第十章 突破2 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布突破2概率與統(tǒng)計(jì)的綜合學(xué)生用書P250命題點(diǎn)1

概率與統(tǒng)計(jì)圖表綜合例1[2022新高考卷Ⅱ]在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者

的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代

表).

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率.[解析]

(2)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于

區(qū)間[20，70)的概率

P

＝(0.012＋0.017×2＋0.023

＋0.020)×10＝0.89.(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1％，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該

地區(qū)總?cè)丝诘?6％.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人

患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于

該區(qū)間的概率，精確到0.0001).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3[解析]

(3)設(shè)從該地區(qū)任選一人，年齡位于區(qū)間

[40，50)為事件

A

，患這種疾病為事件

B

，則

P

(

A

)＝16％＝0.16，

P

(

B

)＝0.001，由頻率分布直方圖知這種疾病患者年齡位于區(qū)間

[40，50)的概率為0.023×10＝0.23，即

P

(

A

｜

B

)＝0.23，所以

P

(

AB

)＝

P

(

B

)

P

(

A

｜

B

)＝0.001×0.23＝0.00023，

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧此類問題的主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識(shí)和使用這些圖表是解決此類問題的關(guān)

鍵.在弄清統(tǒng)計(jì)圖表的含義的基礎(chǔ)上要掌握好樣本的數(shù)字特征、各類概率及隨機(jī)變量

的分布列、均值與方差的求解方法.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練1[2023重慶市模擬]某校隨機(jī)抽取100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得

到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間(單位：h)的頻率分布直方圖如下.若被抽取的這100名學(xué)生中，

每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8h的有30人.(1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)

a

，

b

的值；[解析]

(1)由(

b

＋0.22)×0.5×100＝30，得

b

＝0.38.∵0.5×(0.14＋

a

＋0.42＋0.58＋0.38＋0.22)＝1，∴

a

＝0.26.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

(2)每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0，6.5)的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽取2人進(jìn)

行電話訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(3)依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0，6.5)和[7.0，7.5)的學(xué)生中按比例分

層隨機(jī)抽樣抽取8人，再?gòu)倪@8人中選3人進(jìn)行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)

間在[6.0，6.5)的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

X012P

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3命題點(diǎn)2

概率與回歸分析綜合例2[2023湖北荊荊宜三校聯(lián)考]近年來，我國(guó)大學(xué)生畢業(yè)人數(shù)呈逐年上升趨勢(shì)，各省

市出臺(tái)優(yōu)惠政策鼓勵(lì)高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè).某市統(tǒng)計(jì)了該市其中四

所大學(xué)2022年畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)(單位：千人)，得到下表：A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)D大學(xué)2022年畢業(yè)生人數(shù)x/千人3456自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)y/千人0.10.20.40.5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)假設(shè)該市政府對(duì)選擇自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生每人發(fā)放1萬元的創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼.(i)若該市

E

大學(xué)2022年畢業(yè)生人數(shù)為7千人，根據(jù)(1)的結(jié)論估計(jì)該市政府要給

E

大學(xué)

選擇自主創(chuàng)業(yè)的畢業(yè)生發(fā)放創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼的總金額；

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧概率與回歸分析綜合問題的解題思路(1)充分利用題目中提供的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(散點(diǎn)圖)作出判斷，確定是線性問題還是非

線性問題.求解時(shí)要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用變形公式，以達(dá)到快速準(zhǔn)確運(yùn)算的

目的.(2)明確所求問題所屬事件的類型，準(zhǔn)確構(gòu)建概率模型解題.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練2某校課題小組為了研究糧食產(chǎn)量與化肥施用量以及與化肥有效利用率間的關(guān)

系，收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)做了初步處理，得

到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.其中每畝化肥施用量為

x

(單位：千克)，

糧食畝產(chǎn)量為

y

(單位：百千克).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練365091.552.51478.630.5151546.5表中

ti

＝lnxi

，

zi

＝lnyi

(

i

＝1，2，…，10).(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷

y

＝

cxd

作為糧食畝產(chǎn)量

y

關(guān)于每畝化肥施用量

x

的經(jīng)驗(yàn)回歸方

程類型比較適宜.請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立

y

關(guān)于

x

的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)每畝化肥

施用量為27千克時(shí)，糧食畝產(chǎn)量

y

的值.(預(yù)測(cè)時(shí)取e≈2.7)例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)結(jié)合文獻(xiàn)可知，當(dāng)化肥施用量達(dá)到一定程度，糧食產(chǎn)量的增長(zhǎng)將趨于停滯，已知

某化肥有效利用率

Z

～

N

(0.54，0.022)，那么這種化肥的有效利用率超過56％的概率

為多少？

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3命題點(diǎn)3

概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合例3[2023全國(guó)卷甲]一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨

機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高

濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重

的增加量(單位：g).(1)設(shè)

X

表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求

X

的分布列和數(shù)學(xué)期望.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3.[解析]

(1)

X

的所有可能取值為0，1，2，

所以

X

的分布列為X012P

[解析]

(1)

X

的所有可能取值為0，1，2，X012P

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.826.5

27.5

30.1

32.6

34.3

34.8

35.635.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.518.0

18.8

19.2

19.8

20.2

21.6

22.823.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(i)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)

m

，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于

m

與不小于

m

的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：＜m≥m對(duì)照組試驗(yàn)組

列聯(lián)表如下：＜m≥m對(duì)照組614試驗(yàn)組146＜m≥m對(duì)照組614試驗(yàn)組146例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

所以有95％的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有

差異.

P(K2≥k)0.100

0.050

0.010k2.706

3.841

6.635例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合問題的解題思路(1)收集數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得

X

2的值后進(jìn)行比較并判斷；(2)按照隨機(jī)變量滿足的概率模型求解.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練3[2022新高考卷Ⅰ]一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生

習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查

了100例(稱為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組)，

得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99％的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

1.[命題點(diǎn)1]某科技公司開發(fā)出一款生態(tài)環(huán)保產(chǎn)品.已知該環(huán)保產(chǎn)品每售出1件預(yù)計(jì)利

潤(rùn)為0.4萬元，當(dāng)月未售出的環(huán)保產(chǎn)品，每件虧損0.2萬元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，該環(huán)保產(chǎn)

品的市場(chǎng)月需求量

x

(單位：件)在[155，205]內(nèi)取值，將月需求量區(qū)間平均分成5

組，以各組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的月需求量，得到如圖所示的頻率分布折線圖.123

(1)請(qǐng)根據(jù)頻率分布折線圖，估計(jì)該環(huán)保產(chǎn)品的市場(chǎng)月需求量的平均值及方差；

123(2)設(shè)市場(chǎng)月需求量為

M

件，由題意知，

M

的所有可能值為160，170，180，190，

200，則

M

的分布列為M160170180190200P0.050.20.40.30.05(2)以頻率分布折線圖的頻率估計(jì)概率，若該公司計(jì)劃環(huán)保產(chǎn)品的月產(chǎn)量

n

∈[180，

190]，

n

∈N*(單位：件)，求月利潤(rùn)

Y

(單位：萬元)的數(shù)學(xué)期望的最大值.

123當(dāng)180≤

n

≤190，

n

∈N*時(shí)，若市場(chǎng)月需求量為160，則

Y

＝96－0.2

n

；若市場(chǎng)月需求量為170，則

Y

＝102－0.2

n

；若市場(chǎng)月需求量為180，則

Y

＝108－0.2

n

；若市場(chǎng)月需求量為190或200，則

Y

＝0.4

n

.故

E

(

Y

)＝(96－0.2

n

)×0.05＋(102－0.2

n

)×0.2＋(108－0.2

n

)×0.4＋0.4

n

×0.35＝

68.4＋0.01

n

.又

n

∈[180，190]，故當(dāng)

n

＝190時(shí)，月利潤(rùn)

Y

的數(shù)學(xué)期望取得最大值，為70.3萬元.1232.[命題點(diǎn)2/多選/2023沈陽(yáng)市三檢]下列命題中正確的是(

ABD

)A.已知一組數(shù)據(jù)6，6，7，8，10，12，則這組數(shù)據(jù)的50％分位數(shù)是7.5B.已知隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，且P(X＞3)＝0.3，則P(1＜X＜2)＝0.2ABD123

1233.[命題點(diǎn)3/2024平許濟(jì)洛第一次質(zhì)檢]“馬街書會(huì)”是流行于河南省寶豐縣的傳統(tǒng)民

俗活動(dòng)，為國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.每年農(nóng)歷正月十三為書會(huì)正日，屆時(shí)來自各

地的說書藝人負(fù)鼓攜琴，匯集于此，說書亮藝，河南墜子、道情、琴書等曲種應(yīng)有

盡有，規(guī)模壯觀.為了解人們對(duì)該活動(dòng)的喜愛程度，現(xiàn)隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)

計(jì)，得到如下列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬喝瞬幌矏巯矏酆嫌?jì)男性90120女性25合計(jì)200123(1)完成2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷人們對(duì)該活動(dòng)的喜

愛程度是否與性別有關(guān)聯(lián).[解析]

(1)補(bǔ)全的2×2列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬喝瞬幌矏巯矏酆嫌?jì)男性3090120女性255580合計(jì)55145200

123

①求戲迷甲至少正確完成其中3道題的概率；

123②設(shè)隨機(jī)變量

X

表示戲迷乙正確完成題的個(gè)數(shù)，求

X

的分布列及數(shù)學(xué)期望.

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828123

X234P

123

學(xué)生用書·作業(yè)幫P3981.第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)(簡(jiǎn)稱“成都大運(yùn)會(huì)”)于2023年7月28日在四川成都

開幕，這是中國(guó)西部第一次舉辦世界性綜合運(yùn)動(dòng)會(huì).為普及大運(yùn)會(huì)相關(guān)知識(shí)，營(yíng)造良

好的賽事氛圍，某學(xué)校舉行“大運(yùn)會(huì)百科知識(shí)”答題活動(dòng)，并隨機(jī)抽取了20名學(xué)

生，他們的答題得分(滿分100分)的頻率分布直方圖如圖所示(分組區(qū)間為[50，60)，

[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]).123456(2)若從樣本中任選2名得分在[50，70)內(nèi)的學(xué)生，求這2人中恰有1人的得分在[60，

70)內(nèi)的概率.

(2)由已知可得得分在[50，60)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為0.01×10×20＝2，得分在[60，70)內(nèi)

的學(xué)生人數(shù)為0.02×10×20＝4.(1)求頻率分布直方圖中

a

的值及這20名學(xué)生得分的80％分位數(shù)；123456

1234562.在高三一輪復(fù)習(xí)中，大單元復(fù)習(xí)教學(xué)法日漸受到老師們的喜愛，為了檢驗(yàn)這種復(fù)

習(xí)方法的效果，在

A

，

B

兩所學(xué)校的高三年級(jí)用數(shù)學(xué)科目進(jìn)行了對(duì)比測(cè)試.已知

A

校

采用大單元復(fù)習(xí)教學(xué)法，

B

校采用傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)法.在經(jīng)歷兩個(gè)月的實(shí)踐后舉行了

考試，現(xiàn)從

A

，

B

兩校高三年級(jí)各隨機(jī)抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分

150分)在各個(gè)分?jǐn)?shù)段對(duì)應(yīng)的人數(shù)如下表所示：[0，90)[90，110)[110，130)[130，150]A校6145030B校14263822123456(1)若把數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分評(píng)定為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，低于110分評(píng)定為數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)

秀，完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析復(fù)習(xí)教學(xué)法與評(píng)

定結(jié)果是否有關(guān)；單位：人數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀總計(jì)A校B?？傆?jì)123456[解析]

(1)由題意完成2×2列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬喝藬?shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀總計(jì)A校2080100B校4060100總計(jì)60140200

123456(2)在

A

校抽取的100名學(xué)生中按分層隨機(jī)抽樣的方法從成績(jī)?cè)赱0，90)和[90，110)內(nèi)

的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記抽取的3人中成績(jī)

在[0，90)內(nèi)的人數(shù)為

X

，求

X

的分布列與數(shù)學(xué)期望.

α0.100.010.001xα2.7066.63510.828123456

X0123P

1234563.[2024廣西玉林模擬]2023年5月10日，長(zhǎng)征七號(hào)遙七運(yùn)載火箭劍指蒼穹，搭載天舟

六號(hào)貨運(yùn)飛船為中國(guó)空間站運(yùn)送補(bǔ)給物資，為中國(guó)空間站的航天員們長(zhǎng)時(shí)間探索宇

宙奧秘提供強(qiáng)有力的后援支持.5月30日，神舟十六號(hào)發(fā)射成功.在“神箭”“神舟”

的護(hù)送下，景海鵬、朱楊柱、桂海潮3名中國(guó)航天員順利進(jìn)入太空，開啟為期5個(gè)月

的太空科研之旅.某校部分學(xué)生十分關(guān)注中國(guó)空間站的發(fā)展，若將累計(jì)關(guān)注中國(guó)空間

站發(fā)展的消息6次及以上者稱為“航天達(dá)人”，未達(dá)到6次者稱為“非航天達(dá)人”.現(xiàn)

從該校隨機(jī)抽取200人進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表所示：123456單位：人航天達(dá)人非航天達(dá)人合計(jì)男8040120女305080合計(jì)11090200123456(1)依據(jù)小概率值α＝0.01的

X

2獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否為“航天達(dá)人”與性別有

關(guān)聯(lián)？

123456(2)①?gòu)碾S機(jī)抽取的這200名學(xué)生中采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，再?gòu)倪@20人

中隨機(jī)抽取3人.記事件

A

＝“至少有2名是男生”，事件

B

＝“至少有2名既是‘航天

達(dá)人’又是男生”，事件

C

＝“至多有1名既是‘航天達(dá)人’又是女生”.試計(jì)算

P

(

A

)·

P(

B

｜

A

)

P

(

C

｜

AB

)和

P

(

ABC

)的值，并比較它們的大小.②由①中

P

(

ABC

)與

P

(

A

)

P

(

B

｜

A

)

P

(

C

｜

AB

)的大小關(guān)系能否推廣到更一般的情

形？請(qǐng)寫出結(jié)論，并說明理由.

α0.100.050.01xα2.7063.8416.635123456

123456

1234564.[2023河南駐馬店6月模擬]2023年是充滿挑戰(zhàn)的一年，為應(yīng)對(duì)復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，各

地出臺(tái)了促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的各項(xiàng)政策，并取得了較好的效果.某市零售行業(yè)為促進(jìn)消

費(fèi)，開展了新一輪的讓利促銷活動(dòng)，活動(dòng)之初，利用各種媒體進(jìn)行了大量的廣告宣

傳，為了解傳媒對(duì)本次促銷活動(dòng)的影響，在本市內(nèi)隨機(jī)抽取了6個(gè)大型零售賣場(chǎng)(分

別編號(hào)為1，2，3，…，6)，得到其宣傳費(fèi)用

x

(單位：萬元)和銷售額

y

(單位：萬元)

的數(shù)據(jù)如下：123456x/萬元2356812y/萬元303440455060123456(1)求

y

關(guān)于

x

的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)宣傳費(fèi)用至少多少萬元時(shí)(結(jié)果取整數(shù))，銷

售額能突破100萬元.

123456(2)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，人們往往關(guān)注投入和產(chǎn)出比值，在這次促銷活動(dòng)中，設(shè)銷售額與投

入的宣傳費(fèi)用的比值為λ，若λ＞10，稱這次宣傳策劃是高效的；否則為非高效的.從

這6家賣場(chǎng)中隨機(jī)抽取3家.①若抽取的3家中含有宣傳策劃高