(3)設(shè)n1,n2分別是兩個平面α,β的法向量,則兩平面α,β的夾角θ滿足cosθ=|cos<n1,n2>|.(1)設(shè)PB的中點為N,求證:ON∥平面PAM.(2)二面角A-PM-B的大小是否可能為90°?若是,求M的位置;若不是,請說明理由.(1)證明

連接ON,∵N是PB中點,O是AB中點,∴ON∥AP.∵ON?平面PAM,AP?平面PAM,∴ON∥平面PAM.(2)解

不能.不妨設(shè)OA=1,作OD⊥AB,分別以O(shè)B,OD,OP為x軸、y軸和z軸建立如圖所示的