第八章 第5講 橢圓

第八章平面解析幾何第5講橢圓

課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測1.掌握橢圓的定

義、標(biāo)準(zhǔn)方程及

簡單幾何性質(zhì).橢圓的

定義及

其應(yīng)用2023全國卷甲T7；2023全國

卷甲T12；2021新高考卷

ⅠT5；2021全國卷甲T15；

2020新高考卷ⅠT9該講是高考命題的熱

點，主要體現(xiàn)：(1)以

定義作為命題思路求

解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、

離心率等；課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測2.了解橢

圓的簡單

應(yīng)用.橢圓的

標(biāo)準(zhǔn)方

程2023全國卷乙T20；2022全國卷甲T11；

2022全國卷乙T20；2021新高考卷

ⅡT20；2020新高考卷ⅠT22；2020新高考

卷ⅡT21；2020全國卷ⅠT20；2020全國卷

ⅡT19；2020全國卷ⅢT20；2019全國卷

ⅠT10；2019全國卷ⅡT21(2)以特殊的幾何圖

形為命題背景，求

解三角形的面積，

弦長等.題型既有小

題也有大題，難度

中等偏上.課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測3.體會數(shù)

形結(jié)合的

思想.橢圓的

幾何性

質(zhì)2023新高考卷ⅠT5；2022新高考卷

ⅠT16；2022全國卷乙T20；2022全國

卷甲T10；2021全國卷

乙T11；2020

全國卷ⅡT19；2019全國卷ⅢT15在2025年高考的備考

中，應(yīng)關(guān)注橢圓的定

義和幾何性質(zhì)在解題

中的應(yīng)用.

1.橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程(1)定義平面內(nèi)與兩個定點

F

1，

F

2的距離的和等于①

(大于｜

F

1

F

2｜)的點的軌跡

叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的②

，兩焦點間的距離叫做橢圓的③

?

?.集合語言：

P

＝{

M

｜｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜＝2

a

，2

a

＞｜

F

1

F

2｜}，｜

F

1

F

2｜＝2

c

，其中

a

＞

c

＞0，且

a

，

c

為常數(shù).注意

若2

a

＝｜

F

1

F

2｜，則動點的軌跡是線段

F

1

F

2；若2

a

＜｜

F

1

F

2｜，則動點

的軌跡不存在.常數(shù)

焦點

焦距(2)標(biāo)準(zhǔn)方程

a.中心在坐標(biāo)原點，焦點在

x

軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為④

(

a

＞

b

＞

0)；b.中心在坐標(biāo)原點，焦點在

y

軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為⑤

(

a

＞

b

＞0).

思維拓展橢圓的第二定義、第三定義

橢圓的第三定義：{

P

｜

kPA

·

kPB

＝

e

2－1，0＜

e

＜1，其中

kPA

，

kPB

分別表示點

P

與

兩定點

A

，

B

連線的斜率，

e

為離心率}.注意

橢圓的第三定義中的兩個定點(橢圓的頂點)在

x

軸上，且利用橢圓第三定義

得出的軌跡方程不包括這兩個定點.2.橢圓的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程幾

何

性

質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對稱性對稱軸：⑥

.對稱中心：⑦

?焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)頂點A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，

－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b，0)，B2(b，0)軸線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長軸和短軸，長軸長為

⑧

，短軸長為⑨

?焦距｜F1F2｜＝2c離心率a，b，c的關(guān)系?

?2a

2b

(0，1)

a2＝b2＋c2

x軸、y軸

原點

常用結(jié)論1.橢圓的焦點三角形以橢圓上的點

P

(

x

0，

y

0)與兩焦點

F

1，

F

2為頂點的△

PF

1

F

2叫做焦點三角形.如圖所示，設(shè)∠

F

1

PF

2＝θ.

1.(1)的推導(dǎo)過程：在焦點三角形

PF

1

F

2中，由余弦定理可得｜

F

1

F

2｜2＝｜

PF

1｜2

＋｜

PF

2｜2－2｜

PF

1｜｜

PF

2｜cosθ，

又函數(shù)

y

＝cos

x

在(0，π)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)

P

為短軸的端點時，θ最大.

C123456

A.a2＝2b2B.3a2＝4b2C.a＝2bD.3a＝4b

B1234563.[多選]下列說法正確的是(

CD

)A.平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓B.橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓C.關(guān)于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲線是橢圓CD1234564.[易錯題]平面內(nèi)一點

M

到兩定點

F

1(－6，0)，

F

2(6，0)的距離之和等于12，則點

M

的軌跡是

?.[解析]由題意知｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜＝12，但｜

F

1

F

2｜＝12，即｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜＝｜

F

1

F

2｜，所以點

M

的軌跡是線段

F

1

F

2.線段

F

1

F

2

123456

[解析]當(dāng)焦點在

x

軸上時，10－

m

＞

m

－2＞0，10－

m

－(

m

－2)＝4，∴

m

＝4.當(dāng)

焦點在

y

軸上時，

m

－2＞10－

m

＞0，

m

－2－(10－

m

)＝4，∴

m

＝8.4或8

1234566.已知橢圓的一個焦點為

F

(6，0)，且

B

1，

B

2是短軸的兩個端點，△

FB

1

B

2是等邊

三角形，則這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

?.

123456

命題點1

橢圓的定義及其應(yīng)用

A.1B.2C.4D.5

B訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

A.13B.12C.9D.6

C訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4(3)動圓

M

與圓

M

1：(

x

＋1)2＋

y

2＝1外切，與圓

M

2：(

x

－1)2＋

y

2＝25內(nèi)切，則動

圓圓心

M

的軌跡是

?.[解析]設(shè)圓

M

的半徑為

R

.

因為圓

M

與圓

M

1外切，與圓

M

2內(nèi)切，所以｜

MM

1｜

＝1＋

R

，｜

MM

2｜＝5－

R

，所以｜

MM

1｜＋｜

MM

2｜＝1＋

R

＋5－

R

＝6＞｜

M

1

M

2｜＝2，所以

M

的軌跡是橢圓.橢圓

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4方法技巧1.橢圓定義的主要應(yīng)用(1)確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的動點軌跡是否為橢圓；(2)解決與焦點有關(guān)的距離或范

圍問題.2.解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義以及余弦定理.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

B訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

A.3[解析]設(shè)橢圓的右焦點為

F

2(1，0)，則｜

AF

2｜＝1，｜

PA

｜＋｜

PF

｜＝｜

PA

｜

＋4－｜

PF

2｜＝4＋｜

PA

｜－｜

PF

2｜.又｜｜

PA

｜－｜

PF

2｜｜≤｜

AF

2｜＝1，

所以－1≤｜

PA

｜－｜

PF

2｜≤1，所以｜

PA

｜＋｜

PF

｜的最小值為3(此時點

P

是

射線

F

2

A

與橢圓的交點).A訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4(3)已知△

ABC

的周長為20，且頂點

B

(0，－4)，

C

(0，4)，則頂點

A

的軌跡方程

是

?.

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4命題點2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2

(1)[2023南京模擬]已知橢圓的兩個焦點分別為

F

1(0，2)，

F

2(0，－2)，

P

為橢圓

上任意一點，若｜

F

1

F

2｜是｜

PF

1｜，｜

PF

2｜的等差中項，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

為(

D

)

D訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

B訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4方法技巧求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法1.定義法先根據(jù)橢圓的定義確定

a

，

b

，

c

的值，再結(jié)合焦點位置求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.待定系數(shù)法若焦點位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出

a

，

b

的值；若焦

點位置不明確，則需要分焦點在

x

軸上和

y

軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓方程為

mx

2＋

ny

2＝1(

m

＞0，

n

＞0，

m

≠

n

)，用待定系數(shù)法求出

m

，

n

的值.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

B訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4命題點3

橢圓的幾何性質(zhì)角度1

離心率

A訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

A

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

C訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4方法技巧1.求橢圓離心率的方法

(3)構(gòu)造關(guān)于

a

，

c

的齊次式求離心率.可以不求出

a

，

c

的具體值，而是得出

a

與

c

的

關(guān)系，從而求得

e

.注意

將余弦定理與橢圓的定義結(jié)合列方程，是常見的構(gòu)造關(guān)于

a

，

b

，

c

的齊次

式的方法.2.求橢圓離心率范圍時，要注意對幾何圖形的臨界情況的應(yīng)用.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

B訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4(2)已知

F

1，

F

2是橢圓

C

的兩個焦點，

P

是

C

上的一點.若

PF

1⊥

PF

2，且∠

PF

2

F

1

＝60°，則

C

的離心率為(

D

)

D訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

D.2A訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

A.(0，1]∪[9，＋∞)C.(0，1]∪[4，＋∞)A訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4方法技巧利用橢圓的簡單幾何性質(zhì)求最值或范圍的思路(1)代數(shù)法，設(shè)坐標(biāo)，利用坐標(biāo)構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系，利用函數(shù)或基本不等式求最值

或范圍；(2)幾何法，通過數(shù)形結(jié)合、幾何意義等結(jié)合橢圓性質(zhì)求解.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

A.3B.4C.5D.6A訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

4

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4

1.[命題點1，2]已知△

ABC

中，

A

為動點，

B

(－2，0)，

C

(2，0)且滿足sin

C

＋sin

B

＝2sin

A

，則點

A

的軌跡方程為

?.

12345

B.｜PA｜＋｜PF2｜＜5D.｜PA｜＋｜PF1｜＞1AD12345

12345

12345

12345

12345

12345

1)12345

12345

12345

D.(2，6]C12345

將

x

軸下方半平面沿著

x

軸翻折，使之與

x

軸上方半平面所成的角為直角，如

圖所示，12345

12345

A.4B.8C.4或8D.12[解析]當(dāng)橢圓的焦點在

x

軸上時，10－

m

＞

m

－2＞0，且10－

m

－(

m

－2)＝4，

∴

m

＝4.當(dāng)橢圓的焦點在

y

軸上時，

m

－2＞10－

m

＞0，且

m

－2－(10－

m

)＝4，∴

m

＝8.∴

m

＝4或8.C12345678910111213141516171819

C123456789101112131415161718193.[2024陜西檢測]已知兩定點

F1(－1，0)，

F2(1，0)和一動點

P

，若｜F

1

F

2｜是｜

PF

1｜與｜

PF

2｜的等差中項，則動點

P

的軌跡方程為(

B

)

B12345678910111213141516171819

B12345678910111213141516171819

A12345678910111213141516171819

A12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

B123456789101112131415161718198.[多選/2023福州5月質(zhì)檢]已知橢圓

C

：

px

2＋

qy

2＝

r

，且

p

，

q

，

r

依次成公比為2

的等比數(shù)列，則(

BC

)A.C的長軸長為2D.C與圓(x－3)2＋y2＝1有2個公共點BC12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

[解析]因為

P

，

Q

為

C

上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且｜

PQ

｜＝｜

F

1

F

2｜，所

以四邊形

PF

1

QF

2為矩形.8

解法一設(shè)｜

PF

1｜＝

m

，｜

PF

2｜＝

n

，則

m

＋

n

＝8，

m

2＋

n

2＝｜

F

1

F

2｜2＝

48，所以(

m

＋

n

)2＝

m

2＋2

mn

＋

n

2＝48＋2

mn

＝64，可得

mn

＝8，即四邊形

PF

1

QF

2的面積等于8.

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

(1)若△

POF

2為等邊三角形，求

C

的離心率；

12345678910111213141516171819

即

c

｜

y

｜＝16

①，

x

2＋

y

2＝

c

2

②，

(2)如果存在點

P

，使得

PF

1⊥

PF

2，且△

F

1

PF

2的面積等于1