蘇科版2024-2025學年八年級數(shù)學上冊2.9等邊三角形的軸對稱性知識梳理與考點分類講解(知識梳理與考點分類講解)(學生版+解析)

專題2.9等邊三角形的軸對稱性（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】等邊三角形定義

三邊都相等的三角形叫等邊三角形.【要點提示】由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．【知識點二】等邊三角形的性質等邊三角形三個內角都相等，并且每一個內角都等于60°.【知識點三】等邊三角形的判定

（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【知識點四】含30°的直角三角形

在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【要點提示】這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關系.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】利用等邊三角形性質求值與證明【例1】（22-23八年級上·山東臨沂·期中）如圖，在等邊中，點D、E分別在邊上，且，過點E作，交的延長線于點F．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長．【變式1】（23-24八年級上·遼寧大連·期末）如圖，是等邊三角形，為中線，為上一點，且，則等于（

）A． B． C． D．【變式2】（22-23八年級上·湖南長沙·期末）如圖，在等邊中，是邊的中點，AD是邊上的中線，是AD上的動點，若，則最小值．【題型2】利用等邊三角形判定求值與證明【例2】（24-25八年級上·全國·假期作業(yè)）等邊中，點P在內，點Q在外，且，問是什么形狀的三角形？試說明你的結論．【變式1】（23-24七年級下·湖南衡陽·階段練習）在中，，，則是（

）A．銳角且不等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【變式2】（2024八年級·全國·競賽）的三邊長為，且滿足等式，則的形狀是三角形．【題型3】利用含30度的直角三角形邊的關系求值與證明【例3】如圖，．（1）在中，______，______；（2）求證：是等邊三角形．【變式1】（22-23八年級上·廣西柳州·期中）如圖，在中，，，過點作，交于點，若，則的長度為（

）

A． B． C． D．【變式2】（湖北省武漢市經開區(qū)2023-2024學年八年級上學期期中數(shù)學模擬試題）如圖，在中，的垂直平分線交于點，若，則的長度是．【題型4】直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半【例4】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在銳角中，為邊上的高，為的中點，連接，在上找到一點，使，連接，試判斷與的位置關系，并說明理由．【變式1】（22-23八年級上·廣西柳州·期中）如圖，在等腰直角三角形中，，為邊上中點，過點作，交于，交于，若，，則的長度為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】（22-23八年級上·浙江溫州·期中）如圖，在中，，AD是邊上的中線，若，則的度數(shù)為．【題型5】利用等邊三角形性質與判定求值與證明【例5】（23-24八年級下·遼寧丹東·期末）如圖，是等邊三角形，點D為邊延長線上一點，點E為線段上一點，連接DE，將線段DE繞點E逆時針旋轉得到線段，點F恰好落線段AB上．過點E作交邊AB于點G．（1）證明：；（2）若，求長．【變式1】（22-23八年級上·甘肅平涼·期末）若一個等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，則這個等腰三角形的底角為（

）A． B． C．或 D．或【變式2】（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在四邊形中，，，，為邊上一點，連接、，與交于點，且，若，，則的長為.第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在中，D是的中點，，，則的長是（

）A．3 B．6 C． D．【例2】（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在中，是的中點，，與交于點，且．下列說法錯誤的是（

）

A．的垂直平分線一定與相交于點B．C．當為中點時，是等邊三角形D．當為中點時，2、拓展延伸【例1】（2020·新疆·中考真題）如圖，在中，，若D是邊上的動點，則的最小值為．【例2】（2021·山東德州·中考真題）如圖，在等邊三角形各邊上分別截取，交延長線于點，交延長線于點，交延長線于點；直線，，兩兩相交得到，若，則．專題2.9等邊三角形的軸對稱性（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】等邊三角形定義

三邊都相等的三角形叫等邊三角形.【要點提示】由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．【知識點二】等邊三角形的性質等邊三角形三個內角都相等，并且每一個內角都等于60°.【知識點三】等邊三角形的判定

（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【知識點四】含30°的直角三角形

在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【要點提示】這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關系.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】利用等邊三角形性質求值與證明【例1】（22-23八年級上·山東臨沂·期中）如圖，在等邊中，點D、E分別在邊上，且，過點E作，交的延長線于點F．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長．【答案】(1)(2)8【分析】本題主要考查的是等邊三角形的性質和等腰三角形的性質，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．（1）證明中的三個角均為，然后再求得；（2）先求得，然后由進行求解即可．解：（1）是等邊三角形，．，，，，，，．（2），，，由（1）可知，．又，．．【變式1】（23-24八年級上·遼寧大連·期末）如圖，是等邊三角形，為中線，為上一點，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查等邊三角形的性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，由等邊三角形的性質可求解，，利用等腰三角形的性質及三角形的內角和定理可得的度數(shù)，進而可求解．解：為等邊三角形，，是等邊三角形的中線，，，，，，，，故選：．【變式2】（22-23八年級上·湖南長沙·期末）如圖，在等邊中，是邊的中點，AD是邊上的中線，是AD上的動點，若，則最小值．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的性質，線段垂直平分線的性質，兩點之間線段最短，連接，由等邊三角形的性質可得，，進而得到AD為的垂直平分線，即得，得到，可知當點三點共線時，的值最小，最小值即為線段的長，又由等邊三角形的性質可得，由三角形的面積可得，即可求解，掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．解：連接，∵為等邊三角形，AD是邊上的中線，∴，，∴AD為的垂直平分線，∴，∴，∴當點三點共線時，的值最小，最小值即為線段的長，∵點為的中點，∴，∵，，∴，∴最小值為，故答案為：．【題型2】利用等邊三角形判定求值與證明【例2】（24-25八年級上·全國·假期作業(yè)）等邊中，點P在內，點Q在外，且，問是什么形狀的三角形？試說明你的結論．【答案】是等邊三角形，見解析【分析】本題考查等邊三角形的判定，全等三角形的判定和性質，先證，得，再證，從而得出是等邊三角形．解：是等邊三角形．證明：∵為等邊三角形，∴．在與中，∵，∴，∴．∵，∴，∴是等邊三角形．【變式1】（23-24七年級下·湖南衡陽·階段練習）在中，，，則是（

）A．銳角且不等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】本題考查了三角形的內角和定理的應用，三角形的三個內角的和等于；熟練掌握三角形內角和定理是解題關鍵．根據(jù)三角形內角和定理求出和的度數(shù)，判斷的形狀即可．解：∵，，∴，∴；∵，，∴，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，故選：D．【變式2】（2024八年級·全國·競賽）的三邊長為，且滿足等式，則的形狀是三角形．【答案】等邊【分析】本題考查完全平方公式，等邊三角形的判定，根據(jù)完全平方公式變形得出，求出，進而可得出答案．解：根據(jù)題意得：，∴，整理為，∴，∴三角形為等邊三角形．故答案為：等邊．【題型3】利用含30度的直角三角形邊的關系求值與證明【例3】如圖，．（1）在中，______，______；（2）求證：是等邊三角形．【答案】(1)，2(2)見解析【分析】本題考查等邊對等角，含30度角的直角三角形，等邊三角形的判定：（1）等邊對等角，求出的度數(shù)，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質，得到即可；（2）根據(jù)3個角都是60度的三角形是等邊三角形，即可得出結論．解：（1）∵，∴，∵，∴，∴；故答案為：，2；（2）由（1）知：，∴，∴是等邊三角形．【變式1】（22-23八年級上·廣西柳州·期中）如圖，在中，，，過點作，交于點，若，則的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質、含角的直角三角形的性質．掌握含角的直角三角形中，角所對的邊等于斜邊的一半是解答本題的關鍵．根據(jù)題意可求出，即推出．在中，利用含角的直角三角形的性質即可求出CD長．解：∵，，∴．∵，，∴，∴，∴，在中，，，．∴．故選：B．【變式2】（湖北省武漢市經開區(qū)2023-2024學年八年級上學期期中數(shù)學模擬試題）如圖，在中，的垂直平分線交于點，若，則的長度是．【答案】4.5【分析】本題考查了垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，以及角平分線的性質，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到，證明是的角平分線，得到，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質，得到，由此即可得解．解：如圖所示，連接，是的垂直平分線，，，，，，.是的角平分線，又，.在中，，，，，．故答案為：．【題型4】直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半【例4】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在銳角中，為邊上的高，為的中點，連接，在上找到一點，使，連接，試判斷與的位置關系，并說明理由．【答案】BN⊥AC，理由見解析【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后求出，再根據(jù)等腰三角形的性質結合三角形內角和定理解答．解：．為邊上的高，為的中點，，，，∴，，∴，．【變式1】（22-23八年級上·廣西柳州·期中）如圖，在等腰直角三角形中，，為邊上中點，過點作，交于，交于，若，，則的長度為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上的中線．熟練掌握等腰三角形三線合一，直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，證明三角形全等，是解題的關鍵．利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等腰三角形三線合一，證明，求出，從而求出，即可得出結果．解：連接BD，如圖所示：

等腰直角三角形中，為邊上中點，∴，，，∴，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，則，∴，故選：B．【變式2】（22-23八年級上·浙江溫州·期中）如圖，在中，，AD是邊上的中線，若，則的度數(shù)為．【答案】130【分析】根據(jù)直角三角形的性質得到，根據(jù)三角形內角和定理計算即可．本題考查的是直角三角形的性質，三角形內角和定理的應用，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．解：在中，，是邊上的中線，，，，，．故答案為：．【題型5】利用等邊三角形性質與判定求值與證明【例5】（23-24八年級下·遼寧丹東·期末）如圖，是等邊三角形，點D為邊延長線上一點，點E為線段上一點，連接DE，將線段DE繞點E逆時針旋轉得到線段，點F恰好落線段AB上．過點E作交邊AB于點G．（1）證明：；（2）若，求長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質得到，進而得到，然后證明即可得到結論；（2）由（1）知，可得，得到為等邊三角形即可解題．解：（1）證明：∵為等邊三角形，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴；（2）由（1）知，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【變式1】（22-23八年級上·甘肅平涼·期末）若一個等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，則這個等腰三角形的底角為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】此題考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想與分類討論思想的應用．當是銳角三角形時，然后證明出，得到，證明出是等邊三角形，得到，然后利用三角形內角和定理和等邊對等角求解即可，當鈍角三角形時，同理求解即可．解：如圖①：是等腰三角形，，，延長使，∵，∴，又∵，∴∴∵，∴∴是等邊三角形∴∵∴∵∴；如圖②：是等腰三角形，，，延長使，同理可得，是等邊三角形∴∴∵∴綜上所述，這個三角形的底角為或．故選：D．【變式2】（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在四邊形中，，，，為邊上一點，連接、，與交于點，且，若，，則的長為.【答案】6【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質及等角對等邊，綜合運用等邊三角形的判定與性質進行線段間等量關系的轉換是解題的關鍵．由，得出垂直平分，是等邊三角形，可連接交于點，確定是等邊三角形，是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質對三角形中的線段進行等量轉換即可得出結果．解：如圖，連接交于點，∵，，，∴垂直平分，是等邊三角形，∴，，，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：6．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在中，D是的中點，，，則的長是（

）A．3 B．6 C． D．【答案】A【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等邊三角形的判定和性質．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結合等邊三角形的判定得到等邊三角形，據(jù)此求解即可．解：∵在中，，D是的中點，∴，∵，∴等邊三角形，∴．故選：A．【例2】（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在中，是的中點，，與交于點，且．下列說法錯誤的是（

）

A．的垂直平分線一定與相交于點B．C．當為中點時，是等邊三角形D．當為中點時，【答案】D【分析】連接，根據(jù)，點是的中點得，則，進而得點在線段的垂直平分線上，由此可對選項Ａ進行判斷；設，根據(jù)得，的，再根據(jù)得，則，由此可對選項Ｂ進行判斷；當為中點時，則，是線段的垂直平分線，由此得，然后根據(jù)，，得，由此可對選項Ｃ進行判斷；連接并延長交于，根據(jù)是等邊三角形得，則，進而得，，由此得，，由此可對選項Ｄ進行判斷，綜上所述即可得出答案．解：連接，如圖1所示：

，點是的中點，為斜邊上的中線，，，，點在線段的垂直平分線上，即線段的垂直平分線一定與相交于點，故選項A正確，不符合題意；設，，，，，，，即，故選B正確，不符合題意；當為中點時，則，，是線段的垂直平分線，，，，，，，是等邊三角形，故選C正確，不符合題意；連接，并延長交于，如圖2所示：

當為中點時，點為的中點，根據(jù)三角形三條中線交于一點得：點為的中點，當為中點時，是等邊三角形，，，平分，平分，，，在中，，，，，，，故選項D不正確，符合題意．故選：D．【點撥】此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的判定與性質，等邊三角形的判定和性質，理解直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質，熟練掌握等腰三角形的判定與性質，等邊三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．2、拓展延伸【例1】（2020·新疆·中考真題）如圖，在中，