清華大學2021自主招生冬令營數(shù)學試卷試題真題（含答案解析）

年清華大學自主招生數(shù)學試卷（文科營暨工科營冬令營）一、選擇題（本大題共7小題，每小題5分，共35分）1、已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，且A∩?UB={1,3,4,6}A.{2,5,7}B.{1,3,4,6}C.{1,2,3,4,5,6,7}D.?2、已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，且m⊥α，n?β，則“m⊥A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要3、已知函數(shù)fx=asin?x?bcosA.奇函數(shù)，且關于點π,0中心對稱B.偶函數(shù)，且關于點π,0中心對稱C.奇函數(shù)，且關于點3π2D.偶函數(shù)，且關于點3π24、已知a→，b→，c→是非零向量，且a→?b→=4，(c→?A.1 B.23 C.12 5、已知隨機變量X的分布列如下表所示：若4a，b，c成等比數(shù)列，則D(X)的最大值為（

）．A.16 B.13 C.12 6、已知P，Q，M是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上不同的三點，且原點O是△A.2B.3C.2D.37、已知數(shù)列an滿足a1=12，an+1=eaA.aB.aC.TD.T二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）8、在△ABC中，D為邊BC的中點，E為邊BC上一點，且AE=AC=BE，DE=1，若cos?C=13，則9、已知雙曲線x2a2?y2b2=1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作與一條漸近線垂直的直線10、已知函數(shù)fx=x2+a+x，當x∈[?1,1]時，記函數(shù)f三、解答題（本大題共4小題，共50分）11、已知an是公差d不等于0的等差數(shù)列，且akn是等比數(shù)列，其中k1=3(1)求k1(2)設bn=an+1a12、如圖，在四棱柱ABCD?A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD(1)證明：A′M//(2)若∠D′DC=π313、已知拋物線x2=4y，點A在拋物線上，且在第一象限，以點A為切點作拋物線的切線l，并與x軸交于點B，過點B作垂直于l的直線l′交拋物線于C，D兩點，其中點C在第一象限，設l′與(1)若點A的橫坐標為2，求切線l的方程．(2)連接OC，OD，AK，AC，記△OKD，△OKC，△AKC的面積為S1，S214、已知函數(shù)fx=ln(1)證明：函數(shù)fx(2)設x0為函數(shù)f①11?a②3?10a+8a2?2a31、【答案】A;【解析】∵全集U=1,2,3,4,5,6,7且A∩∴?U故選A．2、【答案】C;【解析】由已知有m⊥d，當m⊥n時，平面α與平面當α//∵m⊥∴m⊥∵n?β，∴m⊥故必要性滿足，∴“m⊥n”是“故選C．3、【答案】D;【解析】將已知函數(shù)變形fx其中tan?φ=又fx=asin∴π4?φ=2kπ+π2（k∈Z∴fx∴函數(shù)y=fx+∴函數(shù)是偶函數(shù)且它的圖象關于點3π2故選D．4、【答案】C;【解析】分別記a→=OA→，b→設線段AB的中點為D，由極化恒等式，得?==|=|=1即C是以點D為圓心，12則c→故選C．5、【答案】C;【解析】依題意，有b2則b2注意到E(X)=b+2c，E(X則D(X)=E(=(b+4c)?=(b+4c)?4c=b，由AM?GM不等式，得：ac?(a+c)從而D(X)的最大值為12當且僅當a=c=14，故選C．6、【答案】D;【解析】記線段PQ的中點為R．設直線MR與直線PQ的斜率分別為k1，k2，則k1又注意到k1?k從而離心率e=1?故選D．7、【答案】C;【解析】如圖所示，作出曲線y=ex?1與直線設曲線y=ex?1與直線y=x相切于點借助蛛網(wǎng)工作法，得an單調(diào)遞增，且a下面歸納證明an?n當n=1時，結論顯然成立．假設結論對n成立．則當n+1時，由歸納假設只需要證明en又注意到ln?即當n+1時結論也成立．從而結論成立．又a2=1故選C．8、【答案】202【解析】設AE=AC=BE=x，則EC=x?2，在△AECcos?C=則△ABC的面積S=故答案為：2029、【答案】y=±(3【解析】依題意，有MF1=2a設直線l與漸近線交于點A，則AO=a，AF作F2B⊥直線l且交直線l于點B，則AO故BF2=2a又注意到BF則2b=2a+23從而該雙曲線的漸近線方程為y=±(3故答案為：y=±(310、【答案】98【解析】注意到fx是偶函數(shù)，則M由絕對值三角不等式，得Ma上式當且僅當a=?7即Ma的最小值為9故答案為：9811、【答案】(1)2n+1;(2)證明見解析．;【解析】(1)設an則ak1=a3依題意，有a1則ak又akn是等比數(shù)列，且則kn?1是以k1故kn從而k1(2)方法一:原不等式等價于證明k=1n由（1）的結論，得bn由Cauchy不等式，得k=1?k=1一方面，有k=1n另一方面，有k=1<1+=1+=2?1從而k=1n即原不等式成立．(2)方法二:由（1）的結論，得2b則原不等式等價于證明k=1n又注意到n==k=1則只需要證明k+1?事實上，整理后即得??這即為Cauchy不等式．從而原不等式成立．12、【答案】(1)證明見解析．;(2)1510;【解析】(1)如圖，連接B′依題意，有A′又A′B′故A′又A′M?平面B′BCC則A′M//(2)方法一:如圖，連接D′M，則由平面DCC′D′⊥平面ABCD又AD?平面ABCD，則D′作MP⊥AD交AD于點P，連接PD又AD∩PM=P，則AD⊥平面PM作MN⊥PD′交PD′于點又AD∩PD則MN⊥平面DA即∠MA′N為設∠M又MP=32，則D′故MN=MP?M又A′則sin?θ=(2)方法二:以M為坐標原點，MN→為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系M?xyz則D(0,?1,0)，D′(0,0,3)，故DD′→=0,1,設n→=(a,b,c)是平面DD取a=c=1，b=?3即ncosM故A′M與平面DAA13、【答案】(1)x?y?1=0．;(2)8．;【解析】(1)x?y?1=0．(2)如圖，設Ax0,聯(lián)立直線l′與拋物線方程2x得x0設Cx1,則x1顯然x1<0，則S1又注意到S1則S=1+=1+4易知S3則S=x最后一步即為AM?GM不等式．①式當且僅當x0從而S3S214、【答案】(1)證明見解析．;(2)①證明見解析．②證明見解析．;【解析】(1)f′則函數(shù)fx在區(qū)間?1,+又f0=?1<0，由零點存在定理，得函數(shù)fx在區(qū)間0,10(2)①引理1：ln?設gx=ln則g′函數(shù)gx在區(qū)間0,+故gx<g0一方面，設?a則?′即函數(shù)?a在區(qū)間?則f=>≈0.693?0.61>0，另一方面，結合引理1，得：f<=0．