2021-2022學(xué)年河北省石家莊市十五中高一下學(xué)期6月第三次月考數(shù)學(xué)試題解析版

2021-2022學(xué)年河北省石家莊市十五中高一下學(xué)期6月第三次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則（

）A． B．13 C． D．【答案】A【分析】求得，由模的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】依題意得，所以.故選：A.2．設(shè)平面向量，，若，則（

）A．1 B．2 C．-1 D．3【答案】C【分析】由可得結(jié)果.【詳解】由得，解得.故選：C.3．下列抽取樣本的方式是簡單隨機抽樣的是（

）A．從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本B．盒子里共有80個零件，采用抽簽法從中選出5個零件作為樣本C．從20件玩具中一次性抽取4件形成樣本D．從10個球（2個紅球?8個白球）中依次取出2個紅球【答案】B【分析】根據(jù)簡單隨機抽樣的概念直接判斷即可.【詳解】簡單隨機抽樣的總體個數(shù)是有限的，故A錯誤；簡單隨機抽樣是從總體中逐個抽取，故C錯誤；簡單隨機抽樣每次抽取時必須保證每個個體被抽到的概率相等，D選項中只抽取紅球，個體被抽到的概率不相等，故D錯誤；根據(jù)簡單隨機抽樣的概念可知B正確.故選：B4．給出下列四個命題：①各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②若直線平面，平面，則；③若平面外兩點到平面的距離相等，則過兩點的直線必平行于該平面；④異面直線a，b不垂直，則過a的任平面與b都不垂直．其中正確命題是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)正棱柱的特征，可判斷①的正誤；由面面垂直的判定定理判斷②的正誤；找出反例否定③；由反證法判定④.【詳解】①各側(cè)面都是正方形的棱柱的底面邊長都相等，但不一定是正多邊形，故①錯誤；②由面面垂直的判定定理知：若直線平面，平面，則，故②正確；③若平面外兩點到平面的距離相等，則過兩點的直線必平行于該平面，如果兩點在平面的兩側(cè)，則不成立，故③錯誤；④假設(shè)存在過的平面與垂直，則可知，所以假設(shè)不成立，故④正確.故選：C.5．一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都乘以3，再減去50，得到一組新數(shù)據(jù)，若求得新的數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.6，方差是3.6，則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（

）A．17.2，3.6 B．54.8，3.6 C．17.2，0.4 D．54.8，0.4【答案】C【解析】根據(jù)均值和方差的公式計算可結(jié)果.【詳解】設(shè)一組數(shù)據(jù)為，平均數(shù)為，方差為，所得一組新數(shù)據(jù)為，平均數(shù)為，方差為，則，，所以，所以，所以，由題意得，所以，所以所以，所以，所以.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握幾個數(shù)據(jù)的均值和方差公式是解題關(guān)鍵.6．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則角A的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合化簡可得，再結(jié)合輔助角公式計算即可【詳解】由正弦定理有，又，且，故，即，故，即，又，故，故選：C7．如圖所示，平行四邊形中，，點F為線段AE的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得，，，化簡計算即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：C.8．已知三棱錐中，平面，，點E，F(xiàn)分別是線段的中點，直線相交于點G，則過點G的平面與截三棱錐的外接球O所得截面面積的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】可用補形法，補全為正方體，先計算三棱錐的外接球半徑，由題意可計算，當(dāng)截面垂直時，截面面積最小，截面過球心時面積最大.【詳解】因為，故，將三棱錐補形成正方體，如圖所示，已知三棱錐的外接球球的半徑，取的中點，連接必過點，因為，即，所以，因為，所以，則過點的平面截球所得截面圓的最小半徑，所以截面面積的最小值為，最大值為,故選：D.二、多選題9．已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)，則B．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點Z在一條直線上C．若是純虛數(shù)，則實數(shù)D．復(fù)數(shù)的虛部為【答案】AB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算直接計算可知A；由復(fù)數(shù)的模的公式化簡可判斷B；根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程直接求解可知C；由虛部概念可判斷D.【詳解】對于A：因為，所以，故A正確；對于B：設(shè)，代入，得，整理得，即點Z在直線上，故B正確；對于C：是純虛數(shù)，則，即，故C錯誤；對于D：復(fù)數(shù)的虛部為，故D錯誤.故選：AB.10．下列命題中是真命題的有（

）A．一組數(shù)據(jù)2，1，4，3，5，3的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同；B．有A、B、C三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的A個體數(shù)為9，則樣本容量為30；C．若甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)為5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲；D．一組數(shù)1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的80%分位數(shù)為4.5．【答案】AD【分析】對于A，直接求出平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)即可判斷；對于B，利用分層抽樣直接求樣本容量即可判斷；對于C，計算出乙組數(shù)據(jù)的方差為4.4，利用方差的意義即可判斷；對于D，直接求出該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)即可判斷．【詳解】A：數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，眾數(shù)和中位數(shù)都是3，故A正確；B：根據(jù)樣本的抽樣比等于各層的抽樣比知，樣本容量為，故B錯誤；C：乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的方差為，所以這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，故C錯誤；D：該組數(shù)據(jù)共10個數(shù)，由，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為4.5，故D正確．故選：AD11．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.下列各組條件中使得恰有一個解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BD【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合三角形自身性質(zhì)，逐項分析判斷即可得解.【詳解】對于A，，所以，又，所以，這與矛盾，所以無解；對于B，由正弦定理可得，即，所以只有一解；對于C，由正弦定理可得，又，所以B有兩解，即有兩解；對于D，由正弦定理可得，又，所以B只有一解，即只有一解.故選：BD12．如圖，已知平行四邊形中，，，為邊的中點，將沿直線翻折成，若為是的中點，則在的翻折過程中，下列命題正確的是（

）A．線段的長為定值B．異面直線與所成角為C．直線與平面所成角為定值D．二面角可以為直二面角【答案】ACD【分析】對于A，取的中點，連接，然后證明四邊形為平行四邊形即可；對于B，假設(shè)異面直線與所成角為，然后進行推理得出矛盾；對于C，由A可知直線與平面平行，所以所成角為定值；對于D，當(dāng)時，計算為鈍角，從而可得答案【詳解】解：對于A，取的中點，連接，因為為是的中點，所以∥,，因為為邊的中點，所以,因為∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平行四邊形中，，，所以為等邊三角形，所以為定值，所以線段的長為定值，所以A正確，對于B，若異面直線與所成角為，則，因為行四邊形中，，，所以為等邊三角形，是頂角為的等腰三角形，所以，所以，所以，因為，所以平面，因為平面，所以，這與相矛盾，所以B錯誤，對于C，由A可知，四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，所以直線與平面所成角為定值，對于D，設(shè)，則，因為，所以，取的中點，連接，當(dāng)向上折時，時，，所以此時，所以是二面角的平面角，因為，，所以，所以為鈍角，而當(dāng)沿直線開始折時，為銳角，所以二面角可以為直二面角，所以D正確，故選：ACD三、填空題13．歐立公式（為虛數(shù)單位，為自然底數(shù)）是瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋"，若將其中取作就得到了歐拉恒等式，它將兩個超越數(shù)——自然底數(shù)，圓周率，兩個單位一虛數(shù)單位，自然數(shù)單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一0聯(lián)系起來，數(shù)學(xué)家評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”.由歐拉公式可知，若復(fù)數(shù)，則__________.【答案】【分析】本題可以根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算，也可以使用復(fù)數(shù)三角表示處理．【詳解】解法一：則；解法二：∵∴故答案為：．14．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)條件得，結(jié)合余弦定理求得，根據(jù)同角三角函數(shù)值的平方關(guān)系可得答案.【詳解】由得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由于,故，則，則，故答案為：15．已知三棱錐中，為中點，平面，，，則下列說法中正確的序號為______.①若為的外心，則；②若為等邊三角形，則；③當(dāng)時，與平面所成角的范圍為；④當(dāng)時，為平面內(nèi)動點，若平面，則在內(nèi)的軌跡長度為2.【答案】①③④【分析】對于①，利用外心的性質(zhì)即可判斷；對于②，利用反證法可判斷；對于③，過作，連接，易知為與平面所成角，即可判斷；對于④，利用面面平行可得軌跡長度.【詳解】如圖①，若為的外心，連接，則，又平面，故，故①正確；假設(shè)，則再根據(jù)，得平面，則，與為等邊三角形矛盾，故②錯誤；當(dāng)時，，，過作，連接，如圖①，易知為與平面所成角，，故的范圍為，故③正確；如圖②，取，分別為，的中點，則平面平面，則線段為在內(nèi)的軌跡，其長度為2，故①③④正確.故答案為：①③④四、雙空題16．為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖.由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)的比為，后6組的頻數(shù)遞減5，設(shè)最大頻率為a，則a的值為___________，視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為b，則b的值為___________.【答案】

87【分析】由題意列方程求解【詳解】設(shè)第1組的頻數(shù)為，則前4組的頻數(shù)分別為，后5組的頻數(shù)為，由題意得，即，解得，故，故答案為：，87五、解答題17．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．(1)若z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；(2)若，是關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，求實數(shù)a，b的值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)題意列方程組，即可求出m；（2）判斷出和是方程的根，以根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】(1)因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得：m=1.(2)當(dāng)時，.因為是關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，所以的共軛復(fù)數(shù)也是實系數(shù)方程的根，所以，解得：.18．甲?乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，在10天中，兩臺機床每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別為：甲乙(1)分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；(2)由（1）的計算結(jié)果，分析哪臺機床的性能更好.【答案】(1)甲：，，乙：，(2)乙機床性能更好【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差公式直接計算可得；（2）比較兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差可知.【詳解】(1)記甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為則(2)由（1）知，所以甲機床生產(chǎn)出的次品數(shù)高于乙機床生產(chǎn)出的次品數(shù)；又，所以乙機床的性能比甲機床的性能更加穩(wěn)定.綜上，乙機床性能比甲機床穩(wěn)定，且生產(chǎn)的次品數(shù)更低，所以乙機床的性能更好.19．已知，，且，的夾角為.（1）求；（2）若，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求得，進而可得結(jié)果；（2）根據(jù)共線向量定理可得結(jié)果.【詳解】（1）由得，又，且，的夾角為，所以，∴.（2）因為，則存在非零實數(shù)，使，因為，不共線，所以，解得.20．2021年開始，甘肅省推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還需要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科滿分100分，由于受疫情影響，多地推遲開學(xué)，開展線上教學(xué)．為了了解高一學(xué)生的選科意向，某學(xué)校對學(xué)生所選科目進行線上檢測，下面是100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績，以組距20分成7組：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，畫出頻率分布直方圖如圖所示．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖求物理、化學(xué)、生物三科總分成績的中位數(shù)；(3)估計這100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績的平均數(shù).（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）【答案】(1)(2)224(3)225.6【分析】（1）利用所有小長方形的面積和為1可得答案；（2）設(shè)中位數(shù)為，由可得答案；（3）利用每個小長方形的高乘以底邊區(qū)間中點值乘以組距再求和可得答案.【詳解】(1)由，得.(2)因為，，所以中位數(shù)在，設(shè)中位數(shù)為，所以，解得，所以物理、化學(xué)、生物三科總分成績的中位數(shù)為.(3)這100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績的平均數(shù)為.21．請從下面的三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.①；②的面積為；③.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若___________.(1)求角C；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變換公式、正余弦定理化簡求解（2）由正弦定理轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)求解【詳解】(1)選①，，得得，而C為三角形內(nèi)角，故，選②，，由正弦定理化簡得，得，而C為三角形內(nèi)角，故，選③，由，即，得，而C為三角形內(nèi)角，故，(2)由（1）知，故，故，而，故，，，22．如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點，，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)在棱上是否存在點N，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)存在，.【分析】（1）連接與，兩線交于點，連接，利用三角形中位線性質(zhì)得到，再利用線面平行的判定即可證.（2）應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)、判定可得平面，從而得到，根據(jù)和