第十章 突破2 概率與統(tǒng)計的綜合

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布突破2概率與統(tǒng)計的綜合學生用書P250命題點1

概率與統(tǒng)計圖表綜合例1[2022新高考卷Ⅱ]在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者

的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代

表).

例1訓練1例2訓練2例3訓練3(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率.[解析]

(2)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于

區(qū)間[20，70)的概率

P

＝(0.012＋0.017×2＋0.023

＋0.020)×10＝0.89.(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1％，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該

地區(qū)總人口的16％.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人

患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于

該區(qū)間的概率，精確到0.0001).例1訓練1例2訓練2例3訓練3[解析]

(3)設從該地區(qū)任選一人，年齡位于區(qū)間

[40，50)為事件

A

，患這種疾病為事件

B

，則

P

(

A

)＝16％＝0.16，

P

(

B

)＝0.001，由頻率分布直方圖知這種疾病患者年齡位于區(qū)間

[40，50)的概率為0.023×10＝0.23，即

P

(

A

｜

B

)＝0.23，所以

P

(

AB

)＝

P

(

B

)

P

(

A

｜

B

)＝0.001×0.23＝0.00023，

例1訓練1例2訓練2例3訓練3方法技巧此類問題的主要依托點是統(tǒng)計圖表，正確認識和使用這些圖表是解決此類問題的關

鍵.在弄清統(tǒng)計圖表的含義的基礎上要掌握好樣本的數(shù)字特征、各類概率及隨機變量

的分布列、均值與方差的求解方法.例1訓練1例2訓練2例3訓練3訓練1[2023重慶市模擬]某校隨機抽取100名居家學習的高二學生進行問卷調查，得

到學生每天學習時間(單位：h)的頻率分布直方圖如下.若被抽取的這100名學生中，

每天學習時間不低于8h的有30人.(1)求頻率分布直方圖中實數(shù)

a

，

b

的值；[解析]

(1)由(

b

＋0.22)×0.5×100＝30，得

b

＝0.38.∵0.5×(0.14＋

a

＋0.42＋0.58＋0.38＋0.22)＝1，∴

a

＝0.26.例1訓練1例2訓練2例3訓練3

(2)每天學習時間在[6.0，6.5)的7名學生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽取2人進

行電話訪談，已知抽取的學生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；例1訓練1例2訓練2例3訓練3(3)依據(jù)所抽取的樣本，從每天學習時間在[6.0，6.5)和[7.0，7.5)的學生中按比例分

層隨機抽樣抽取8人，再從這8人中選3人進行電話訪談，求抽取的3人中每天學習時

間在[6.0，6.5)的人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

例1訓練1例2訓練2例3訓練3

X012P

例1訓練1例2訓練2例3訓練3命題點2

概率與回歸分析綜合例2[2023湖北荊荊宜三校聯(lián)考]近年來，我國大學生畢業(yè)人數(shù)呈逐年上升趨勢，各省

市出臺優(yōu)惠政策鼓勵高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè).某市統(tǒng)計了該市其中四

所大學2022年畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)(單位：千人)，得到下表：A大學B大學C大學D大學2022年畢業(yè)生人數(shù)x/千人3456自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)y/千人0.10.20.40.5

例1訓練1例2訓練2例3訓練3

例1訓練1例2訓練2例3訓練3(2)假設該市政府對選擇自主創(chuàng)業(yè)的大學生每人發(fā)放1萬元的創(chuàng)業(yè)補貼.(i)若該市

E

大學2022年畢業(yè)生人數(shù)為7千人，根據(jù)(1)的結論估計該市政府要給

E

大學

選擇自主創(chuàng)業(yè)的畢業(yè)生發(fā)放創(chuàng)業(yè)補貼的總金額；

例1訓練1例2訓練2例3訓練3

例1訓練1例2訓練2例3訓練3方法技巧概率與回歸分析綜合問題的解題思路(1)充分利用題目中提供的成對樣本數(shù)據(jù)(散點圖)作出判斷，確定是線性問題還是非

線性問題.求解時要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用變形公式，以達到快速準確運算的

目的.(2)明確所求問題所屬事件的類型，準確構建概率模型解題.例1訓練1例2訓練2例3訓練3訓練2某校課題小組為了研究糧食產量與化肥施用量以及與化肥有效利用率間的關

系，收集了10組化肥施用量和糧食畝產量的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)做了初步處理，得

到了如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.其中每畝化肥施用量為

x

(單位：千克)，

糧食畝產量為

y

(單位：百千克).例1訓練1例2訓練2例3訓練365091.552.51478.630.5151546.5表中

ti

＝lnxi

，

zi

＝lnyi

(

i

＝1，2，…，10).(1)根據(jù)散點圖，判斷

y

＝

cxd

作為糧食畝產量

y

關于每畝化肥施用量

x

的經驗回歸方

程類型比較適宜.請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立

y

關于

x

的經驗回歸方程，并預測每畝化肥

施用量為27千克時，糧食畝產量

y

的值.(預測時取e≈2.7)例1訓練1例2訓練2例3訓練3

例1訓練1例2訓練2例3訓練3(2)結合文獻可知，當化肥施用量達到一定程度，糧食產量的增長將趨于停滯，已知

某化肥有效利用率

Z

～

N

(0.54，0.022)，那么這種化肥的有效利用率超過56％的概率

為多少？

例1訓練1例2訓練2例3訓練3命題點3

概率與獨立性檢驗綜合例3[2023全國卷甲]一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨

機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高

濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重

的增加量(單位：g).(1)設

X

表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求

X

的分布列和數(shù)學期望.例1訓練1例2訓練2例3訓練3.[解析]

(1)

X

的所有可能取值為0，1，2，

所以

X

的分布列為X012P

[解析]

(1)

X

的所有可能取值為0，1，2，X012P

例1訓練1例2訓練2例3訓練3(2)試驗結果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.826.5

27.5

30.1

32.6

34.3

34.8

35.635.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.518.0

18.8

19.2

19.8

20.2

21.6

22.823.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5例1訓練1例2訓練2例3訓練3(i)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)

m

，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于

m

與不小于

m

的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：＜m≥m對照組試驗組

列聯(lián)表如下：＜m≥m對照組614試驗組146＜m≥m對照組614試驗組146例1訓練1例2訓練2例3訓練3

所以有95％的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有

差異.

P(K2≥k)0.100

0.050

0.010k2.706

3.841

6.635例1訓練1例2訓練2例3訓練3方法技巧概率與獨立性檢驗綜合問題的解題思路(1)收集數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得

X

2的值后進行比較并判斷；(2)按照隨機變量滿足的概率模型求解.例1訓練1例2訓練2例3訓練3訓練3[2022新高考卷Ⅰ]一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生

習慣(衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查

了100例(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人(稱為對照組)，

得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99％的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？

例1訓練1例2訓練2例3訓練3

例1訓練1例2訓練2例3訓練3

例1訓練1例2訓練2例3訓練3

例1訓練1例2訓練2例3訓練3

1.[命題點1]某科技公司開發(fā)出一款生態(tài)環(huán)保產品.已知該環(huán)保產品每售出1件預計利

潤為0.4萬元，當月未售出的環(huán)保產品，每件虧損0.2萬元.根據(jù)市場調研，該環(huán)保產

品的市場月需求量

x

(單位：件)在[155，205]內取值，將月需求量區(qū)間平均分成5

組，以各組區(qū)間的中點值代表該組的月需求量，得到如圖所示的頻率分布折線圖.123

(1)請根據(jù)頻率分布折線圖，估計該環(huán)保產品的市場月需求量的平均值及方差；

123(2)設市場月需求量為

M

件，由題意知，

M

的所有可能值為160，170，180，190，

200，則

M

的分布列為M160170180190200P0.050.20.40.30.05(2)以頻率分布折線圖的頻率估計概率，若該公司計劃環(huán)保產品的月產量

n

∈[180，

190]，

n

∈N*(單位：件)，求月利潤

Y

(單位：萬元)的數(shù)學期望的最大值.

123當180≤

n

≤190，

n

∈N*時，若市場月需求量為160，則

Y

＝96－0.2

n

；若市場月需求量為170，則

Y

＝102－0.2

n

；若市場月需求量為180，則

Y

＝108－0.2

n

；若市場月需求量為190或200，則

Y

＝0.4

n

.故

E

(

Y

)＝(96－0.2

n

)×0.05＋(102－0.2

n

)×0.2＋(108－0.2

n

)×0.4＋0.4

n

×0.35＝

68.4＋0.01

n

.又

n

∈[180，190]，故當

n

＝190時，月利潤

Y

的數(shù)學期望取得最大值，為70.3萬元.1232.[命題點2/多選/2023沈陽市三檢]下列命題中正確的是(

ABD

)A.已知一組數(shù)據(jù)6，6，7，8，10，12，則這組數(shù)據(jù)的50％分位數(shù)是7.5B.已知隨機變量X～N(2，σ2)，且P(X＞3)＝0.3，則P(1＜X＜2)＝0.2ABD123

1233.[命題點3/2024平許濟洛第一次質檢]“馬街書會”是流行于河南省寶豐縣的傳統(tǒng)民

俗活動，為國家級非物質文化遺產之一.每年農歷正月十三為書會正日，屆時來自各

地的說書藝人負鼓攜琴，匯集于此，說書亮藝，河南墜子、道情、琴書等曲種應有

盡有，規(guī)模壯觀.為了解人們對該活動的喜愛程度，現(xiàn)隨機抽取200人進行調查統(tǒng)

計，得到如下列聯(lián)表：單位：人不喜愛喜愛合計男性90120女性25合計200123(1)完成2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，判斷人們對該活動的喜

愛程度是否與性別有關聯(lián).[解析]

(1)補全的2×2列聯(lián)表如下：單位：人不喜愛喜愛合計男性3090120女性255580合計55145200

123

①求戲迷甲至少正確完成其中3道題的概率；

123②設隨機變量

X

表示戲迷乙正確完成題的個數(shù)，求

X

的分布列及數(shù)學期望.

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828123

X234P

123

學生用書·作業(yè)幫P3981.第31屆世界大學生夏季運動會(簡稱“成都大運會”)于2023年7月28日在四川成都

開幕，這是中國西部第一次舉辦世界性綜合運動會.為普及大運會相關知識，營造良

好的賽事氛圍，某學校舉行“大運會百科知識”答題活動，并隨機抽取了20名學

生，他們的答題得分(滿分100分)的頻率分布直方圖如圖所示(分組區(qū)間為[50，60)，

[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]).123456(2)若從樣本中任選2名得分在[50，70)內的學生，求這2人中恰有1人的得分在[60，

70)內的概率.

(2)由已知可得得分在[50，60)內的學生人數(shù)為0.01×10×20＝2，得分在[60，70)內

的學生人數(shù)為0.02×10×20＝4.(1)求頻率分布直方圖中

a

的值及這20名學生得分的80％分位數(shù)；123456

1234562.在高三一輪復習中，大單元復習教學法日漸受到老師們的喜愛，為了檢驗這種復

習方法的效果，在

A

，

B

兩所學校的高三年級用數(shù)學科目進行了對比測試.已知

A

校

采用大單元復習教學法，

B

校采用傳統(tǒng)的復習教學法.在經歷兩個月的實踐后舉行了

考試，現(xiàn)從

A

，

B

兩校高三年級各隨機抽取100名學生，統(tǒng)計他們的數(shù)學成績(滿分

150分)在各個分數(shù)段對應的人數(shù)如下表所示：[0，90)[90，110)[110，130)[130，150]A校6145030B校14263822123456(1)若把數(shù)學成績不低于110分評定為數(shù)學成績優(yōu)秀，低于110分評定為數(shù)學成績不優(yōu)

秀，完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析復習教學法與評

定結果是否有關；單位：人數(shù)學成績不優(yōu)秀數(shù)學成績優(yōu)秀總計A校B?？傆?23456[解析]

(1)由題意完成2×2列聯(lián)表如下：單位：人數(shù)學成績不優(yōu)秀數(shù)學成績優(yōu)秀總計A校2080100B校4060100總計60140200

123456(2)在

A

校抽取的100名學生中按分層隨機抽樣的方法從成績在[0，90)和[90，110)內

的學生中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人進行訪談，記抽取的3人中成績

在[0，90)內的人數(shù)為

X

，求

X

的分布列與數(shù)學期望.

α0.100.010.001xα2.7066.63510.828123456

X0123P

1234563.[2024廣西玉林模擬]2023年5月10日，長征七號遙七運載火箭劍指蒼穹，搭載天舟

六號貨運飛船為中國空間站運送補給物資，為中國空間站的航天員們長時間探索宇

宙奧秘提供強有力的后援支持.5月30日，神舟十六號發(fā)射成功.在“神箭”“神舟”

的護送下，景海鵬、朱楊柱、桂海潮3名中國航天員順利進入太空，開啟為期5個月

的太空科研之旅.某校部分學生十分關注中國空間站的發(fā)展，若將累計關注中國空間

站發(fā)展的消息6次及以上者稱為“航天達人”，未達到6次者稱為“非航天達人”.現(xiàn)

從該校隨機抽取200人進行分析，得到數(shù)據(jù)如下表所示：123456單位：人航天達人非航天達人合計男8040120女305080合計11090200123456(1)依據(jù)小概率值α＝0.01的

X

2獨立性檢驗，能否認為是否為“航天達人”與性別有

關聯(lián)？

123456(2)①從隨機抽取的這200名學生中采用分層隨機抽樣的方法抽取20人，再從這20人

中隨機抽取3人.記事件

A

＝“至少有2名是男生”，事件

B

＝“至少有2名既是‘航天

達人’又是男生”，事件

C

＝“至多有1名既是‘航天達人’又是女生”.試計算

P

(

A

)·

P(

B

｜

A

)

P

(

C

｜

AB

)和

P

(

ABC

)的值，并比較它們的大小.②由①中

P

(

ABC

)與

P

(

A

)

P

(

B

｜

A

)

P

(

C

｜

AB

)的大小關系能否推廣到更一般的情

形？請寫出結論，并說明理由.

α0.100.050.01xα2.7063.8416.635123456

123456

1234564.[2023河南駐馬店6月模擬]2023年是充滿挑戰(zhàn)的一年，為應對復雜的經濟形勢，各

地出臺了促進經濟發(fā)展的各項政策，并取得了較好的效果.某市零售行業(yè)為促進消

費，開展了新一輪的讓利促銷活動，活動之初，利用各種媒體進行了大量的廣告宣

傳，為了解傳媒對本次促銷活動的影響，在本市內隨機抽取了6個大型零售賣場(分

別編號為1，2，3，…，6)，得到其宣傳費用

x

(單位：萬元)和銷售額

y

(單位：萬元)

的數(shù)據(jù)如下：123456x/萬元2356812y/萬元303440455060123456(1)求

y

關于

x

的經驗回歸方程，并預測當宣傳費用至少多少萬元時(結果取整數(shù))，銷

售額能突破100萬元.

123456(2)經濟活動中，人們往往關注投入和產出比值，在這次促銷活動中，設銷售額與投

入的宣傳費用的比值為λ，若λ＞10，稱這次宣傳策劃是高效的；否則為非高效的.從

這6家賣場中隨機抽取3家.①若抽取的3家中含有宣傳策劃高