第八章 第1講 直線的方程

第八章平面解析幾何第1講直線的方程

課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測1.理解直線的傾

斜角和斜率的概

念，掌握過兩點

的直線斜率的計

算公式.直線的傾斜

角與斜率2022新高考卷ⅠT21；

2022新高考卷ⅡT3直線是解析幾何中最基

本的內(nèi)容，一是在選擇

題、填空題中考查直線

的傾斜角、斜率、直線

的方程等基本知識，難

度不大；求直線的方

程2020全國卷ⅠT11；2020

全國卷ⅢT10課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測2.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，

探索并掌握直線方程的幾種形式(點

斜式、兩點式及一般式).3.能用直線方程解決一些簡單的數(shù)

學(xué)問題與實際問題.直線方程的

綜合應(yīng)用二是在解答題中與

圓、橢圓、雙曲

線、拋物線等知識

進(jìn)行綜合考查，難

度偏大.

1.直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角直線的斜率定

義定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，

我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向

與直線l①

?的方向之

間所成的角α叫做直線l的傾

斜角.規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重

合時，我們規(guī)定它的傾斜角

為②

?.向上

0°

k＝tanα

直線的傾斜角直線的斜率區(qū)

別(1)直線l垂直于x軸時，直線l的傾

斜角是⑥

；(2)傾斜角的取值

范圍為⑦

?.(1)直線l垂直于x軸時，直線l的斜率⑧

?

?；(2)斜率k的取值范圍為⑨

?.聯(lián)

系

[0，π)

不

存在

R

大

大

2.直線方程的五種形式名稱方程說明適用條件斜截

式y(tǒng)＝kx＋bk是直線的斜率；b是直線在y軸上的截距.與x軸不垂直的直線.點斜

式?

?

?點(x0，y0)是直線上的已知點；k是斜率.兩點

式點(x1，y1)，(x2，y2)是直線上的兩個已知點.與兩坐標(biāo)軸均不垂直

的直線.截距

式?

?a是直線在x軸上的截距；b是直線在y軸上的截距.不過原點且與兩坐標(biāo)

軸均不垂直的直線.y－y0＝k(x－x0)

名稱方程說明適用條件一般

式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線.注意

(1)當(dāng)直線與

x

軸不垂直時，可設(shè)直線方程為

y

＝

kx

＋

b

；當(dāng)直線與

y

軸不垂

直時，可設(shè)直線方程為

x

＝

my

＋

n

.(2)截距是指直線與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)值，可正，可負(fù)，可零.

1.下列說法正確的是(

D

)A.直線的傾斜角越大，其斜率越大B.若直線的斜率為tanα，則其傾斜角為αC.經(jīng)過定點P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示D.截距可以為負(fù)值

D1234562.[易錯題]已知直線

l

：

x

tan60°＋

y

－3＝0，則直線

l

的傾斜角α為(

C

)A.30°B.60°C.120°D.150°[解析]

∵

x

tan60°＋

y

－3＝0，∴

y

＝－

x

tan60°＋3＝

x

tan120°＋3，故直線

l

的傾

斜角是120°，故選C.C1234563.傾斜角為135°，在

y

軸上的截距為－1的直線方程是(

D

)A.x－y＋1＝0B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0D.x＋y＋1＝0[解析]

∵直線傾斜角是135°，∴直線的斜率等于－1，∵在

y

軸上的截距是－1，由

直線方程的斜截式得：

y

＝－1×

x

－1，即

x

＋

y

＋1＝0，故選D.D1234564.[多選]如圖，直線

l

1，

l

2，

l

3的斜率分別為

k

1，

k

2，

k

3，傾斜角分別為α1，α2，

α3，則下列選項正確的是(

AD

)A.k1＜k3＜k2B.k3＜k2＜k1C.α1＜α3＜α2D.α3＜α2＜α1

AD1234565.[教材改編]經(jīng)過

A

(0，3)，

B

(－2，0)兩點的直線的方向向量為(1，

k

)，則

k

的值

為

?.

1234566.[易錯題]已知點

A

(3，4)，則經(jīng)過點

A

且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為

?

?.[解析]設(shè)直線在

x

軸、

y

軸上的截距均為

a

.(討論截距是否為0)

4

x

－3

y

＝0或

x

＋

y

－7＝0123456

B訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

圖1圖2DA.0.75B.0.8C.0.85D.0.9訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3方法技巧1.直線斜率的求解方法

2.直線斜率與傾斜角之間的關(guān)系往往借助正切函數(shù)在[0，π)上的圖象判斷，注意正

切函數(shù)在[0，π)上不單調(diào)，要注意分類討論.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練1

(1)已知點

A

(－1，1)，

B

(1，2)，

C

(0，－1)，過點

C

的直線

l

與線段

AB

有公

共點，則直線

l

的斜率

k

的取值范圍是(

C

)

A.[－2，3]B.[－2，0)∪(0，3]C.(－∞，－2]∪[3，＋∞)D.以上都不對C訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3(2)直線

x

＋(

a

2＋1)

y

＋1＝0的傾斜角的取值范圍是(

B

)

B訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3命題點2

求直線的方程例2

(1)已知點

M

是直線

l

：2

x

－

y

－4＝0與

x

軸的交點，將直線

l

繞點

M

按逆時針方

向旋轉(zhuǎn)45°，得到的直線方程是(

D

)A.x＋y－3＝0B.x－3y－2＝0C.3x－y＋6＝0D.3x＋y－6＝0

D訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3(2)已知直線

l

過點

P

(3，2)，且與

x

軸、

y

軸的正半軸分別交于

A

，

B

兩點，如圖所

示，當(dāng)△

ABO

的面積最小時，直線

l

的方程為

?.2

x

＋3

y

－12＝0訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3方法技巧求直線方程的兩種方法直接法根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程.待定系數(shù)法先設(shè)所求直線方程的恰當(dāng)形式，再由題設(shè)條件列方程(組)，求出待定

系數(shù).訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

5

x

－3

y

＋1＝0

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3命題點3

直線方程的綜合應(yīng)用例3

(1)已知點

A

(2，5)，

B

(4，1).若點

P

(

x

，

y

)在線段

AB

上，則2

x

－

y

的最大值為

(

C

)A.－1B.3C.7D.8

C訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3(2)已知直線

l

的方程為(

a

＋1)

x

＋

y

＋3－

a

＝0(

a

∈R)，則直線

l

過定點

?

；若直線

l

不經(jīng)過第三象限，則實數(shù)

a

的取值范圍是

?.

(1，－4)

[3，＋∞)訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3方法技巧1.與直線有關(guān)的范圍問題要注意借助函數(shù)或者不等式求解.2.直線方程含參數(shù)時，注意判斷直線是否過定點或者斜率是否為定值.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3(2)[2023長春模擬]已知直線

l

1：

x

－

my

＋1＝0過定點

A

，直線

l

2：

mx

＋

y

－

m

＋3

＝0過定點

B

，

l

1與

l

2相交于點

P

，則｜

PA

｜＋｜

PB

｜的最大值為

?.

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

1234

12342.[命題點2]過點(－3，4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12的直線方程為

?

?.

4

x

－

y＋16＝0或

x

＋3

y

－9＝0

12343.[命題點2]已知兩條不重合的直線

l

1：

a

1

x

＋

b

1

y

＋1＝0和

l

2：

a

2

x

＋

b

2

y

＋1＝0

都過點

A

(2，1)，則過點

P

1(

a

1，

b

1)和點

P

2(

a

2，

b

2)的直線方程是(

A

)A.2x＋y＋1＝0B.2x－y＋1＝0C.2x＋y－1＝0D.x＋2y＋1＝0

A12344.[命題點2，3/2024四川內(nèi)江模擬]已知直線

l

：(

m

＋1)

x

＋(

m

－3)

y

＋2

m

＋10＝

0(

m

∈R).(1)求證：直線

l

與直線3

x

＋7

y

－2＝0總相交.

1234(2)若直線

l

交

x

軸的負(fù)半軸于點

A

，交

y

軸的正半軸于點

B

，

O

為坐標(biāo)原點，設(shè)△

AOB

的面積為

S

，求

S

的最小值及此時直線

l

的方程.

1234

1234

1.[2024江蘇南京聯(lián)考]過兩點

A

(3，

y

)，

B

(2，0)的直線的傾斜角為120°，則

y

＝

(

D

)

D123456789101112132.已知點

A

(－2，3)和

B

(4，2)，若直線

l

：

x

＋

my

＋

m

－1＝0與線段

AB

有交點，

則實數(shù)

m

的取值范圍是(

C

)C12345678910111213

123456789101112133.[2024四川成都七中段考]若直線

l

的方程為6

x

－6

y

cosβ＋13＝0，則直線

l

的傾斜

角α的取值范圍是(

D

)A.[0，π]

D123456789101112134.[2024貴州聯(lián)考]若直線

l

：(

a

－2)

x

＋

ay

＋2

a

－3＝0經(jīng)過第四象限，則實數(shù)

a

的取

值范圍為(

C

)A.(－∞，0)∪(2，＋∞)B.(－∞，0)∪[2，＋∞)

C123456789101112135.[2023山西模擬]將一矩形紙片

OABC

放在平面直角坐標(biāo)系中，

O

(0，0)，

A

(2，

0)，

C

(0，1)，將矩形紙片折疊，使點

O

落在線段

BC

上，設(shè)折痕所在直線的斜率為

k

，則

k

的取值范圍是(

D

)A.[0，1]B.[0，2]C.[－1，0)D.[－2，0]D12345678910111213

又當(dāng)折疊后點

O

與點

C

重合時，

k

＝0，所以－2≤

k

≤0，所以實數(shù)

k

的取值范圍是[－2，0].123456789101112136.[2024廣東佛山容山中學(xué)?？糫已知直線

l

的斜率小于0，且

l

經(jīng)過點

P

(6，8)，并與

坐標(biāo)軸分別交于

A

，

B

兩點，

C

(4，0)，當(dāng)△

ABC

的面積取得最小值時，直線

l

的斜

率為(

C

)C12345678910111213

123456789101112137.[多選/2024黑龍江牡丹江段考]已知直線

l

過點

P

(4，5)，且直線

l

在兩坐標(biāo)軸上的

截距的絕對值相等，則直線

l

的方程可能為(

ABC

)A.5x－4y＝0B.x－y＋1＝0C.x＋y－9＝0D.x＋y＋1＝0ABC12345678910111213

123456789101112138.[多選]已知直線

l

：(

t

＋2)

x

＋(

t

－1)

y

＋3＝0，則下列結(jié)論正確的是(

ACD

)A.直線l的斜率可以等于0B.直線l的斜率一定存在ACD12345678910111213

12345678910111213

12345678910111213

12345678910111213

A.y＝2x＋1D123456789101112