中考數(shù)學(xué)必背知識手冊知識04 概率與統(tǒng)計（公式、定理、結(jié)論圖表）

PAGE1PAGE知識必備04概率與統(tǒng)計（公式、定理、結(jié)論圖表）考點一、數(shù)據(jù)的收集與處理

1.一般步驟：調(diào)查收集數(shù)據(jù)的過程一般有下列六步：明確調(diào)查問題、確定調(diào)查對象、選擇調(diào)查方法、展開調(diào)查、記錄結(jié)果、得出結(jié)論．

2.調(diào)查收集數(shù)據(jù)的方法:普查與抽樣調(diào)查.要點詮釋：(1)通過調(diào)查總體的方式來收集數(shù)據(jù)的，抽樣調(diào)查是通過調(diào)查樣本方式來收集數(shù)據(jù)的．(2)一般地，當(dāng)總體中個體數(shù)目較多，普查的工作量較大；受客觀條件的限制，無法對所有個體進行普查；或調(diào)查具有破壞性時，不允許普查,這時我們往往會用抽樣調(diào)查來體現(xiàn)估計總體的思想.(3)用抽簽的辦法決定哪些個體進入樣本．統(tǒng)計學(xué)家們稱這種理想的抽樣方法為簡單的隨機抽樣.典例1：今年我市有4萬名學(xué)生參加中考,為了了解這些考生的數(shù)學(xué)成績,從中抽取2000名考生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計分析.在這個問題中,下列說法:①這4萬名考生的數(shù)學(xué)中考成績的全體是總體;②每個考生是個體;③2000名考生是總體的一個樣本;④樣本容量是2000.其中說法正確的有().A.4個 B.3個C.2個 D.1個【解析】總體是指考查的對象的全體,個體是總體中的每一個考查的對象,樣本是總體中所抽取的一部分個體,而樣本容量則是指樣本中個體的數(shù)目.我們在區(qū)分總體、個體、樣本、樣本容量,這四個概念時,首先找出考查的對象.從而找出總體、個體.再根據(jù)被收集數(shù)據(jù)的這一部分對象找出樣本,最后再根據(jù)樣本確定出樣本容量.這4萬名考生的數(shù)學(xué)中考成績的全體是總體;每個考生的數(shù)學(xué)中考成績是個體;2000名考生的中考數(shù)學(xué)成績是總體的一個樣本,樣本容量是2000.故正確的是①④.【答案】C【誤區(qū)糾錯】從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本,而樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量.對“樣本”與“樣本容量”這兩個概念的混淆,是較為常見的錯誤.3.數(shù)據(jù)的統(tǒng)計:條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖是三種最常用的統(tǒng)計圖．

要點詮釋：這三種統(tǒng)計圖各具特點：

條形統(tǒng)計圖可以直觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)量特征；

折線統(tǒng)計圖可以直觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)量變化規(guī)律；

扇形統(tǒng)計圖可以直觀地反映出各部分?jǐn)?shù)量在總量中所占的份額．典例2：連云港市實行中考改革，需要根據(jù)該市中學(xué)生體能的實際情況重新制定中考體育標(biāo)準(zhǔn)．為此，抽取了50名初中畢業(yè)的女學(xué)生進行“一分鐘仰臥起坐”次數(shù)測試．測試的情況繪制成表格如下：次數(shù)612151820252730323536人數(shù)1171810522112⑴求這次抽樣測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；⑵根據(jù)這一樣本數(shù)據(jù)的特點，你認(rèn)為該市中考女生“一分鐘仰臥起坐”項目測試的合格標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為多少次較為合適？請簡要說明理由；⑶根據(jù)⑵中你認(rèn)為合格的標(biāo)準(zhǔn)，試估計該市中考女生“一分鐘仰臥起坐”項目測試的合格率是多少？【思路點撥】本題是以統(tǒng)計初步知識在該市怎樣定中考女生“一分鐘仰臥起坐”項目測試的合格標(biāo)準(zhǔn)的應(yīng)用為背景，把制定體育成績的某項合格指標(biāo)轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計問題，求出了統(tǒng)計中的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù).【答案與解析】⑴該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

眾數(shù)為18，中位數(shù)為18；

⑵該市中考女生一分鐘仰臥起坐項目測試的合格標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為18次較為合適，因為眾數(shù)及中位數(shù)均為18，且50人中達到18次的人數(shù)有41人，確定18次能保證大多數(shù)人達標(biāo)；

⑶根據(jù)⑵的標(biāo)準(zhǔn)，估計該市中考女生一分鐘仰臥起坐項目測試的合格率為82%.【總結(jié)升華】確定眾數(shù)的方法是找該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，如果有多個數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)相同,那這些出現(xiàn)次數(shù)相同的數(shù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)及其應(yīng)用，在中考試卷中它們有機地交匯于實際情境中，考查應(yīng)用意識．考點二.數(shù)據(jù)分析1.基本概念：總體：把所要考查的對象的全體叫做總體；個體：把組成總體的每一個考查對象叫做個體；樣本：從總體中取出的一部分個體叫做總體的一個樣本；樣本容量：樣本中包含的個體的個數(shù)叫做樣本容量；頻數(shù)：在記錄實驗數(shù)據(jù)時，每個對象出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻數(shù)；頻率：每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值（或者百分比）稱為頻率；平均數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，用數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的總個數(shù)就得到這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，位于正中間位置的數(shù)（或正中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

極差：一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差稱為極差；

方差：我們可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個結(jié)果通常稱為方差．

計算方差的公式：設(shè)一組數(shù)據(jù)是，是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。則這組數(shù)據(jù)的方差是：

標(biāo)準(zhǔn)差：一組數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根，叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．

用公式可表示為：

要點詮釋：

1．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以用來概括一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.平均數(shù)的優(yōu)點：平均數(shù)的計算過程中用到了一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)，因此比中位數(shù)和眾數(shù)更靈敏，反映了更多數(shù)據(jù)的信息.

平均數(shù)的缺點：計算較麻煩，而且容易受到極端值的影響.

中位數(shù)的優(yōu)點：計算簡單，不容易受到極端值的影響，確定了中位數(shù)之后，可以知道小于中位數(shù)的數(shù)值和大于中位數(shù)的數(shù)值在這組數(shù)據(jù)中各占一半.

中位數(shù)的缺點：除了中間的值以外，不能反映其他數(shù)據(jù)的信息.

眾數(shù)的優(yōu)點：眾數(shù)很容易從直方圖中獲得，它可以清楚地告訴我們：在一組數(shù)據(jù)中哪個或哪些數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)最多.

眾數(shù)的缺點：不能反映眾數(shù)比其他數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)多多少，而且也丟失了很多其他數(shù)據(jù)的信息.2.極差、方差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的指標(biāo).極差就是一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差.它可以反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍.極差的不足之處在于只和極端值相關(guān)，而方差則彌補了這一不足.方差可以比較全面地反映一組數(shù)據(jù)相對于平均值的波動情況，只是計算比較復(fù)雜.2.繪制頻數(shù)分布直方圖的步驟

①計算最大值與最小值的差；②決定組距和組數(shù)；③決定分點；④畫頻數(shù)分布表；⑤畫出頻數(shù)分布直方圖．3.加權(quán)平均數(shù)

在一組數(shù)據(jù)中，各個數(shù)在總結(jié)果中所占的百分比稱為這個數(shù)的權(quán)重，每個數(shù)乘以它相應(yīng)的權(quán)重后所得的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)．

要點詮釋：

在通常計算平均數(shù)的過程中，各個數(shù)據(jù)在結(jié)果中所占的份量是相等的。而實際情況有時并非如此，如果要區(qū)分不同的數(shù)據(jù)的不同權(quán)重，就需要使用加權(quán)平均數(shù).當(dāng)我們改變一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)值所占的權(quán)重時，這組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)就有可能隨之改變.

典例3：某中學(xué)隨機抽查了50名學(xué)生,了解他們一周的課外閱讀時間,結(jié)果如下表所示:時間(小時)4567人數(shù)1020155則這50名學(xué)生一周的平均課外閱讀時間是小時.

【解析】平均數(shù)的計算方法是求出所有數(shù)據(jù)的和,然后除以數(shù)據(jù)的總個數(shù).該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(4×10+5×20+6×15+7×5)÷50=265÷50=5.3(小時).【答案】5.3【誤區(qū)糾錯】一般的,如果一組數(shù)據(jù)的權(quán)分別為,那么為這n個數(shù)的加權(quán)平均數(shù).本題易出現(xiàn)的錯誤是求4,5,6,7這四個數(shù)的平均數(shù),對平均數(shù)的理解不正確.考點三、概率

1．概率的定義：一般地，如果在一次實驗中，有n種可能結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事件A包含其中m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=.

2．概率的求法

(1)用列舉法

(2)用頻率來估計：事件A的概率：一般地，在大量重復(fù)進行同一實驗時，事件A發(fā)生的頻率，總是接近于某個常數(shù)，在它附近擺動.這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).

3.事件必然事件:那些無需通過實驗就能夠預(yù)先確定它們在每一次實驗中都一定會發(fā)生的事件稱為必然事件．不可能事件：那些在每一次實驗中都一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件．隨機事件:無法預(yù)先確定在一次實驗中會不會發(fā)生的事件稱為不確定事件或隨機事件．要點詮釋：

①求一個事件概率的基本方法是通過大量的重復(fù)實驗；

②當(dāng)頻率在某個常數(shù)附近擺動時，這個常數(shù)叫做事件A的概率；

③概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；

④概率反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大?。?/p>

⑤必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，因此0≤P(A)≤1；⑥必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定事件．典例4：（2023?鹽城）在英文句子“！”中，字母“”出現(xiàn)的頻數(shù)為3．【分析】求出英語句子中的所有字母的個數(shù)以及字母出現(xiàn)的次數(shù)，再根據(jù)頻數(shù)的定義進行解答即可．【解答】解：英文句子“！”中共有16個字母，其中有3個，所以字母“”出現(xiàn)的頻數(shù)為3．故答案為：3．【點評】本題考查頻數(shù)與頻率，理解頻數(shù)的意義是正確解答的前提．典例5：如圖，4張背面完全相同的紙牌（用①、②、③、④表示），在紙牌的正面分別寫有四個不同的條件，小明將這4張紙牌背面朝上洗勻后，先隨機摸出一張（不放回），再隨機摸出一張．

（1）用樹狀圖（或列表法）表示兩次摸牌出現(xiàn)的所有可能結(jié)果；

（2）以兩次摸出牌上的結(jié)果為條件，求能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的概率．

【思路點撥】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果；

（2）由（1）求得能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的情況，利用概率公式即可求得答案．【答案與解析】（1）畫樹狀圖得：

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