2025屆福建省福州市延安中學(xué)數(shù)學(xué)八年級(jí)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2025屆福建省福州市延安中學(xué)數(shù)學(xué)八年級(jí)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．人體中紅細(xì)胞的直徑約為0.0000077米，將0.0000077用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．7.7×10﹣6 B．7.7×10﹣5 C．0.77×10﹣6 D．0.77×10﹣52．如圖，已知：，點(diǎn)、、…在射線上，點(diǎn)、、…在射線上，、、…均為等邊三角形，若，則的邊長(zhǎng)為()A．6 B．12 C．16 D．323．一件工作，甲單獨(dú)完成需要a天，乙單獨(dú)完成需要b天，如果甲、乙二人合作，那么每天的工作效率是（）A．a(chǎn)+b B． C． D．4．一次函數(shù)y＝－3x－2的圖象不經(jīng)過(guò)（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．下列圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)6．如圖，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．7．從2019年8月1日開(kāi)始，溫州市實(shí)行垃圾分類(lèi)，以下是幾種垃圾分類(lèi)的圖標(biāo)，其中哪個(gè)圖標(biāo)是軸對(duì)稱(chēng)圖形（）A． B． C． D．8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路線是A→D→C→B→A,設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為x，以點(diǎn)A、P、D為頂點(diǎn)的三角形的面積是y.則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是()A． B． C． D．9．如圖，△ABC中，以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC、AB于D，E兩點(diǎn)，并連接BD，DE，若∠A＝30°，AB＝AC，則∠BDE的度數(shù)為（）A．45 B．52.5 C．67.5 D．7510．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何．”設(shè)雞x只，兔y只，可列方程組為（）A． B． C． D．11．如圖，直線y＝x+m與y＝nx﹣5n（n≠0）的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則關(guān)于x的不等式x+m＞nx﹣5n＞0的整數(shù)解為（）A．3 B．4 C．5 D．612．下列圖案不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是()A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．已知函數(shù)y=-x+m與y=mx-4的圖象交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，那么，m的值為_(kāi)___.14．假期里小菲和小琳結(jié)伴去超市買(mǎi)水果，三次購(gòu)買(mǎi)的草莓價(jià)格和數(shù)量如下表：價(jià)格/（元/kg）

12

10

8

合計(jì)/kg

小菲購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量/kg

2

2

2

6

小琳購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量/kg

1

2

3

6

從平均價(jià)格看，誰(shuí)買(mǎi)得比較劃算？（）A．一樣劃算B．小菲劃算C．小琳劃算D．無(wú)法比較15．如圖，AB=AC，BD=BC,若∠A=40°，則∠ABD的度數(shù)是_________.16．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的值是__________.17．某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間比原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同，現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)___臺(tái)機(jī)器．18．計(jì)算的結(jié)果是_________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖①，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P是BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合），過(guò)點(diǎn)P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，連接BN、CM．（1）求證：PM+PN＝BC；（2）在點(diǎn)P的位置變化過(guò)程中，BN＝CM是否成立？試證明你的結(jié)論；（3）如圖②，作ND∥BC交AB于D，則圖②成軸對(duì)稱(chēng)圖形，類(lèi)似地，請(qǐng)你在圖③中添加一條或幾條線段，使圖③成軸對(duì)稱(chēng)圖形（畫(huà)出一種情形即可）．20．（8分）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，分別以?xún)裳鼮檫呄颉鰽BC外作等邊三角形ADB和等邊三角形ACE．若∠DAE＝∠DBC，求∠BAC的度數(shù)．21．（8分）如圖所示，在中，，，是邊上的高．求線段的長(zhǎng)．22．（10分）如圖1，的邊在直線上，，且的邊也在直線上，邊與邊重合，且．（1）直接寫(xiě)出與所滿足的數(shù)量關(guān)系：_________，與的位置關(guān)系：_______；（2）將沿直線向右平移到圖2的位置時(shí)，交于點(diǎn)Q，連接，求證：；（3）將沿直線向右平移到圖3的位置時(shí)，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接，試探究與的數(shù)量和位置關(guān)系？并說(shuō)明理由．23．（10分）如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD=2BF+DE．24．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：AB＝AF；（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度數(shù)．25．（12分）如圖，已知，，．（1）請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，平分，試求的度數(shù)．26．（2017黑龍江省龍東地區(qū)，第27題，10分）由于霧霾天氣頻發(fā)，市場(chǎng)上防護(hù)口罩出現(xiàn)熱銷(xiāo)．某藥店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批口罩，已知1個(gè)A型口罩和3個(gè)B型口罩共需26元；3個(gè)A型口罩和2個(gè)B型口罩共需29元．（1）求一個(gè)A型口罩和一個(gè)B型口罩的售價(jià)各是多少元？（2）藥店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)這兩種型號(hào)的口罩共50個(gè)，其中A型口罩?jǐn)?shù)量不少于35個(gè)，且不多于B型口罩的3倍，有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案，哪種方案最省錢(qián)？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】解：0.0000077＝7.7×10﹣1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．2、C【分析】先根據(jù)等邊三角形的各邊相等且各角為60°得：∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，再利用外角定理求∠OB1A1=30°，則∠MON=∠OB1A1，由等角對(duì)等邊得：B1A1=OA1=，得出△A1B1A2的邊長(zhǎng)為，再依次同理得出：△A2B2A3的邊長(zhǎng)為1，△A3B3A4的邊長(zhǎng)為2，△A4B4A5的邊長(zhǎng)為：22=4，△A5B5A6的邊長(zhǎng)為：23=8，則△A6B6A7的邊長(zhǎng)為：24=1．【詳解】解：∵△A1B1A2為等邊三角形，

∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，

∵∠MON=30°，

∴∠OB1A1=60°-30°=30°，

∴∠MON=∠OB1A1，

∴B1A1=OA1=，

∴△A1B1A2的邊長(zhǎng)為，

同理得：∠OB2A2=30°，

∴OA2=A2B2=OA1+A1A2=+=1，

∴△A2B2A3的邊長(zhǎng)為1，

同理可得：△A3B3A4的邊長(zhǎng)為2，△A4B4A5的邊長(zhǎng)為：22=4，△A5B5A6的邊長(zhǎng)為：23=8，則△A6B6A7的邊長(zhǎng)為：24=1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和外角定理，運(yùn)用類(lèi)比的思想，依次求出各等邊三角形的邊長(zhǎng)，解題關(guān)鍵是總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論．3、B【分析】根據(jù)甲單獨(dú)完成需要a天可得甲每天的工作效率為，同理表示出乙每天的工作效率為，接下來(lái)只需將兩人一天完成的工作量求和即可【詳解】由甲單獨(dú)完成需要a天，得甲每天的工作效率為由乙單獨(dú)完成需要b天，得乙每天的工作效率為則甲乙兩人合作，每天的工作效率為+.故答案選B.【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出代數(shù)式.4、A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)k＜0，b＜0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限解答．【詳解】解：∵k=-3＜0，∴函數(shù)經(jīng)過(guò)第二、四象限，∵b=﹣2＜0，∴函數(shù)與y軸負(fù)半軸相交，∴圖象不經(jīng)過(guò)第一象限．故選A【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．5、C【解析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念對(duì)各個(gè)圖案進(jìn)行判斷即可得解．【詳解】解：第1個(gè)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)正確；第2個(gè)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)正確；第3個(gè)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)正確；第4個(gè)不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．6、A【分析】當(dāng)AB與直線y=-x垂直時(shí)，AB最短，則△OAB是等腰直角三角形，作B如圖，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為BC⊥x軸即可求得OD，BD的長(zhǎng)，從而求得B的坐標(biāo)．【詳解】解析：過(guò)點(diǎn)作垂直于直線的垂線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，，為等腰直角三角形，過(guò)作垂直軸垂足為，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，作圖可知在軸下方，軸的右方．橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)．所以當(dāng)線段最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確根據(jù)垂線段最短確定：當(dāng)AB與直線y=-x垂直時(shí)，AB最短是關(guān)鍵．7、B【解析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】解:A、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)正確；C、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．8、B【解析】通過(guò)幾個(gè)特殊點(diǎn)就大致知道圖像了，P點(diǎn)在AD段時(shí)面積為零，在DC段先升，在CB段因?yàn)榈缀透卟蛔兯悦娣e不變，在BA段下降,故選B9、C【解析】試題分析：根據(jù)AB=AC，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求出∠BDE的度數(shù)：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=.∵以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，∴BE=BD=BC．∴∠BDC=∠ACB=75°.∴∠CBD.∴∠DBE=75°30°=45°.∴∠BED=∠BDE=.故選C.考點(diǎn):1.等腰三角形的性質(zhì);2.三角形內(nèi)角和定理.10、D【分析】等量關(guān)系為：雞的只數(shù)+兔的只數(shù)=35，2×雞的只數(shù)+4×兔的只數(shù)=94，把相關(guān)數(shù)值代入即可得到所求的方程組．【詳解】解：∵雞有2只腳，兔有4只腳，∴可列方程組為：，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組.如何列出二元一次方程組的關(guān)鍵點(diǎn)在于從題干中找出等量關(guān)系.11、B【分析】令y＝0可求出直線y＝nx﹣5n與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩函數(shù)圖象與x軸的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)橫坐標(biāo)即可得出不等式x+m＞nx﹣5n＞0的解，找出其內(nèi)的整數(shù)即可．【詳解】解：當(dāng)y＝0時(shí)，nx﹣5n＝0，解得：x＝5，∴直線y＝nx﹣5n與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）．觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)3＜x＜5時(shí)，直線y＝x+m在直線y＝nx﹣5n的上方，且兩直線均在x軸上方，∴不等式x+m＞nx﹣5n＞0的解為3＜x＜5，∴不等式x+m＞nx﹣5n＞0的整數(shù)解為1．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知函數(shù)圖像交點(diǎn)的幾何含義．12、C【分析】根據(jù)關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的圖形叫軸對(duì)稱(chēng)圖形，進(jìn)而判斷得出即可．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不合題意；

B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不合題意；

C、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；

D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不合題意；

故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸可使圖形兩部分折疊后重合．二、填空題（每題4分，共24分）13、-1【分析】根據(jù)題意，第二個(gè)函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)也是第一個(gè)函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出第二個(gè)函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入第一個(gè)函數(shù)解析式計(jì)算即可求解．【詳解】當(dāng)x=0時(shí)，y=m?0-1=-1，

∴兩函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），

把點(diǎn)（0，-1）代入第一個(gè)函數(shù)解析式得，m=-1．

故答案為：-1.【點(diǎn)睛】此題考查兩直線相交的問(wèn)題，根據(jù)第二個(gè)函數(shù)解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．14、C【解析】試題分析：根據(jù)題意分別求出兩人的平均價(jià)格，然后進(jìn)行比較．小菲：（24+20+16）÷6=10；小琳：（12+20+24）÷6≈1．3，則小琳劃算．考點(diǎn)：平均數(shù)的計(jì)算．15、30°；【分析】利用三角形的內(nèi)角和、外角性質(zhì)與等腰三角形的“等邊對(duì)等角”定理計(jì)算．【詳解】由AB=AC、BD=BC得∠ABC=∠ACB、∠C=∠BDC，在△ABC中,∠A=40°，∠C=∠ABC，∴∠C=∠ABC=(180°?∠A)=(180°?40°)=70°；在△ABD中，由∠BDC=∠A+∠ABD得∠ABD=∠BDC?∠A=70°?40°=30°故答案為30°【點(diǎn)睛】此題考查三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于利用等邊對(duì)等角16、或【分析】分兩種情況討論：①∠APB=90°，②∠BAP=90°，分別作圖利用勾股定理即可解出．【詳解】①當(dāng)∠APB=90°時(shí)，如圖所示，在Rt△ABP中，AB=3，∠B=30°，∴AP=AB=∴BP=②當(dāng)∠BAP=90°時(shí)，如圖所示，在Rt△ABP中，AB=3，∠B=30°，∴，即解得綜上所述，的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形中30度所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．17、1【詳解】設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器，則原計(jì)劃可生產(chǎn)（x﹣52）臺(tái)，根據(jù)現(xiàn)在生產(chǎn)622臺(tái)機(jī)器的時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)452臺(tái)機(jī)器的時(shí)間相同，等量關(guān)系為：現(xiàn)在生產(chǎn)622臺(tái)機(jī)器時(shí)間=原計(jì)劃生產(chǎn)452臺(tái)時(shí)間，從而列出方程：，解得：x=1．檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，x（x﹣52）≠2．∴x=1是原分式方程的解．∴現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)1臺(tái)機(jī)器．18、．【分析】先將括號(hào)內(nèi)的進(jìn)行通分，再進(jìn)行因式分解，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，最后進(jìn)行分式間的約分化簡(jiǎn)即可．【詳解】==．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)，分式的化簡(jiǎn)關(guān)鍵在于把分式的加減通過(guò)通分、合并同類(lèi)項(xiàng)、因式分解，進(jìn)而通過(guò)約分轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)分式．三、解答題（共78分）19、（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）先證明△BMP，△CNP是等邊三角形，再證明△BPN≌△MPC，從而PM=PB，PN=PC，可得PM+PN＝BC；（2）BN＝CM總成立，由（1）知△BPN≌△MPC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）作ND∥BC交AB于N，作ME∥BC交AC于M，作EF∥AB交BC于F，連接DF即可．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵PM∥AC，PN∥AB，∴∠BPM＝∠ACB＝60°，∠CPN＝∠ABC＝60°，∴△BMP，△CNP是等邊三角形，∴∠BPM＝∠CPN＝60°，PN=PC，PN=PC，∴∠BPN＝∠MPC，∴△BPN≌△MPC，∴PM=PB，PN=PC，∵BP+PC＝BC，∴PM+PN＝BC;（2）BN＝CM總成立，理由：由（1）知△BPN≌△MPC，∴BN＝CM；（3）解：如圖③即為所求．作ND∥BC交AB于N，作ME∥BC交AC于M，作EF∥AB交BC于F，連接DF，作直線AH⊥BC交BC于H，同（1）可證△AND，△AME，△BPM，△CEF都是等邊三角形，∴D與N，M與E，B與C關(guān)于AH對(duì)稱(chēng).∴BM=CE，∴BM=CF，∴P與F關(guān)于AH對(duì)稱(chēng)，∴所做圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形.【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．20、∠BAC的度數(shù)為20°【分析】根據(jù)等邊三角形各內(nèi)角為60°，等腰三角形底角相等，三角形內(nèi)角和為180°、∠DAE=∠DBC即可120°+∠BAC=60°+∠ABC，即可解題．【詳解】解：∵△ADB和△ACE是等邊三角形，∴∠DAB＝∠DBA=∠CAE=60°，∴∠DAE＝60°＋∠BAC＋60°＝120°＋∠BAC，∴∠DBC＝60°＋∠ABC，又∵∠DAE＝∠DBC，∴120°＋∠BAC＝60°＋∠ABC，即∠ABC＝60°＋∠BAC．∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°＋∠BAC．設(shè)∠BAC的度數(shù)為x，則x＋2(x＋60°)＝180°，解得x＝20°，∴∠BAC的度數(shù)為20°．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形底角相等的性質(zhì)，等邊三角形各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，本題中求得120°+∠BAC=60°+∠ABC是解題的關(guān)鍵．21、【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，根據(jù)三線合一可得CE=BE=，然后根據(jù)勾股定理即可求出AE，再根據(jù)△ABC面積的兩種求法即可求出CD，最后利用勾股定理即可求出AD．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E∵，，∴CE=BE=在Rt△ABE中，AE=∵S△ABC=∴解得：在Rt△CDA中，AD=【點(diǎn)睛】此題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理和三角形的面積公式，掌握三線合一、利用勾股定理解直角三角形和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．22、（1）AB=AP

，AB⊥AP

；（2）證明見(jiàn)解析；（3）AP=BQ，AP⊥BQ，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAP=45°+45°=90°，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AB=AP；（2）要證BQ=AP，可以轉(zhuǎn)化為證明Rt△BCQ≌Rt△ACP；（3）類(lèi)比（2）的證明就可以得到，證明垂直時(shí)，延長(zhǎng)QB交AP于點(diǎn)N，則∠PBN=∠CBQ，借助全等得到的角相等，得出∠APC+∠PBN=90°，進(jìn)一步可得出結(jié)論．．【詳解】解：（1）∵AC⊥BC且AC=BC，

∴△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴∠BAC=∠ABC=（180°-∠ACB）=45°，

∵，∠EFP=180°-∠ACB=90°，∴△EFP為等腰直角三角形，BC=AC=CP，∴∠PEF=45°，AB=AP，

∴∠BAP=45°+45°=90°，

∴AB=AP且AB⊥AP；

故答案為：AB=AP

，AB⊥AP

；

（2）證明：

∵EF=FP，EF⊥FP

∴∠EPF=45°．

∵AC⊥BC，

∴∠CQP=∠EPF=45°

∴CQ=CP

在

Rt△BCQ和Rt△ACP中，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP

（SAS）．

∴AP=BQ．

（3）AP=BQ，AP⊥BQ，理由如下：

∵EF=FP，EF⊥FP，

∴∠EPF=45°．

∴∠CPQ=∠EPF=45°

∵AC⊥BC

∴CQ=CP

在

Rt△BCQ和Rt△ACP中，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP

（SAS）．

∴AP=BQ，∠BQC=∠APC，如圖，延長(zhǎng)QB交AP于點(diǎn)N，

則∠PBN=∠CBQ，在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，

∴∠APC+∠PBN=90°，

∴∠PNB=90°，

∴QB⊥AP．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．能結(jié)合題意找到全等的三角形，并正確證明是解題關(guān)鍵．23、（1）證明見(jiàn)解析；（2）∠FAE=135°；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)已知條件易證∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根據(jù)SAS即可證得△ABC≌△ADE；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度數(shù)；（3）延長(zhǎng)BF到G，使得FG=FB，易證△AFB≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB=AG，∠ABF=∠G，再由△BAC≌△DAE，可得AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，所以AG=AD，∠ABF=∠CDA，即可得∠G=∠CDA，利用AAS證得△CGA≌△CDA，由全等三角形的性質(zhì)可得CG=CD，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF．【詳解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延長(zhǎng)BF到G，使得FG=FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB=AG，∠ABF=∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，∴∠G=∠CDA，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA，∴CG=CD，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解決第3問(wèn)需作輔助線，延長(zhǎng)BF到G，使得FG=FB，證得△CGA≌△CDA是解題的關(guān)鍵．24、（1）證明見(jiàn)解析；（2）∠ABE＝40°．【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，易證得△DEC≌△AEF（AAS），繼而可證得DC＝AF，又由DC＝AB，證得結(jié)論；（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，然后由∠BCD＝100°求得BE平分∠CBF，繼而求得答案．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴∠DCE＝∠F，∠FBC+∠BCD＝180°，∵E為AD的中點(diǎn)，∴DE＝AE．在△DEC和△AEF中，，∴△DEC≌△AEF（AAS）．∴DC＝AF．∴AB＝AF；（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，∵∠BCD＝100