2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題（二）：第35煉 形如AD=xAC yAB條件的應(yīng)用含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題（二）：第35煉形如AD=xACyAB條件的應(yīng)用含答案第35煉形如條件的應(yīng)用一、基礎(chǔ)知識：1、平面向量基本定理：若平面上兩個向量不共線，則對平面上的任一向量，均存在唯一確定的，（其中），使得。其中稱為平面向量的一組基底。（1）不共線的向量即可作為一組基底表示所有的向量（2）唯一性：若且，則2、“爪”字型圖及性質(zhì)：（1）已知為不共線的兩個向量，則對于向量，必存在，使得。則三點(diǎn)共線當(dāng)，則與位于同側(cè)，且位于與之間當(dāng)，則與位于兩側(cè)時，當(dāng)，則在線段上；當(dāng)，則在線段延長線上（2）已知在線段上，且，則3、中確定方法（1）在幾何圖形中通過三點(diǎn)共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進(jìn)而確定（2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對于向量方程，可考慮兩邊對同一向量作數(shù)量積運(yùn)算，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過建系將向量坐標(biāo)化，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解二、典型例題：例1：在中，為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作一直線分別交于點(diǎn)，若，則的最小值是（）A.B.C.D.思路：若要求出的最值，則需從條件中得到的關(guān)系。由共線可想到“爪”字型圖，所以，其中，下面考慮將的關(guān)系轉(zhuǎn)為的關(guān)系。利用條件中的向量關(guān)系：且，所以，因為，所以，由平面向量基本定理可得：，所以，所以，而，所以答案：A例2：如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實數(shù)的值為（）A.B.C.D.思路：觀察到三點(diǎn)共線，利用“爪”字型圖，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以答案：C例3：在平面內(nèi)，已知，設(shè)，則等于（）A.B.C.D.思路：所求為，可以考慮對兩邊同時對同一向量作數(shù)量積，從而得到的方程，解出，例如兩邊同對作數(shù)量積，可得：，因為，，所以有，同理，兩邊對作數(shù)量積，可得：，即，所以，通過作圖可得或，從而，代入可得：答案：B小煉有話說：（1）當(dāng)向量等式中的向量系數(shù)含參時，可通過對兩邊作同一向量的數(shù)量積運(yùn)算便可得到關(guān)于系數(shù)的方程。若要解出系數(shù)，則可根據(jù)字母的個數(shù)確定構(gòu)造方程的數(shù)量（2）本題也可通過判定，從而想到建立坐標(biāo)系通過坐標(biāo)解出，進(jìn)而求出例4：如圖，在正六邊形中，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一個動點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：因為為動點(diǎn)，所以不容易利用數(shù)量積來得到的關(guān)系，因為六邊形為正六邊形，所以建立坐標(biāo)系各個點(diǎn)的坐標(biāo)易于確定，可得：，則，所以設(shè)，則由可得：，因為在內(nèi)，且，所以所滿足的可行域為，代入可得：，通過線性規(guī)劃可得：答案：例5：已知，則與的夾角的余弦值為__________思路：若要求與的夾角，可聯(lián)想到，所以只需確定與，由一方面可以兩邊同時對作數(shù)量積得到，另一方面等式兩邊可以同時取模長的平方計算出，進(jìn)而求出解：且答案：例6：如圖，平面內(nèi)有三個向量，其中與的夾角為，與的夾角為，且，若，則的值為_______思路一：由圖像可得：，由此條件中可提供的模長及相互的夾角，若要求得，可考慮求出的值。則需要兩個方程。對兩邊同時對作數(shù)量積，即，由，可得：，再將兩邊對作數(shù)量積，則，即，所以，即思路二：從圖形中可想到建系，得到的坐標(biāo)，從而利用坐標(biāo)可求得的值：如圖建系可得：，所以，從而可得，所以答案：6例7：已知在中，為的外心，，且，則___________思路：通過觀察條件發(fā)現(xiàn)很難從幾何方向直接求，從而考慮利用計算數(shù)量積，如何利用這個條件呢？對于已知可以考慮等式兩邊對同一向量作數(shù)量積，從而得到關(guān)于的實數(shù)方程。由于是外心，進(jìn)而在上的投影為各邊的中點(diǎn)，所以可用數(shù)量積的投影定義計算出，結(jié)合所求，可確定兩邊同時與作數(shù)量積即可。解：由，可得：（*）在上的投影向量為（為中點(diǎn)），同理：所以（*）變形為：小煉有話說：對于形如，若想得到關(guān)于的方程，可以考慮對同一向量作數(shù)量積即可，而向量的選擇要盡量能和等式中的向量計算出數(shù)量積。例8：給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動.若其中,則的最大值是_____.思路：所求的最值，可考慮對等號兩邊對同一向量作數(shù)量積，從而轉(zhuǎn)化為的等式：即即，從而可發(fā)現(xiàn)，所以只需求得的最大值，其中根據(jù)扇形的特點(diǎn)可知的終點(diǎn)為的中點(diǎn)，即，所以，只需最大即可。可知重合時，，所以的最大值為答案：例9：已知是外接圓的圓心，為的內(nèi)角，若，則的值為（）A．B．C．D.思路：本題所求與等式中的系數(shù)相關(guān)，是外心所以在上的投影為兩邊中點(diǎn)，考慮兩邊同時對做數(shù)量積，再結(jié)合正弦定理變形等式即可解：可得：（*），因為是外心（*）變形為在中，設(shè)外接圓半徑為，即，且（*）變形為：例10：已知的外接圓圓心為，且滿足，且，，則（）A.B.C.D.思路：由外接圓的性質(zhì)可知在上的投影為中點(diǎn)，所以考慮對兩邊同時對作數(shù)量積，從而得到系數(shù)的關(guān)系：，因為，所以有，再結(jié)合，解三元一次方程組即可得到：答案：A三、歷年好題精選1、如圖，在正方形中，為的中點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最小值為__________答案：2、（2016，鄭州一測）已知點(diǎn)，，，平面區(qū)域是由所有滿足的點(diǎn)組成的區(qū)域，若區(qū)域的面積為，則的最小值為________．3、（2015，北京）在中，點(diǎn)，滿足．若，則 ； ．4、（2015，新課標(biāo)I）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A.B.C.D.5、（安徽六校聯(lián)考）如圖，在扇形中，，為弧上且與不重合的一個動點(diǎn)，且，若存在最大值，則的取值范圍為（）A．B．C．D．6、（2016，河南中原第一次聯(lián)考）在直角梯形中，為邊上一點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.7、如圖，在直角梯形中，，動點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓上或圓內(nèi)移動，設(shè)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.OACBDP8、如圖，四邊形是邊長為1的正方形，，點(diǎn)為內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，設(shè)，則的最大值等于__________OACBDP9、在中，，若（是的外心），則的值為___________10、在中，邊，過作于，且，則________11、如圖，是圓的直徑，是圓上的點(diǎn)，且若，則（）A.B.C.D.12、如圖，將的直角三角板和的直角三角板拼在一起組成平面四邊形，其中的直角三角板的斜邊與的直角三角板的所對的直角邊重合，若，則分別等于（）A.B.C.D.13、如圖，在中，，過點(diǎn)的直線分別交射線于不同的兩點(diǎn)，若，則的最小值為（）A.B.C.D.14、在中，點(diǎn)在線段的延長線上，且，點(diǎn)在線段上（與不重合），若，則的取值范圍是________15、已知在中，，點(diǎn)為的外心，若，則有序?qū)崝?shù)對為（）A.B.C.D.習(xí)題答案：1、解析：本題所處圖形為正方形與圓的一部分，所以考慮建系處理，以為軸建立坐標(biāo)系。設(shè)正方形邊長為單位長度，則，點(diǎn)所在圓方程為，設(shè)則，，，由得：，解得：設(shè)令，所以：由可得：，結(jié)合分式的單調(diào)性可得當(dāng)時，達(dá)到最小值，即2、答案：解析：設(shè)，，∵，∴．∴，∴，∵∴，即∴表示的可行域為平行四邊形，如圖：由，得，由，得，∴,∵到直線的距離，∴，∴，∴，∴，.3、答案：解析：，所以4、答案：A解析：由圖可想到“爪字形圖得：，解得：5、答案：D解析：以為軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，，由可得：，若存在最大值，則存在極值點(diǎn)在有零點(diǎn)令，因為，解得：6、解析：取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，所以，＝，于是＝＝7、答案：C解析：由直角梯形可知依直角建立坐標(biāo)系，則，直線圓的半徑設(shè)，由可得：在圓內(nèi)設(shè)，則，其中由可知，且所以8、答案：解析：可依直角建立坐標(biāo)系，則設(shè)，則有，由圖可得所在的區(qū)域為不等式組：所求，利用線性規(guī)劃可得：的最大值為，最優(yōu)解在處取得9、答案：解析：由可得：由是的外心可得：，所以10、答案：解析：，由可得：，所以即另一方面，由三點(diǎn)共線可得：，所以解得：，所以11、答案：A解析：以圓為單位圓建系，可得由圖可知，所以，由可得：從而12、答案：D解析：可如圖以所在直線為軸建立坐標(biāo)系，以為單位長度，則只需求出點(diǎn)坐標(biāo)即可，由已知可得：，聯(lián)立方程可解得，所以可得：13、答案：D解析：連結(jié)，由“爪字型”圖的模型可知，因為，代入可得：①，在中，由三點(diǎn)共線以及①可得：，所以，設(shè)，則，因為，所以可得的最小值在處取得，即14、答案：解析：設(shè)15、答案：A解析：為的外心由可得：解得：，所以為第36煉向量的數(shù)量積——尋找合適的基底在高考中經(jīng)常會遇到幾何圖形中計算某兩個向量數(shù)量積的問題，如果無法尋找到計算數(shù)量積的要素（模長，夾角）那么可考慮用合適的兩個向量（稱為基底）將兩個向量表示出來，進(jìn)而進(jìn)行運(yùn)算。這也是在幾何圖形中處理向量數(shù)量積的一個重要方法一、基礎(chǔ)知識：（一）所涉及的平面向量定理及數(shù)量積運(yùn)算法則：1、平面向量基本定理：若向量為兩個不共線的向量，那么對于平面上任意的一個向量，均存在唯一一對實數(shù)，使得。其中成為平面向量的一組基底。（簡而言之，不共線的兩個向量可以表示所有向量）2、向量數(shù)量積運(yùn)算，其中為向量的夾角3、向量夾角的確定：向量的夾角指的是將的起點(diǎn)重合所成的角，其中：同向：反向：4、數(shù)量積運(yùn)算法則：（1）交換律：（2）系數(shù)結(jié)合律：（3）分配律：因為向量數(shù)量積存在交換律與分配律，才使得有些向量數(shù)量積運(yùn)算的展開式與實數(shù)因式相乘的展開式規(guī)律相同：例如：5、若，則由此可見，只要知道基底的模與數(shù)量積，以及將用基底表示出來，則可計算（二）選擇合適基底解題的步驟與技巧：1、如何選擇“合適”的基底：題目中是否有兩個向量模長已知，數(shù)量積可求呢？如果有，那就是它們了。所以在此類題目中首先可先確定那些向量的數(shù)量積與模長已知。常見的可以邊所成向量作基底的圖形有：等邊三角形，已知兩邊的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。2、向量的表示：嘗試所求數(shù)量積的兩個向量是否能被你所選中的基底進(jìn)行表示，常用的方法有：（1）向量的加減運(yùn)算 （2）“爪”字型圖：在中，是上的點(diǎn)，如果，則，其中知二可求一。特別的，如果是邊上的中線，則3、計算數(shù)量積：將所求向量用基地表示后，代入到所求表達(dá)式計算即可，但在計算過程中要注意基底的夾角二、例題精煉例1:如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，，則_______________思路：模長未知（尚可求出），夾角未知，所以很難直接求出數(shù)量積?？紤]是否有合適基底，，可計算出,進(jìn)而對于,模長均已知，數(shù)量積已求，條件齊備，適合作為基底。用表示：,,答案：例2：如圖，已知在中，，則______思路：觀察條件，很難直接利用公式求解.考慮選擇兩個向量表示,條件中(數(shù)量積有了），（模長有了），所以考慮用作為基底。下一步只需將表示出來，（底邊比值——聯(lián)想到“爪”字型圖）,解得：所以答案：例3:在邊長為1的正三角形中，設(shè)，則__________思路：如圖，等邊三角形三邊已知，夾角已知，由此對于三邊所成的向量，兩兩數(shù)量積均可計算，所以考慮用三邊向量進(jìn)行表示，表示的方法很多，例如觀察“爪”字形圖可得,(注意向量夾角）答案：小煉有話說：這道題由于是等邊三角形，故可以建系去做，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸。坐標(biāo)完成之時，就是計算的完成之日，且此法在計算上更為簡便。例4：如圖，在中，已知，點(diǎn)分別在邊上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則的值是（）A.B.C.D.思路：在本題中已知及兩個向量的夾角，所以考慮將作為一組基底。則考慮將用進(jìn)行表示，再做數(shù)量積即可解：且，所以有：由已知可得：答案：C例5：已知向量的夾角是，且，若，且，則實數(shù)的值是____________思路：題中模長夾角已知，所以選擇它們作為基底，表示，再根據(jù)求出即可解：即①①式變?yōu)椋航獾么鸢福豪?：在邊長為的正三角形中，，則的最大值為___________答案：思路：所給為等邊三角形，則三邊所成向量兩兩數(shù)量積可解。所以用三邊向量將表示出來，再作數(shù)量積運(yùn)算并利用消元即可求出最值解：且等號成立條件：答案：小煉有話說：（1）本題在最后求最值時還可以利用均值不等式迅速把問題解決：（2）在消元時要注意，如果所消去的元本身有范圍，則這個范圍由主元來承擔(dān)，比如本題中用把消掉，則所滿足的條件除了已知的之外，還有，即例7：如圖，在四邊形中，是等邊三角形，則的值為_____________思路：從條件中可分析，的邊所成的向量兩兩之間數(shù)量積可求，其公共邊為，所以以作為突破口，所求數(shù)量積中只有需要轉(zhuǎn)換，可得，所以，進(jìn)而可解解：在中，在等邊三角形中，答案：小煉有話說：（1）在求時要注意夾角不是，而是它的補(bǔ)角?。?）在求也可以用投影定義來解，即在上的投影為，所以例8：如圖，四邊形滿足，若是的中點(diǎn)，則（）A.B.