4.1 指數(shù)（原卷版）-高中數(shù)學(xué)教學(xué)資料

.1指數(shù)知識(shí)點(diǎn)一由根式的意義求范圍【【解題思路】對(duì)于eq\r(n,a)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要注意兩點(diǎn)(1)只有a≥0才有意義．(2)只要eq\r(n,a)有意義，eq\r(n,a)必不為負(fù)．【例1】（2023高一·江蘇·專題練習(xí)）若有意義，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式】1.（2024廣東湛江）若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．（2024湖北黃岡）已知a∈R，n∈N*，給出四個(gè)式子：①；②；③；④，其中沒(méi)有意義的是________.(只填式子的序號(hào)即可)3．（2023吉林松原·階段練習(xí)）若代數(shù)式有意義，則.知識(shí)點(diǎn)二利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值【【解題思路】1.正確區(qū)分eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n(1)(eq\r(n,a))n已暗含了eq\r(n,a)有意義，根據(jù)n的奇偶性可知a的范圍．(2)eq\r(n,an)中的a可以是全體實(shí)數(shù)，eq\r(n,an)的值取決于n的奇偶性．2.有限制條件根式的化簡(jiǎn)(1)有限制條件根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題，是指被開方數(shù)或被開方的表達(dá)式可以通過(guò)配方、拆分等方式進(jìn)行化簡(jiǎn)．(2)有限制條件根式的化簡(jiǎn)經(jīng)常用到配方的方法．當(dāng)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，在利用公式化簡(jiǎn)時(shí)，要考慮被開方數(shù)或被開方的表達(dá)式的正負(fù)．【例2-1】（23-24高一上·江蘇無(wú)錫·期中）當(dāng)有意義時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）．A． B． C． D．【例2-2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式】1．（23-24高一上·甘肅蘭州·期中）（多選）若，化簡(jiǎn)的結(jié)果可能為（

）A． B． C． D．2．（2023高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）求使等式成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為．3．（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．知識(shí)點(diǎn)三根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化【【解題思路】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．(2)在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．【例3-1】（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）求值：(1)；(2)；(3)；(4)．【例3-2】（2024·上海高一專題練習(xí)）將下列根式化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式：（1）（a>0）；（2）（x>0）；（3）（b>0）.【變式】1．（24-25高一上·全國(guó)·假期作業(yè)）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．2．（2023高一·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）下列關(guān)系式中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）3．（2024福建）用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（a>0，b>0）.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.知識(shí)點(diǎn)四利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值【【解題思路】指數(shù)冪運(yùn)算的常用技巧(1)有括號(hào)先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算．(2)負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．【例4-1】（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)（式中的字母均為正實(shí)數(shù)）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【例4-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算下列各式.(1)；(2)(3)；(4)；(5)；(6)；【變式】1．（23-24高一上·廣東廣州·期中）計(jì)算下列各式：(1)；(2)(3)；(4)(5)；(6)．2．（23-24高一上·廣東廣州·期中）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示并計(jì)算下列各式（式中字母均正數(shù)），寫出化簡(jiǎn)步驟.(1)；(2)（3）（4）

（5）().知識(shí)點(diǎn)五整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪【【解題思路】利用整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)整體代換法是數(shù)學(xué)變形與計(jì)算常用的技巧方法，分析觀察條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用恒等式是關(guān)鍵．(2)利用整體代換法解決分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的計(jì)算問(wèn)題，常常運(yùn)用完全平方公式及其變形公式．【例5】（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)【變式】1．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）已知，求下列各式的值.(1)(2)(3)2．（2013北京）已知，且，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）3．（2024上海）（1）若，求的值；（2）已知，求的值．單選題1．（2024廣東潮州）設(shè)a>0，b>0，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．-3a2．（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）下列關(guān)于的形式的運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·四川雅安·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024廣東）若xn＝a（x≠0），則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x的n次方根為a；②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a的n次方根為x；③當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x的n次方根為±a；④當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a的n次方根為±x.A．1 B．2C．3 D．45．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）下列各式正確的是（

）A． B．C． D．6．（2024江蘇）計(jì)算結(jié)果正確的是（）A．﹣6x2y3÷x2y2=﹣12yB．C．16x5y7÷（﹣2x3y2）=﹣32x2y5D．7．（2025·南京）已知，則下列運(yùn)算中正確的是（）A． B．C． D．8．（23-24高一下·遼寧·期末）人們發(fā)現(xiàn)，可以通過(guò)公式來(lái)求方程（均為正實(shí)數(shù)）的正實(shí)數(shù)根.例如，方程的正實(shí)數(shù)根為，我們知道是的唯一正實(shí)數(shù)根，所以，這里規(guī)定.根據(jù)以上材料可得（

）A．3 B．6 C．9 D．4多選題9．（23-24高一上·廣東廣州·期中）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．16的4次方根是 B．C． D．10．（23-24高一上·黑龍江牡丹江·期中）若，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．111．（22-23高一上·甘肅慶陽(yáng)·期末）若，化簡(jiǎn)的結(jié)果可能（

）A． B．. C． D．填空題12．（2022高一下·江蘇南京·競(jìng)賽），求．13．（22-23高一下·河北石家莊·階段練習(xí)）若，則.14．（22-23高一·全國(guó)·假期作業(yè)）化簡(jiǎn)：．解答題15．（22-23高一·全國(guó)·課后作業(yè)）化簡(jiǎn)：(1)；(2)；(3)．16．（2023高一·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算下列各式的值.(1)(2)(3)(4)；(5).(6)計(jì)算：；17．（2024·江蘇）（1）已知，且，