2020年高中數(shù)學二輪復習-專題03-導數(shù)的簡單應用

專題03導數(shù)的簡單應用一、單項選擇題1.〔2021·許昌模擬〕假設(shè)直線與曲線相切，那么〔〕A.

3

B.

C.

2

D.

【答案】A【考點】導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【解析】【解答】設(shè)切點為，∵，∴由①得，代入②得，那么，，故答案為：A.【分析】設(shè)切點為，對求導，得到，從而得到切線的斜率，結(jié)合直線方程的點斜式化簡得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結(jié)果.2.〔2021·海南模擬〕函數(shù)的導函數(shù)，當時，取極大值1，那么函數(shù)的極小值為〔〕A.

B.

1

C.

D.

2【答案】A【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【解析】【解答】當時，或1，又在處取極大值，在處取極小值.令，，∴，∴，那么.應選:A.【分析】根據(jù)設(shè)，由，求出解析時，再由，即可求出結(jié)論3.〔2021高二上·黃陵期末〕函數(shù)，其導函數(shù)的圖象如以下圖所示，那么〔〕A.

在上為減函數(shù)B.

在處取極小值

C.

在上為減函數(shù)D.

在處取極大值【答案】C【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【解析】【解答】解：根據(jù)導函數(shù)圖象可知當時，，在時，，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，、為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的極小值點，那么正確的為.故答案為：．【分析】根據(jù)導函數(shù)圖象可判定導函數(shù)的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，得到極值點．4.〔2021高二上·榆樹期末〕函數(shù)在上可導且滿足，那么以下一定成立的為〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】A【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】【解答】構(gòu)造函數(shù)，那么，在為增函數(shù)，那么，即，故答案為：A【分析】由表達式可判斷原函數(shù)應為以構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合導數(shù)特征即可求解.5.〔2021·陜西模擬〕函數(shù)在處有極值，設(shè)函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，那么a的取值范圍為〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】B【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【解析】【解答】∵，且在處有極值，∴，即，解得，∴，，∴.∵在內(nèi)不單調(diào)，所以①，即，所以，②，即，所以無解集，③，即，所以無解集，∴a的取值范圍為，應選：B.【分析】根據(jù)在處有極值，得到，從而得到的值，從而得到，求導得到，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，按，，分類討論，得到關(guān)于的不等式組，解得范圍6.〔2021·達縣模擬〕函數(shù)在上為增函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.

【答案】C【考點】函數(shù)恒成立問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】【解答】解：由題意可得，恒成立，當時，顯然滿足題意，當時，那么根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，，解可得，，綜上可得，．應選：．【分析】由題意可得，恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．7.〔2021高三上·瀘縣期末〕定義域為的函數(shù)對任意都有，且其導函數(shù)滿足，那么當時，有〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】C【考點】抽象函數(shù)及其應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】【解答】∵函數(shù)對任意都有，∴函數(shù)對任意都有，∴函數(shù)的對稱軸為，∵導函數(shù)滿足，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∵，∴，∵函數(shù)的對稱軸為，∴，∵，∴∴∴，∴，∴，故答案為：C.【分析】利用定義域為的函數(shù)對任意都有，從而推出函數(shù)的對稱軸，再利用導函數(shù)滿足，從而用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，最后利用函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，從而比擬出當時，三者的大小關(guān)系。8.〔2021高三上·瀘縣期末〕定義在上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足是偶函數(shù)，，那么不等式的解集為〔〕.A.

B.

C.

D.

【答案】A【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】【解答】設(shè)，在上單調(diào)遞增.即，在上單調(diào)遞增，答案，故答案為：A【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為即，利用單調(diào)性解不等式.9.〔2021高二上·黃陵期中〕函數(shù)在區(qū)間[－1，1]上的最大值是〔〕A.

4

B.

2

C.

0

D.

－2【答案】B【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值【解析】【解答】令，解得或.，故函數(shù)的最大值為.故答案為：B.【分析】先求得函數(shù)在區(qū)間上的極值，然后比擬極值點和區(qū)間端點的函數(shù)值，由此求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值.10.〔2021高三上·桂林月考〕函數(shù)，假設(shè),且，那么的取值范圍為〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】A【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)的應用，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系【解析】【解答】解：作出函數(shù)的圖象，如下圖，假設(shè)，且，那么當時，得，即，那么滿足，那么，即，那么，設(shè)，那么，當，解得，當，解得，當時，函數(shù)取得最小值，當時，；當時，，所以，即的取值范圍是，故答案為：A.【分析】作出函數(shù)的圖象，利用消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得到結(jié)論.11.〔2021高三上·佛山月考〕是函數(shù)的導函數(shù)，且對任意的實數(shù)都有是自然對數(shù)的底數(shù)〕，，假設(shè)不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕A.

B.

C.

D.

【答案】C【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【解析】【解答】解：令，那么，可設(shè)，∵，∴．∴，∴．可得：時，函數(shù)取得極大值，時，函數(shù)取得極小值．，，，．∴時，不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，．故的取值范圍是，故答案為：C．【分析】令，可得，可設(shè)，，解得，，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值并且畫出圖象即可得出．二、填空題12.〔2021·海南模擬〕曲線在點處的切線方程為________.【答案】2x-y-1=0【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【解析】【解答】由題，得，所以切線的斜率，故所求的切線方程為，即.故答案為：【分析】對求導后，代入可得切線斜率k，由此即可得到此題答案.13.〔2021·洛陽模擬〕函數(shù)，且在定義域內(nèi)恒成立，那么實數(shù)的取值范圍為________．【答案】或【考點】函數(shù)恒成立問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點【解析】【解答】依題意，定義域為.由于在定義域內(nèi)恒成立，那么①，恒成立，即在恒成立.令，，故在上遞減，在上遞增，故.所以，由可得，即.②，恒成立，即在恒成立，不存在這樣的.③，當時，由于在上遞增，在上遞減，要使在定義域內(nèi)恒成立，那么需和有相同的零點.由，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或.故答案為：或【分析】先求得的定義域，然后對和的符合進行分類討論，由此求得實數(shù)的取值范圍.14.〔2021高二上·天津期末〕實數(shù)為函數(shù)的極小值點,那么________.【答案】【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【解析】【解答】解：令解得或，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增；令解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；故函數(shù)在處取得極小值.即故答案為：【分析】首先求出函數(shù)的導函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的極小值點.15.〔2021高二上·蘭州期末〕函數(shù)f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在〔0,4〕上是減函數(shù)，那么實數(shù)k的取值范圍是________【答案】【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用【解析】【解答】解：因為，所以因為函數(shù)f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在〔0,4〕上是減函數(shù)，所以【分析】先求導，再根據(jù)導函數(shù)零點分布確定不等式，解不等式得結(jié)果.16.〔2021高三上·海淀期末〕函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，那么實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【解析】【解答】，.當時，對任意的，，此時，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，那么函數(shù)在區(qū)間上沒有最小值；當時，令，可得，當時，，當時，，此時，函數(shù)的極小值點為，由題意可得，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【分析】由題意可知，函數(shù)在區(qū)間上存在極小值，分和兩種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，在時求出函數(shù)的極值點，可得出，解出即可.17.〔2021高三上·集寧期中〕函數(shù)在上單調(diào)遞增，那么實數(shù)的取值范圍是________.【答案】或【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值【解析】【解答】由題意得，，①時，，即，，因此；②時，，即，因此，綜上可得，故答案為.【分析】首先根據(jù)單調(diào)性及最值可得，分為和兩種情形，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于的不等式，解出取并集即可.三、解答題〔共5題；共50分〕18.〔2021·漳州模擬〕函數(shù)，定義在上的函數(shù)的導函數(shù)，其中．〔1〕求證：；〔2〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】〔1〕證明：的定義域為，①當時，，所以，②因為當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，綜上，成立.〔2〕解：①假設(shè)，那么當時，，所以由，得，即；由，得，即，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為②假設(shè)，那么，由〔1〕知，即，所以由，得或，由，得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為【考點】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】【分析】〔1〕轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)分析的單調(diào)性，求解最小值即可；〔2〕分，討論，的正負，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19.〔2021·海南模擬〕函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).〔1〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求的取值范圍；〔2〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，且，求的取值范圍.【答案】〔1〕解：由題意得，那么，當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時，在區(qū)間上恒成立.∴〔其中〕，解得.當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時，在區(qū)間上恒成立，∴〔其中〕，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.〔2〕解：.由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，設(shè)該零點為，那么在區(qū)間內(nèi)不單調(diào).∴在區(qū)間內(nèi)存在零點，同理在區(qū)間內(nèi)存在零點.∴在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點.由〔1〕易知，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點，不合題意.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點，不合題意，∴.令，得，∴函數(shù)在區(qū)間上單凋遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.記的兩個零點為，∴，必有.由，得.∴又∵，∴.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，函數(shù)零點的判定定理【解析】【分析】〔1〕求出，再求恒成立，以及恒成立時，的取值范圍；〔2〕由，在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點，由〔1〕的結(jié)論對分類討論，根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，即可求出結(jié)論.20.〔2021·海南模擬〕的圖象在處的切線方程為.〔1〕求常數(shù)的值；〔2〕假設(shè)方程在區(qū)間上有兩個不同的實根，求實數(shù)的值.【答案】〔1〕解：，由題意知，解得〔舍去〕或.〔2〕解：當時，故方程有根，根為或，+0-0+極大值極小值由表可見，當時，有極小值0.由上表可知的減函數(shù)區(qū)間為，遞增區(qū)間為，.因為，.由數(shù)形結(jié)合可得或.【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【解析】【分析】〔1〕求出，由，建立方程求解，即可求出結(jié)論；〔2〕根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，做出函數(shù)在的圖象，即可求解.21.〔2021·華安模擬〕函數(shù)〔其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，k為正數(shù)〕〔1〕假設(shè)在處取得極值，且是的一個零點，求k的值；〔2〕假設(shè)，求在區(qū)間上的最大值.【答案】〔1〕解：由得，即又即〔2〕解：，，由此得時，單調(diào)遞減；時單調(diào)遞增，故又，當即時當即時，．【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，函數(shù)的零點【解析】【分析】〔1〕利用條件結(jié)合求導的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性的極值，再利用函數(shù)零點的定義求出k的值?！?〕利用求導的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值屬于的集合，再利用分類討論的方法求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值。22.〔2021·漳州模擬〕函數(shù)．〔1〕求證：當時，在上存在最小值；〔2〕假設(shè)是的零點且當時，，求實數(shù)的取值范圍．【答案】〔1〕解：的定義域為.當時，，.因為當時，，所以在上單調(diào)遞增，又，.所以在上有唯一零點