蘇科版2024-2025學年八年級數(shù)學上冊1.16 構造三角形全等方法-截長補短和倍長中線（專項練習）（含答案）

專題1.16構造三角形全等方法—-截長補短和倍長中線（專項練習）1．（22-23八年級上·山東濱州·期末）如圖，是的中線，，，求中線的取值范圍．如圖，，，，直線過點交于，交于點．求證：．如圖，AD是△ABC的中線，點E在AD上，且BE＝AC，求證：∠BED＝∠CAD．如圖在中，，、分別是、的平分線，、相交于點．

（1）請你判斷并寫出與之間的數(shù)量關系；（2）試判斷線段、與之間的數(shù)量關系并說明理由．5．我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列問題：（1）求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中點P，連接OP，試說明AC＝2OP．”聰明的小王同學根據所要求的結論，想起了老師上課講的“中線倍長”的輔助線構造方法，解決了這個問題，按照這個思路回答下列問題．①請在圖中通過作輔助線構造△BPE≌△DPO，并證明BE＝OD；②求證：AC＝2OP．如圖，在中，，BE是AC的中線，點D在AC的延長線上，連接BD，若．（1）猜想BD=________BE；（2）完成（1）的證明過程．7．（22-23八年級上·廣東廣州·期末）如圖，在中，點D是的中點，分別以為腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，連接．（1）請寫出與的數(shù)量關系，并說明理由．（2）延長交于點F，求的度數(shù)． 8．在四邊形中，，點E在DC上，AE平分，BE平分（1）判定△AEB的形狀，并說明理由.（2）求證：9．如圖所示，AD平分∠BAC，P是射線AD上一點，P與A不重合，．求證：．已知，點、分別為線段、上兩點，連接、交于點．（1）若、分別為線段、的中點，如圖1所示，試說明和的面積相等；（2）若平分，平分，如圖2所示，試說明此時與的數(shù)量關系；在（2）的條件下，若，試說明：．11．（23-24七年級下·四川成都·期中）在的高、交于點，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖1，求的度數(shù)；（3）如圖2，延長到點，過點作的垂線交的延長線于點，當時，探究線段、、的數(shù)量關系，并證明你的結論．12．（23-24八年級上·吉林·期末）為了進一步探究三角形中線的作用，數(shù)學興趣小組合作交流時，小紅在組內做了如下嘗試：如圖①，在中，是邊上的中線，延長到，使，連接．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，與的數(shù)量關系是，位置關系是；【初步應用】（2）如圖②，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍；【探究提升】（3）如圖③，是的中線，過點分別向外作、，使得，，延長交于點，判斷線段與的數(shù)量關系和位置關系，請說明理由．

13．（23-24八年級上·河北滄州·期末）嘉嘉學習了等腰三角形，知道“等邊對等角”，他想：那么邊不相等時，它們所對的角有什么樣的關系呢？于是他做了如下探索：他剪了一個如圖所示的，其中，然后把紙片折疊，使得與重合，且點B落在延長線上的處，然后利用軸對稱和外角的性質得到三角形中邊角的不等關系．

（1）請你完成證明過程：證明：由軸對稱的性質可以得到∴①（

②

）又∵是的一個外角∴（

③

）∴☆

即（等量代換）∴在中，若，則（2）請用（1）的結論解決問題：在中，若，是邊上的中線，請?zhí)剿骱偷拇笮￡P系，并寫出證明的過程．（溫馨提示：延長到點H，使，連接）

14．（23-24八年級上·貴州銅仁·期末）某數(shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是的中點，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到，使，請補充完整證明“”的推理過程．（1）求證：證明：延長到點，使在和中（__________）（2）由（1）的結論，根據與之間的關系，探究得出的取值范圍是__________；（3）【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．【問題解決】如圖2，中，，，是的中線，，，且，求的長．15．（23-24八年級上·全國·期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點，使，請根據小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到的理由是．．

．

．

．（2）求得的取值范圍是．．

．

．

．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖2，是的中線，交于，交于，且．求證：．16．（23-24八年級上·江蘇南通·期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，連接．請根據小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到，得到，在中求得的取值范圍，從而求得的取值范圍是．方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．（2）如圖2，是的中線，，，，試判斷線段與的數(shù)量關系，并加以證明；（3）如圖3，在中，D，E在邊上，且．求證：．17．（15-16八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）閱讀：探究線段的和．差．倍．分關系是幾何中常見的問題，解決此類問題通常會用截長法或補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．（1）請完成下題的證明過程：如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC．求證：AB+BD=AC．證明：在AC上截取AE=AB，連接DE．（2）如圖，，EA，EB分別平分∠DAB，∠CBA，CD過點E，求證：AB＝AD+BC．18．（21-22八年級上·河北保定·期末）佳佳同學遇到這樣一個問題：如圖，中，，，是中線，求的取值范圍．她的做法是：延長到，使，連接，證明，經過推理和計算使問題得到解決．請回答：（1）為什么？寫出推理過程；（2）求出的取值范圍；（3）如圖，是的中線，在上取一點，連結并延長交于點，若，求證：．19．（21-22七年級下·廣東深圳·期末）（1）如圖，在中，，，點G是的中點，求中線的取值范圍；（2）如圖，在四邊形中，，點E是的中點．若是的平分線．試探究，，之間的等量關系，并證明你的結論．20．（18-19八年級上·湖北孝感·期中）如圖1，AD為△ABC的中線，延長AD至E，使DE＝AD．（1）試證明：△ACD≌△EBD；（2）用上述方法解答下列問題：如圖2，AD為△ABC的中線，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求證：BG＝AC．21．（20-21八年級上·海南?？凇て谥校┠硵?shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，請補充完整證明“△ABD≌△ECD”的推理過程．（1）求證：△ABD≌△ECD證明：延長AD到點E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（）CD＝（中點定義）∴△ABD≌△ECD（）（2）由（1）的結論，根據AD與AE之間的關系，探究得出AD的取值范圍是；（3）【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．【問題解決】如下圖，中，，，AD是的中線，，，且，求AE的長．22．（20-21八年級上·江西宜春·階段練習）閱讀理解：（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關系即可判斷中線的取值范圍是______．（2）解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接，求證：．（3）問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點，延長至，使得，求證：．參考答案：1．【分析】延長到，使,證明兩邊之和大于，兩邊之差小于，證明三角形全等，得到線段相等，等量代換得．【詳解】解：如圖，延長至，使，連接，∵為中點，∴，在和中，∴，∴，在中，，即，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形三邊之間的關系，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．2．詳見解析【分析】在線段上取，連接，易證≌，可得，因為得，∠D+∠C=180°，再根據鄰補角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C，可證≌，可得BC=BF，再進行等量代換即可得出答案.【詳解】解：在線段上取，連接，在與中，，∴≌（SAS）．∴．由又可得，∴．又，∴．在與中，，∴≌（AAS）．∴．∵，∴．【點睛】本題考查全等三角形證明中輔助線其中一種截長補短的方法，在遇到兩條線段和等于第三條線段的時候可用截長補短構造全等三角形，即在較長的線段上截取某條較短線段長度，或者延長一條較短線段長度使之等于另一條線段長度.3．見解析【分析】延長AD到E，使FD＝AD，連接BF，易證△ADC≌△FDB，得到BF＝AC，∠F＝∠CAD，而BE＝AC，所以BF＝BE，得∠BED＝∠F，等量代換即可．【詳解】證明：延長AD到E，使FD＝AD，連接BF在△ADC和△FDB中，∴（SAS）∴BF＝AC，∠F＝∠CAD．∵BE＝AC，∴BF＝BE∴∠BED＝∠F，∴∠BED＝∠CAD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，倍長中線構造全等三角形是解題的關鍵．4．（1）；（2），見解析【分析】（1）在上截取，利用SAS證出，從而得出，，然后利用ASA證出，從而得出，即可得出結論；（2）根據（1）中兩個全等三角形可得，，從而證出結論．【詳解】解：（1）與的關系是，在上截取，

、分別是、的平分線，，在△AEF和△AHF中，，∵∠B=60°∴∠BAC＋∠BCA=180°－∠B=120°∵、分別是、的平分線，∴∠FAC＋∠FCA=＋==60°∴180°－（∠FAC＋∠FCA）=120°，=∠FAC＋∠FCA=60°，，，在△CFH和△CFD中，，（2）理由：由（1）知：，，，即【點睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質，掌握構造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性質是解決此題的關鍵．5．(1)見解析(2)①見解析；②見解析【分析】（1）證出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定義可得出結論；（2）①延長OP至E，使PE=OP，證明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性質得出BE=OD；②證明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性質得出OE=AC，則可得出結論．【詳解】（1）證明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；（2）①證明：延長OP至E，使PE=OP，∵P為BD的中點，∴BP=PD，又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；②證明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BEOD，∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．6．(1)2(2)證明見詳解【分析】（1）根據題意可進行求解；（2）延長BE至F，使得EF=BE，連接CF，易證，則有，由題意易得，，然后可證，則，進而問題可求證．【詳解】（1）解：；延長BE至F，使得EF=BE，連接CF，如圖所示：∵BE是AC的中線，∴，∵，∴（SAS），∴，∵，且，，∴，，∵，∴（AAS），∴．故答案為2；（2）證明：延長BE至F，使得EF=BE，連接CF，如圖所示：∵BE是AC的中線，∴，∵，∴（SAS），∴，∵，且，，∴，，∵，∴（AAS），∴．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．7．(1)，見解析(2)【分析】此題主要考查了倍長中線法，全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系，利用倍長中線法作出輔助線是解本題的關鍵．（1）延長至E，使，連接則，證明，得出，進而判斷出進而判斷出，得出，即可得出結論；（2）結合（1），可得，然后利用三角形內角和定理即可解決問題．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖，延長至E，使，連接∵點D是的中點，∴，∵∴∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴∵，∴，∴∴．（2）解：延長交于點F，∵，∴，∵，∴，∴，∴．8．（1）△AEB為直角三角形，理由見解析；（2）見解析.【分析】（1）根據平行線性質得出∠DAB+∠ABC=180°，由角平分線得出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，可得∠EAB+∠ABE=90°，根據三角形內角和定理求出∠AEB=90°，即可得出答案；（2）在AB上截取線段AF=AD，連接EF，構建全等三角形△ADE≌△AFE（SAS）、△BFE≌△BCE（AAS），根據全等三角形的對應邊相等得到BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代換即可得證【詳解】（1）解：△AEB為直角三角形，理由如下：∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵AE、BE分別平分∠BAD、∠ABC，∴∠EAB=∠DAB,∠EBA=∠ABC，∴∠EAB+∠ABE=×180°=90°，∴∠AEB=180°?90°=90°,∴△AEB為直角三角形；(2)證明：如圖，在邊AB上截取線段AF=AD，連接EF，∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠DAE，在△ADE和△AFE中,，∴△ADE≌△AFE(SAS)，∴∠AED=∠AEF，∵AE⊥BE，∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°，∴∠BEC=∠BEF，又∵在△BFE與△BCE中,∴△BFE≌△BCE(AAS)，∴BF=BC，∵AB=AF+BF，∴AB=AD+BC.【點睛】本題考查全等三角形的綜合問題，是“截長補短”模型的典型題目，熟練掌握此模型輔助線的作法，構造全等三角形是解決本題的關鍵.9．詳見解析【分析】在AC上截取AE=AB，連接PE，利用SAS可證明△BAP≌△EAP，可得PB=PE，利用三角形的三邊關系即可得答案．【詳解】在AC上截取AE=AB，連接PE，∵AD平分，∴．在和中，∴．在中，，∵，AE=AB，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質及三角形的三邊關系，正確作出輔助線構建全等三角形并熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關鍵．10．（1）證明見解析；（2）∠AOC=90°+∠ABC，證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）根據三角形中線平分三角形的面積即可得出結論；（2）結合角平分線的定義和三角形外角的性質可得∠AOC=90°+∠ABC；（3）在AC上截取AM=AE，分別證明△AOE≌△AOM和△COD≌△COM即可得出結論．【詳解】解：（1）、分別為線段、的中點，∴AD和CE分別為△ABC，AB和BC邊上的中線，∴,,∴,∴,即；（2）∠AOC=90°+∠ABC理由如下：∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，∴∠BAD=∠BAC，∠BCE=∠BCA∵∠AOC=∠ADC+∠BCE=∠ABC+∠BAD+∠BCE∴∠AOC=∠B+（∠ABC+∠BCA+∠BAC）=90°+∠ABC；（3）如圖：在AC上截取AM=AE，連接OM∵∠B=60°，∠AOC=90°+∠B∴∠AOC=120°∴∠AOE=∠COD=60°∵AE=AM，∠BAD=∠DAC，AO=AO∴△AOE≌△AOM（SAS）∴∠AOE=∠AOM=60°∴∠COM=60°∴∠COM=∠COD=60°且CO=CO，∠BCE=∠ACE∴△COD≌△COM（ASA）∴CM=CD∵AC=AM+MC=AE+CD．【點睛】本題考查三角形中線有關的面積問題，全等三角形的性質和判定，三角形內角和定理，三角形外角定理．（1）中理解三角形中線平分三角形的面積是解題關鍵；（2）中能正確識圖，完成角度之間的轉換是解題關鍵；（3）正確作出輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．11．(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據直角三角形的兩個銳角互余及等角的余角相等即可得出結論；（2）證和全等得，從而得為等腰直角三角形，進而可得的度數(shù)；（3）在上截取，連接，先證和全等得，，再證，進而可依據“”判定和全等，從而得，由此可得線段、、的數(shù)量關系．此題主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性質，理解三角形的高，熟練掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性質是解決問題的關鍵，難點是正確地作出輔助線，構造全等三角形．【詳解】（1）證明：的高、交于點，如圖1所示：，，，，，（2）解：在和中，，，，為等腰直角三角形，；（3）解：、、的數(shù)量關系是：，證明如下：在上截取，連接，如圖2所示：是的高，，，，在和中，，，，，由（2）可知：，即，，，即，在和中，，，，．12．（1），，（2）；（3），，理由見解析【分析】（1）證，得，，再由平行線的判定即可得出；（2）延長到，使，連接，由（1）可知，，得，再由三角形的三邊關系即可得出結論；（3）延長到，使得，連接，由（1）可知，，得，再證，得，，則，然后由三角形的外角性質證出，即可得出結論．【詳解】解：（1）是的中線，，在和中，，，，，，（2）如圖2，延長到，使，連接，由（1）可知，，，在中，，，即，，即邊上的中線的取值范圍為；（3），，理由如下：如圖3，延長到，使得，連接，

由（1）可知，，，，，由（2）可知，，，、，，，，在和中，，，，，，，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、倍長中線法、三角形的三邊關系、平行線的判定與性質以及三角形的外角性質，添加輔助線．13．(1)①，②全等三角形的對應角相等，③三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，☆；(2)，見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）根據全等三角形性質及三角形外角的性質解答即可；（2）延長到點H，使，連接，先證明，可得，再解答即可．【詳解】（1）證明：由軸對稱的性質可以得到∴（全等三角形的對應角相等）又∵是的一個外角∴（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）∴

即（等量代換）∴在中，若，則故答案為：①，②全等三角形的對應角相等，③三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，☆；（2）解：，理由如下：延長到點H，使，連接∵是邊上的中線

∴在和中∴∴∵∴∴∴14．（1）已作；對頂角相等；；（2）（3）6【分析】本題是三角形的綜合題和倍長中線問題，主要考查的是全等三角形的判定和性質、三角形的三邊關系等知識，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．（1）延長到點，使，由“”可證；（2）由全等三角形的性質可得，由三角形的三邊關系可求解；（3））延長交的延長線于F，由“”可證，則，，證明，得，根據，即可得的長．【詳解】（1）證明：延長到點，使，在和中，，；（2）由（1）得：，且，，，在中，，；（3）延長交的延長線于F，，，，在和中，，，，又且，，，．即：的長是6．15．（1）B；（2）C；（3）見解析【分析】本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關系定理，等腰三角形性質和判定，全等三角形的性質和判定等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力．（1）根據，，推出和全等即可；（2）根據全等得出，，由三角形三邊關系定理得出，求出即可；（3）延長到，使，連接，根據證，推出，，根據，推出，求出，根據等腰三角形的性質求出即可．【詳解】（1）解：在和中，，故選B；（2）解：由（1）知：，，，在中，，由三角形三邊關系定理得：，，故選C．（3）證明：如圖2，延長到，使，連接，是中線，，在和中，，，，，，，，即．16．(1)(2)，證明見解析(3)見解析【分析】本題考查三角形全等的判定及性質，三角形的三邊關系．（1）由作圖可得，根據“”證得，得到，在中，根據三角形的三邊關系有，代入即可求解；（2）延長到M，使得，連接，則，由（1）同理可證，得到，，從而，又，因此，進而得證，故；（3）取的中點為M，連接并延長至N，使，連接、，證得得到，證得得到．延長交于F，由三角形的三邊關系得到，即．【詳解】（1）∵，∴∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵在中，，即，∴．故答案為：（2），理由：如圖，延長到M，使得，連接，∴，∵是的中線，∴，在和中∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴；（3）取的中點為M，連接并延長至N，使，連接、，∵點M是的中點，∴，在和中，∴，∴∵，∴，即，在和中，∴，∴，延長交于F，則，且，∴，∴，即．17．(1)證明見解析；(2)證明見解析；【分析】（1）在AC上截取AE=AB，連接DE，證明，得到，再證明ED=EC即可；（2）先過E作，交于，則，，因為EA、EB分別平分和，所以AF=EF=FB，再根據梯形中位線定理得出AB=AD+BC．【詳解】（1）∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD在△AED和△ABD中，∴△AED△ABD（SAS），∴ED=BD，∠AED=∠B，∵∠B=2∠C∴∠AED=2∠C，又∵∠AED為△CED的外角，∴∠AED=∠C+∠EDC，∴∠C=∠EDC，∴EC=ED∴EC=BD，∴AC=AE+EC=AB+BD．（2）在AB上截取AF=AD，連接EF∵AE平分∠DAB∴∠DAE=∠FAE又∵AE=AE，AF=AD∴△DAE△FAE（SAS）∴∠D=∠AFE∵∴∠C+∠D=180o∵∠AFE+∠BFE=180o∴∠BFE=∠C又∵∠FBE=∠CBE，BE=BE∴（AAS）∴BF=BC∴AB=AF+BF=AD+BC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，此題利用了全等三角形常見的輔助線中的截長補短法構造全等三角形，然后利用全等三角形解題，這是解決線段和差問題的最常見解法，注意熟悉掌握．18．(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）由“”可證；（2）由全等三角形的性質可得，由三角形的三邊關系可求解；（3）延長至，使，連接，由“”可證，可得，，由等腰三角形的性質可得，可得．【詳解】（1）解：∵是中線，∴，延長到，使，且，∴．（2）解：由（1）可知，，，在中，，，∴，即，∴．（3）證明：如圖，延長至，使，連接，∵是的中線，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，中線的性質，等腰三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．19．（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，證明見解析【分析】（1）延長DG至M，使GM=DG，連接MF，利用SAS可證得，利用全等三角形的對應邊相等可得到DE=MF，再利用三角形的三邊關系定理，可求出DG的取值范圍；（2）延長AE，DC相交于點F，利用平行線的性質可知∠BAE=∠F，利用AAS可證得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性質可證得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分線的定義去證明∠F=∠DAF，利用等角對等邊可證得AD=DF，然后根據DF=DC+CF，代入可證得結論．【詳解】（1）解：延長DG至M，使GM=DG，連接MF，在和中，∴(SAS)，∴DE=MF=3，∵DF-MF＜DM＜DF+MF，∴7-3＜DM＜7+3，即4＜DM＜10，∵，∴4＜2DG＜10，∴2＜DG＜5；（2）AD=CD+AB，理由如下：解：延長AE，DC相交于點F，∵，∴∠BAE=∠F，∵點E是BC的中點，∴BE=CE，在和中，∴（AAS），∴AB=CF，∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，∴∠F=∠DAF，∴AD=FD，∵FD=CD+CF，CF=AB，∴AD=CD+AB．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形三邊關系，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握這些知識點并添加輔助線．20．（1）詳見解析；（2）詳見解析．【分析】（1）根據中線的定義，即可得到BD＝CD，再根據SAS即可判定△ACD≌△EBD．（2）延長AD到F，使AD＝DF，連接BF，根據SAS證△ADC≌△FDB，推出BF＝AC，∠CAD＝∠F，根據AM＝GM，推出∠CAD＝∠AGM＝∠BGF，求出∠BGF＝∠F，根據等腰三角形的性質求出即可．【詳解】（1）證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS）．（2）證明：延長AD到F，使AD＝DF，連接BF，∵AD是△ABC中線，∴BD＝DC，∵在△ADC和△FDB中，∴△ADC≌△FDB（SAS），∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，∵AM＝GM，∴∠CAD＝∠AGM，∵∠AGM＝∠BGF，∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，∴BG＝BF＝AC，即BG＝AC．【