2.4導(dǎo)數(shù)的四則運算法則課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用4導(dǎo)數(shù)的四則運算法則北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊目錄索引

基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)課程標(biāo)準1.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則.2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點

導(dǎo)數(shù)的四則運算法則1.導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則兩個函數(shù)和(或差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和(或差),即[f(x)+g(x)]'=

,

[f(x)-g(x)]'=

.

2.導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則注意比較兩個公式分子結(jié)構(gòu)的異同點一般地,若兩個函數(shù)f(x)和g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是f'(x)和g'(x),則[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),f'(x)+g'(x)f'(x)-g'(x)名師點睛1.兩個函數(shù)和與差的導(dǎo)數(shù)運算法則可以推廣到若干個函數(shù)和與差的情形:[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).2.在[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)中令g(x)=k,則有[kf(x)]'=kf'(x),k∈R.思考辨析設(shè)f(x)=tanx,如何用求導(dǎo)法則求f'(x)?自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)函數(shù)f(x)=xex的導(dǎo)數(shù)是f'(x)=ex(x+1).(

)√√×√2.設(shè)y=-2exsinx,則y'等于(

)A.-2excosxB.-2exsinxC.2exsinxD.-2ex(sinx+cosx)D解析

∵y=-2exsin

x,∴y'=(-2ex)'sin

x+(-2ex)·(sin

x)'=-2exsin

x-2excos

x=-2ex(sin

x+cos

x).故選D.3.函數(shù)f(x)=的圖象在點(0,1)處的切線方程是(

)A.x+y-1=0

B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.x-y+1=0A∴f'(0)=-1,∴切線方程為y-1=-(x-0),即x+y-1=0.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一利用導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則求導(dǎo)【例1】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=x-2+x2;(2)y=x2-log3x;(3)y=(x+1)(x+2)(x+3);(4)y=sin

x+cosx.解

(1)y'=2x-2x-3.(2)y'=(x2-log3x)'=(x2)'-(log3x)'=(3)∵y=(x+1)(x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y'=(x3+6x2+11x+6)'=3x2+12x+11.(4)y'=(sin

x)'+(cos

x)'=cos

x-sin

x.規(guī)律方法

1.分析待求導(dǎo)式子符合哪種求導(dǎo)法則,每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的,確定求導(dǎo)法則、基本公式.2.利用導(dǎo)數(shù)運算法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差,能利用和差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的,盡量少用積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo).比如本例第(3)小題就適合先變?yōu)楹筒畹男问皆偾髮?dǎo).變式訓(xùn)練1利用導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則求導(dǎo):(1)y=3x+x9;(2)y=x-3-lgx;(3)y=(x-1)(x-).解

(1)y'=3xln

3+9x8.探究點二利用導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則求導(dǎo)【例2】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解

(1)y'=(x3)'ex+x3(ex)'=3x2ex+x3ex.(3)y'=[(x+1)(x+3)]'(x+5)+(x+1)(x+3)(x+5)'=[(x+1)'(x+3)+(x+1)(x+3)'](x+5)+(x+1)(x+3)=(2x+4)(x+5)+(x+1)(x+3)=3x2+18x+23.規(guī)律方法

1.注意區(qū)分兩個函數(shù)積與商的求導(dǎo)公式中符號的異同,積的導(dǎo)數(shù)公式中是“+”,而商的導(dǎo)數(shù)公式中分子上是“-”.2.若函數(shù)比較復(fù)雜,則需要對函數(shù)先變形再求導(dǎo).常用的變形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮?dǎo)、商式變乘積式求導(dǎo)、三角函數(shù)恒等變換后求導(dǎo)等.3.注意體會例2(3)小題的求解思路與例1(3)求解思路的不同,一般多項式乘積形式的函數(shù)求導(dǎo)變?yōu)楹筒钚问角髮?dǎo)更為簡潔.變式訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).探究點三求導(dǎo)法則的綜合應(yīng)用角度1.求導(dǎo)法則的逆向應(yīng)用【例3】

設(shè)y=f(x)是二次函數(shù),方程f(x)=0有兩個相等的實根,且f'(x)=2x+1.求y=f(x)的函數(shù)解析式.解

∵f'(x)=2x+1,∴f(x)=x2+x+c(c為常數(shù)).又方程f(x)=0有兩個相等的實根,即x2+x+c=0有兩個相等的實根,∴Δ=12-4c=0,即c=,∴f(x)=x2+x+.規(guī)律方法

待定系數(shù)法就是用設(shè)未知數(shù)的方法分析所要解決的問題,然后利用已知條件解出所設(shè)未知數(shù),進而將問題解決.待定系數(shù)法常用來求函數(shù)解析式,特別是已知具有某些特征的函數(shù).D★(2)已知f'(x)是一次函數(shù),x2·f'(x)-(2x-1)·f(x)=1對一切x∈R恒成立,求f(x)的解析式.解

由f'(x)為一次函數(shù),可知f(x)為二次函數(shù),設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f'(x)=2ax+b,把f(x),f'(x)代入關(guān)于x的方程得x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2+bx+c)=1,角度2.求導(dǎo)法則在導(dǎo)數(shù)幾何意義中的應(yīng)用【例4】

已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線的方程;(2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點,求直線l的方程及切點的坐標(biāo).分析利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解,但要注意(2)中切線經(jīng)過原點,而原點不在曲線上,故應(yīng)另設(shè)切點.解

(1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,∴在點(2,-6)處的切線的斜率為f'(2)=3×22+1=13,故切線的方程為y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.規(guī)律方法

1.此類問題主要涉及切點、切點處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個主要元素,解題方法為把其他題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為這三個要素間的關(guān)系,構(gòu)建方程(組)求解.2.準確利用求導(dǎo)法則求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解此類問題的第一步,也是解題的關(guān)鍵,務(wù)必做到準確.變式訓(xùn)練4曲線

在點(1,b)處的切線方程為kx-y+6=0,則k的值為(

)A本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)利用導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則求導(dǎo).(2)利用導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則求導(dǎo).(3)求導(dǎo)法則的綜合應(yīng)用.2.方法歸納:待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):導(dǎo)數(shù)乘法與除法法則公式容易混用.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)12345678910111213141516A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一]函數(shù)f(x)=x2-2x的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=(

)A.2x-2x

B.2x-2xln2C.2x+2x

D.2x+2xln2B解析

∵f(x)=x2-2x,∴f'(x)=2x-2xln

2.123456789101112131415162.[探究點二]已知f(x)=x(2024+lnx),f'(x0)=2026,則x0=(

)A.e2 B.e C.1 D.ln2B解析

由f(x)=x(2

024+ln

x),得f'(x)=(2

024+ln

x)+x(2

024+ln

x)'=ln

x+2

025,又因為f'(x0)=2

026,所以f'(x0)=ln

x0+2

025=2

026,解得x0=e.123456789101112131415163.[探究點二](多選題)下列選項正確的是(

)BC12345678910111213141516123456789101112131415164.[探究點三](多選題)已知曲線y=x3-x+1在點P處的切線平行于直線y=2x,那么點P的坐標(biāo)為(

)A.(1,0) B.(1,1) C.(-1,1) D.(0,1)BC解析

設(shè)y=f(x)=x3-x+1,則f'(x)=3x2-1.令3x2-1=2,即x2=1,解得x=±1,又f(1)=1,f(-1)=1,所以點P的坐標(biāo)為(-1,1)或(1,1).123456789101112131415165.[探究點三]已知函數(shù)

的圖象在點(-1,f(-1))處的切線方程為x+2y+5=0,則a+b=

.

12345678910111213141516∵點(-1,f(-1))在直線x+2y+5=0上,∴-1+2f(-1)+5=0,∴f(-1)=-2.123456789101112131415166.[探究點一、二]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)f(x)=xcosx+sinx;解

(1)f'(x)=cos

x+x(cos

x)'+cos

x=2cos

x-xsin

x.12345678910111213141516B級關(guān)鍵能力提升練A.1 B.-1 C.7 D.-7C123456789101112131415168.(多選題)已知函數(shù)f(x)=x++2,則(

)A.f(x)的值域為[6,+∞)B.直線3x+y+6=0是曲線y=f(x)的一條切線C.f(x-1)圖象的對稱中心為(1,2)D.方程f2(x)-5f(x)-14=0有三個實數(shù)根BCD123456789101112131415169.如圖,y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),直線l:y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù),則g'(3)-3f'(3)=(

)A.1 B.0

C.2

D.4A1234567891011121314151610.已知曲線f(x)=(x+a)·lnx在點(1,f(1))處的切線與直線2x-y=0垂直,則a等于(

)C1234567891011121314151611.(多選題)關(guān)于切線,下列結(jié)論正確的是(

)ABD1234567891011121314151612.曲線y=lnx+1在點(1,1)處的切線也為y=ex+a的切線,則a=

.

-1解析

由y=ln

x+1求導(dǎo)可得y'=,則曲線y=ln

x+1在(1,1)處的切線斜率為1,切線方程為y=x,設(shè)直線y=x與曲線y=ex+a相切于點(t,et+a),由y=ex+a求導(dǎo)得y'=ex,1234567891011121314151613.如圖所示的圖象中,有一個是函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象,則這個圖象的序號是

,f(-1)=

.

③

1234567891011121314151614.已知函數(shù),且f(x)的圖象在x=1處與直線y=2相切.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若P(x0,y0)為f(x)圖象上的任意一點,直線l與f(x)的圖象切于點P,求直線l的斜率k的取值范圍.12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151615.偶函數(shù)f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的圖象過點P(0,1),且在x=1處的切線方程為y=x-2,求f(x)的解析式.12345678910111213141516解

∵f(x)的圖象過點P(0,1),∴e=1.又f(x)為偶函數(shù),∴f(x)=f(-x).故ax4+bx3+c