4.1 指數(shù)（解析版）-高中數(shù)學(xué)教學(xué)資料

.1指數(shù)知識(shí)點(diǎn)一由根式的意義求范圍【【解題思路】對(duì)于eq\r(n,a)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要注意兩點(diǎn)(1)只有a≥0才有意義．(2)只要eq\r(n,a)有意義，eq\r(n,a)必不為負(fù)．【例1】（2023高一·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）若有意義，則a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由有意義，得，解得，所以a的取值范圍是.故選：B【變式】1.（2024廣東湛江）若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，要使得有意義，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．2．（2024湖北黃岡）已知a∈R，n∈N*，給出四個(gè)式子：①；②；③；④，其中沒(méi)有意義的是________.(只填式子的序號(hào)即可)【答案】③【解析】①中，(－2)2n>0，∴有意義；②中，根指數(shù)為5，∴有意義；③中，(－3)2n＋1<0，∴沒(méi)有意義；④中，根指數(shù)為9，∴有意義.故答案為：③3．（2023吉林松原·階段練習(xí)）若代數(shù)式有意義，則.【答案】8【解析】因?yàn)榇鷶?shù)式有意義，所以且，故，所以，故答案為：8.知識(shí)點(diǎn)二利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值【【解題思路】1.正確區(qū)分eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n(1)(eq\r(n,a))n已暗含了eq\r(n,a)有意義，根據(jù)n的奇偶性可知a的范圍．(2)eq\r(n,an)中的a可以是全體實(shí)數(shù)，eq\r(n,an)的值取決于n的奇偶性．2.有限制條件根式的化簡(jiǎn)(1)有限制條件根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題，是指被開(kāi)方數(shù)或被開(kāi)方的表達(dá)式可以通過(guò)配方、拆分等方式進(jìn)行化簡(jiǎn)．(2)有限制條件根式的化簡(jiǎn)經(jīng)常用到配方的方法．當(dāng)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，在利用公式化簡(jiǎn)時(shí)，要考慮被開(kāi)方數(shù)或被開(kāi)方的表達(dá)式的正負(fù)．【例2-1】（23-24高一上·江蘇無(wú)錫·期中）當(dāng)有意義時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橛幸饬x，所以，則，則，故選：C.【例2-2】（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)10(3)(4)【解析】（1）．（2）．（3）．（4）．【變式】1．（23-24高一上·甘肅蘭州·期中）（多選）若，化簡(jiǎn)的結(jié)果可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由題意知，即，即，故或，則，故選：AC2．（2023高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）求使等式成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】，要使成立，需解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.3．（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)2(3)(4)(5)【解析】（1）由題意得；（2）（3）（4）由于，則，故；（5）.知識(shí)點(diǎn)三根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化【【解題思路】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開(kāi)方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．(2)在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．【例3-1】（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）求值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)8(2)3)27(4)【解析】（1）由題意得；（2）（3）（4）.【例3-2】（2024·上海高一專(zhuān)題練習(xí)）將下列根式化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式：（1）（a>0）；（2）（x>0）；（3）（b>0）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）原式====.（2）原式======.（3）原式===.【變式】1．（24-25高一上·全國(guó)·假期作業(yè)）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D正確．故選：B．2．（2023高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（多選）下列關(guān)系式中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】BC【解析】對(duì)于A，（），故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，（），故B正確；對(duì)于C，（），故C正確；對(duì)于D，，而無(wú)意義，故D錯(cuò)誤.故選：BC3．（2024福建）用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（a>0，b>0）.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【解析】（1）原式=.（2）原式=.（3）原式=.（4）原式=.（5）原式=.（6）原式====.知識(shí)點(diǎn)四利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值【【解題思路】指數(shù)冪運(yùn)算的常用技巧(1)有括號(hào)先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算．(2)負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．【例4-1】（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)（式中的字母均為正實(shí)數(shù)）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【解析】（1）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（2）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（3）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（4）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（5）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（6）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（7）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（8）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.【例4-2】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算下列各式.(1)；(2)(3)；(4)；(5)；(6)；【答案】(1)(2)(3)44)(5)(6)【解析】（1）解：由指數(shù)冪的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，可得：.（2）解：由指數(shù)冪的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，可得：.（3）解：由指數(shù)冪的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，可得：.（4）解：由指數(shù)冪的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，可得：.（5）解：由指數(shù)冪的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，可得：.（6）解：由指數(shù)冪的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，可得：.【變式】1．（23-24高一上·廣東廣州·期中）計(jì)算下列各式：(1)；(2)(3)；(4)(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)5(6)【解析】（1）原式.（2）原式.（3）；（4）（5）原式；（6）原式．2．（23-24高一上·廣東廣州·期中）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示并計(jì)算下列各式（式中字母均正數(shù)），寫(xiě)出化簡(jiǎn)步驟.(1)；(2)（3）（4）

（5）().【答案】(1)(2)1（3）（4）【解析】（1）..（3）.（4）.（5）.知識(shí)點(diǎn)五整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪【【解題思路】利用整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)整體代換法是數(shù)學(xué)變形與計(jì)算常用的技巧方法，分析觀察條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用恒等式是關(guān)鍵．(2)利用整體代換法解決分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的計(jì)算問(wèn)題，常常運(yùn)用完全平方公式及其變形公式．【例5】（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)或【解析】（1）因?yàn)?，由，所?（2）因?yàn)?，由，所?（3）因?yàn)椋?，?（4）因?yàn)椋?，由，?dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得.【變式】1．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）已知，求下列各式的值.(1)(2)(3)【答案】(1)(2)6(3)【解析】（1）由，可知，因?yàn)?，?（2）.（3）由（1）知，所以，又因?yàn)?，所以，所?2．（2013北京）已知，且，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因?yàn)?，且，所?.（2）.（3）.3．（2024上海）（1）若，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1），則．（2），且,．單選題1．（2024廣東潮州）設(shè)a>0，b>0，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．-3a【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?故選：D.2．（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）下列關(guān)于的形式的運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于，A正確，B，C錯(cuò)誤；，由于無(wú)意義，D錯(cuò)誤，故選：A3．（23-24高一上·四川雅安·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，得，則，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A.4．（2024廣東）若xn＝a（x≠0），則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x的n次方根為a；②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a的n次方根為x；③當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x的n次方根為±a；④當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a的n次方根為±x.A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】n為奇數(shù)時(shí)，a的n次方根只有1個(gè)，為x；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由于（±x）n＝xn＝a，所以a的n次方根有2個(gè)，為±x.所以說(shuō)法②④是正確的，故選：B.5．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；∵，∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；成立，故D正確.故選：D.6．（2024江蘇）計(jì)算結(jié)果正確的是（）A．﹣6x2y3÷x2y2=﹣12yB．C．16x5y7÷（﹣2x3y2）=﹣32x2y5D．【答案】A【解析】對(duì)于A：左邊=，故A正確；對(duì)于B：左邊=，故B不正確；對(duì)于C：左邊=16x5y7÷（﹣2x3y2）=﹣8x2y5，故C不正確；對(duì)于D：左邊=，故D不正確.故選：A.7．（2025·南京）已知，則下列運(yùn)算中正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】A選項(xiàng)：，∴，又，∴，∴，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，∴，故B正確；C選項(xiàng)：，，，，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，故D錯(cuò)誤，故選：B.8．（23-24高一下·遼寧·期末）人們發(fā)現(xiàn)，可以通過(guò)公式來(lái)求方程（均為正實(shí)數(shù)）的正實(shí)數(shù)根.例如，方程的正實(shí)數(shù)根為，我們知道是的唯一正實(shí)數(shù)根，所以，這里規(guī)定.根據(jù)以上材料可得（

）A．3 B．6 C．9 D．4【答案】B【解析】設(shè)，令解得則即方程的正實(shí)數(shù)根.由，可得.因?yàn)榉匠痰膶?shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)，所以，即，故.故選：B.多選題9．（23-24高一上·廣東廣州·期中）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．16的4次方根是 B．C． D．【答案】AD【解析】對(duì)于A，16的4次方根有兩個(gè)，為，故A正確；對(duì)于B，負(fù)數(shù)的3次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，是非負(fù)數(shù)，所以，故D正確．故選：AD.10．（23-24高一上·黑龍江牡丹江·期中）若，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】ABC【解析】，則，解得．故選：ABC11．（22-23高一上·甘肅慶陽(yáng)·期末）若，化簡(jiǎn)的結(jié)果可能（

）A． B．. C． D．【答案】AC【解析】由化簡(jiǎn)可得，所以，所以或，又，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選：AC.填空題12．（2022高一下·江蘇南京·競(jìng)賽），求．【答案】【解析】法一：因?yàn)?，，所?法二：.故答案為：13．（22-23高一下·河北石家莊·階段練習(xí)）若，則.【答案】【解析】因?yàn)?，所?故答案為：14．（22-23高一·全國(guó)·假期作業(yè)）化簡(jiǎn)：．【答案】【解析】原式解答題15．（22-23高一·全國(guó)·課后作業(yè)）化簡(jiǎn)：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）,（2）,（3）方法一（從外向里化簡(jiǎn)）

．方法二（從里向外化簡(jiǎn)）．16．（2023高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算下列各式的值.(1)(2)(3)(4)；(5).(6)計(jì)算：；【答案】(1)(2)2(3)18(4)100(5)4(6)【解析】（1）（2）（3）.（4）.（5）（6）.17．（2024·江蘇）（1）已知，且，求下列代數(shù)式的值．①；②；③．（2）已知，計(jì)算：；（3）設(shè)，，求的值．【答案】(1)（2）4；（3）27【解析】(1)①因?yàn)椋?，所以所?②.③.（2）因?yàn)?，所以，所以，所以?/p>

所以，即，所以，所以．

（3）因?yàn)椋?，即．又，所以，即，由，解得，故的值?7．18．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）求下列各式的值.