5.3.1函數(shù)的單調(diào)性課件高二數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3.1函數(shù)的單調(diào)性人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)單調(diào)性,會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間.3.理解函數(shù)圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系.4.掌握已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的方法.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果

,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增;在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果

,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.

定義域的非空子集

f'(x)>0f'(x)<0名師點(diǎn)睛“在某區(qū)間內(nèi)f'(x)>0(f'(x)<0)”是“函數(shù)f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(減)”的充分條件,而不是必要條件.如果出現(xiàn)個(gè)別點(diǎn)使f'(x)=0,不會(huì)影響函數(shù)f(x)在包含該點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.例如函數(shù)f(x)=x3,在定義域(-∞,+∞)內(nèi)是增函數(shù),但因?yàn)閒'(x)=3x2,所以f'(0)=0,即并不是在定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)處都滿足f'(x)>0.過關(guān)自診1.如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0,那么函數(shù)f(x)有什么特性?提示

f(x)在該區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).2.在區(qū)間(a,b)內(nèi),若f'(x)>0,則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,反之也成立嗎?提示

不一定成立.比如y=x3在R上為增函數(shù),但其在x=0處的導(dǎo)數(shù)等于零.也就是說f'(x)>0是y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.3.[2023廣西北海月考]函數(shù)y=ex-e2x的單調(diào)遞增區(qū)間為

.答案

(2,+∞)

解析

令y'=ex-e2>0,可得x>2.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞).4.[北師大版教材習(xí)題]討論下列函數(shù)的單調(diào)性:(1)y=2x2-5x+4;(2)y=3x-x3.(2)y'=3-3x2=3(1-x2)=3(1+x)(1-x).由y'>0得-1<x<1;由y'<0得x>1或x<-1.因此,函數(shù)y=3x-x3在區(qū)間(-∞,-1)和(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增.知識(shí)點(diǎn)2

函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)與導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值大小的關(guān)系一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x),在區(qū)間(a,b)內(nèi):導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象較大

比較“

”(向上或向下)

較小

比較“

”(向上或向下)

較快

陡峭較慢平緩名師點(diǎn)睛1.原函數(shù)的圖象通常只看增減變化,而導(dǎo)函數(shù)的圖象通常對(duì)應(yīng)只看正負(fù)變化.2.導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值大(小)對(duì)應(yīng)著原函數(shù)圖象的陡峭(平緩).弄清楚兩個(gè)對(duì)應(yīng)就能準(zhǔn)確快速地分析函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)與導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值大小的關(guān)系.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的打√,錯(cuò)誤的打×)(1)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)越大,函數(shù)的圖象在該點(diǎn)處的切線越“陡峭”.(

)(2)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上變化得越快,函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大.(

)2.導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)有何關(guān)系?×√提示

(1)在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)值為正,函數(shù)單調(diào)遞增;導(dǎo)數(shù)值為負(fù),函數(shù)單調(diào)遞減.(2)函數(shù)圖象越陡峭,導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大;函數(shù)圖象越平緩,導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越小.反之,亦成立.重難探究·能力素養(yǎng)全提升重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系【例1】

(1)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),y=f(x)的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象可能為(

)D解析

由函數(shù)的圖象可知:當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,導(dǎo)數(shù)始終為正;當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)先增后減再增,即導(dǎo)數(shù)先正再為0,再負(fù),再為0,再正,對(duì)照選項(xiàng),應(yīng)選D.(2)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是(

)D解析

原函數(shù)先減再增,再減再增,且單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間的分界點(diǎn)情形只有選項(xiàng)D符合,故選D.規(guī)律方法

研究函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象之間關(guān)系的方法導(dǎo)函數(shù)f'(x)圖象在x軸上方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值區(qū)間為原函數(shù)f(x)圖象上升部分對(duì)應(yīng)的區(qū)間(單調(diào)遞增區(qū)間),導(dǎo)函數(shù)f'(x)圖象在x軸下方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值區(qū)間為原函數(shù)f(x)圖象下降部分對(duì)應(yīng)的區(qū)間(單調(diào)遞減區(qū)間).變式訓(xùn)練1已知函數(shù)y=xf'(x)的圖象如圖所示(其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),下面四個(gè)圖象中,y=f(x)的圖象大致是(

)C解析

當(dāng)x<-1時(shí),xf'(x)<0,∴f'(x)>0.故f(x)在區(qū)間(-∞,-1)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)-1<x<0時(shí),xf'(x)>0,∴f'(x)<0,故f(x)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)0<x<1時(shí),xf'(x)<0,∴f'(x)<0,故f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時(shí),xf'(x)>0,∴f'(x)>0,故f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.故選C.探究點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【例2】

下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增的是(

)A.y=cosx B.y=xexC.y=x3-x D.y=lnx-xB解析

A中,y'=-sin

x,當(dāng)x>0時(shí),y'的符號(hào)不確定;B中,y'=ex+xex=(x+1)ex,當(dāng)x>0時(shí),y'>0,故在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;C中,y'=3x2-1,當(dāng)x>0時(shí),y'>-1;D中,y'=-1,當(dāng)x>0時(shí),y'>-1.故選B.規(guī)律方法

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí),一般是先確定函數(shù)的定義域,再求導(dǎo)數(shù),最后判斷導(dǎo)數(shù)在所給區(qū)間上的符號(hào),從而確定函數(shù)的單調(diào)性.變式訓(xùn)練2若函數(shù)y=xcosx-sinx在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,則該區(qū)間可能為(

)C解析

∵y=xcos

x-sin

x,∴y'=cos

x-xsin

x-cos

x=-xsin

x.當(dāng)x∈

時(shí),sin

x>0,y'<0,函數(shù)單調(diào)遞減,故A錯(cuò)誤;當(dāng)x∈

時(shí),sin

x<0,y'<0,函數(shù)單調(diào)遞減,故B錯(cuò)誤;當(dāng)x∈(π,2π)時(shí),sin

x<0,y'>0,函數(shù)單調(diào)遞增,故C正確;當(dāng)x∈(0,π)時(shí),sin

x>0,y'<0,函數(shù)單調(diào)遞減,故D錯(cuò)誤.故選C.探究點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間角度1.求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例3】

[北師大版教材習(xí)題]討論下列函數(shù)的單調(diào)性,并畫出大致圖象.(1)y=(x-1)ex;分析

根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間.解

(1)y'=(x-1)'ex+(x-1)(ex)'=ex+(x-1)ex=xex.由y'>0得x>0,由y'<0得x<0,因此,函數(shù)y=(x-1)ex在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減.大致圖象如圖①.圖①

圖②

規(guī)律方法

求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟確定函數(shù)y=f(x)的定義域→求導(dǎo)數(shù)f

'(x)→解不等式f'(x)>0,函數(shù)在解集與定義域的交集上單調(diào)遞增→解不等式f'(x)<0,函數(shù)在解集與定義域的交集上單調(diào)遞減變式訓(xùn)練3求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(2)f(x)=ex-x.解

函數(shù)定義域?yàn)镽,f'(x)=4-x2.令f'(x)>0,即4-x2>0,解得-2<x<2;令f'(x)<0,即4-x2<0,解得x<-2或x>2.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-2,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2)和(2,+∞).解

函數(shù)定義域?yàn)镽,f'(x)=ex-1.令f'(x)>0,即ex-1>0,解得x>0;令f'(x)<0,即ex-1<0,解得x<0.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0).角度2.求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例4】

討論函數(shù)f(x)=ax2+x-(a+1)lnx(a≥0)的單調(diào)性.分析

根據(jù)函數(shù)的定義域,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的大小,確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.∴f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.綜上所述,當(dāng)a≥0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞).變式探究本例條件不變,將a≥0改為a<0,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.規(guī)律方法

解析式中含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法(1)求解析式中含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般需要分類討論:若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)能夠直接求出,則主要是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的大小分類討論;若導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不能直接求出,則需要結(jié)合導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)分類討論.(2)若導(dǎo)數(shù)的解析式是一個(gè)含參的二次三項(xiàng)式(或可化為二次三項(xiàng)式),如果二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù),那么首先按照二次項(xiàng)系數(shù)為零、為正、為負(fù)分類討論;如果二次項(xiàng)系數(shù)無參數(shù),那么只需討論導(dǎo)數(shù)為零對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根x1,x2的大小.但是求解時(shí)要注意函數(shù)的定義域?qū)瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間的限制.探究點(diǎn)四已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍【例5】

已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析

f(x)為增函數(shù)

→f

'(x)≥0恒成立

→分離參數(shù)求a的取值范圍

解

由已知得f'(x)=3x2-a,因?yàn)閒(x)在(-∞,+∞)內(nèi)是增函數(shù),所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)內(nèi)恒成立,即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立.因?yàn)?x2≥0,所以只需a≤0.又因?yàn)閍=0時(shí),f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函數(shù).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,0].變式探究1若函數(shù)f(x)=x3-ax-1的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),求實(shí)數(shù)a的值.解

由f'(x)=3x2-a,①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù).不符合題意.②當(dāng)a>0時(shí),令3x2-a=0,變式探究2若函數(shù)f(x)=x3-ax-1在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

由題意可知f'(x)=3x2-a≤0在區(qū)間(-1,1)內(nèi)恒成立,即a的取值范圍是[3,+∞).變式探究3若函數(shù)f(x)=x3-ax-1在區(qū)間(-1,1)內(nèi)不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

∵f(x)=x3-ax-1,∴f'(x)=3x2-a.由f(x)不單調(diào)可知a>0.變式探究4若函數(shù)f(x)=x3-ax-1在區(qū)間(-1,1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

∵f(x)=x3-ax-1,∴f'(x)=3x2-a.由題意可知f'(x)=3x2-a<0在區(qū)間(-1,1)內(nèi)有解,即a>3x2在區(qū)間(-1,1)內(nèi)有解,因此a>(3x2)min.由于y=3x2在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的最小值為0,因此a>0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,+∞).規(guī)律方法

利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),常用方法如下:1函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增?f'(x)≥0在區(qū)間D上恒成立2函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減?f'(x)≤0在區(qū)間D上恒成立3函數(shù)f(x)在區(qū)間D上不單調(diào)?f'(x)在區(qū)間D上存在異號(hào)零點(diǎn)4函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增區(qū)間??x0∈D,使得f'(x0)>0成立5函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞減區(qū)間??x0∈D,使得f'(x0)<0成立6若已知f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性,區(qū)間D上含有參數(shù)時(shí),可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,令D是其單調(diào)區(qū)間的非空子集,從而求出參數(shù)的取值范圍本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性.(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(4)由導(dǎo)數(shù)的信息畫函數(shù)的大致圖象.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化法,數(shù)形結(jié)合、分類討論.3.常見誤區(qū):(1)容易忽略定義域的限制;(2)當(dāng)單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)時(shí),連接符號(hào)易出錯(cuò);(3)易疏忽求單調(diào)區(qū)間問題中區(qū)間的開閉情況.重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345678910111213141516A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1718192021221.[探究點(diǎn)一、二](多選題)如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象,則下列判斷正確的是(

)A.在(-2,1)上,f(x)單調(diào)遞增B.在(1,2)上,f(x)單調(diào)遞增C.在(4,5)上,f(x)單調(diào)遞增D.在(-3,-2)上,f(x)單調(diào)遞增BC解析

由題圖知當(dāng)x∈(-1,1),x∈(1,2),x∈(4,5)時(shí),f'(x)>0,所以在區(qū)間(-1,1),(1,2),(4,5)上,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(-3,-2),x∈(-2,-1)時(shí),f'(x)<0,所以在區(qū)間(-3,-2),(-2,-1)上,f(x)單調(diào)遞減.2.[探究點(diǎn)三(角度1)]函數(shù)f(x)=x3-3x2+1的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.(-∞,0) D.(0,2)12345678910111213141516171819202122D解析

f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)<0,得0<x<2,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2).3.[探究點(diǎn)三(角度1)]函數(shù)f(x)=lnx-4x+1的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)12345678910111213141516171819202122A4.[探究點(diǎn)二]已知函數(shù)f(x)=+lnx,則下列選項(xiàng)正確的是(

)A.f(e)<f(π)<f(2.7) B.f(π)<f(e)<f(2.7)C.f(e)<f(2.7)<f(π) D.f(2.7)<f(e)<f(π)12345678910111213141516171819202122D5.[探究點(diǎn)四]若函數(shù)f(x)=lnx+x2-bx存在單調(diào)遞減區(qū)間,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為(

)A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,2) D.(-∞,2]12345678910111213141516171819202122B6.[探究點(diǎn)一]已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是(

)12345678910111213141516171819202122B解析

由y=f'(x)的圖象知,y=f(x)在[-1,1]上是單調(diào)遞增的,且在區(qū)間(-1,0)上增長(zhǎng)速度越來越快,而在區(qū)間(0,1)上增長(zhǎng)速度越來越慢,故選B.7.[探究點(diǎn)三(角度1)]函數(shù)f(x)=(x2+x+1)ex的單調(diào)遞減區(qū)間為

.

12345678910111213141516171819202122(-2,-1)解析

f'(x)=(2x+1)·ex+(x2+x+1)ex=ex(x2+3x+2)=ex(x+1)(x+2),令f'(x)<0,解得-2<x<-1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,-1).8.[探究點(diǎn)四]已知函數(shù)f(x)=x+blnx在區(qū)間(0,2)上不單調(diào),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

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12345678910111213141516171819202122(-2,0)解析

f'(x)=1+,令g(x)=x+b(x>0),則g(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的,故需g(0)=b<0,g(2)=b+2>0,b>-2,所以b∈(-2,0).9.[探究點(diǎn)三(角度1)]求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)=3+x·lnx;123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212210.[探究點(diǎn)三(角度2)·2023河北張家口期末]已知函數(shù)f(x)=-xeax.討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.12345678910111213141516171819202122解

由已知得定義域?yàn)镽,f'(x)=-(ax+1)eax,當(dāng)a=0時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù).12345678910111213141516171819202122B級(jí)關(guān)鍵能力提升練11.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(1)=0,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且f'(x)>0,則不等式(x-2)f(x)>0的解集是(

)A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,1)∪(1,+∞)C.(0,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)12345678910111213141516171819202122A解析

由題意可知f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,又f(1)=0,(x-2)f(x)>0,所以當(dāng)x>2時(shí),由f(x)>0可知f(x)>f(1),即x>1,因此x>2;當(dāng)x<2時(shí),由(x-2)f(x)>0可知f(x)<0,即f(x)<f(1),因此x<1.所以不等式(x-2)f(x)>0的解集為(-∞,1)∪(2,+∞),故選A.12.已知a∈R,則“a≤3”是“f(x)=2lnx+x2-ax在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件12345678910111213141516171819202122A13.定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有f'(x)+1<0,且f(1)=-1,則(

)A.f(0)<0 B.f(e)<-eC.f(e)>f(0) D.f(2)>f(1)12345678910111213141516171819202122B解析

構(gòu)造g(x)=f(x)+x,則g'(x)=f'(x)+1.又f'(x)+1<0,所以g'(x)<0,所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減.所以g(e)<g(1),又g(1)=f(1)+1=-1+1=0,即f(e)+e<0,所以f(e)<-e.故選B.恒成立,則a的取值范圍為(

)A.[4,+∞) B.(4,+∞)C.(-∞,4] D.(-∞,4)12345678910111213141516171819202122A15.若函數(shù)f(x)=ex-e-x+sin2x,則滿足f(2x2-1)+f(x)>0的x的取值范圍為(

)12345678910111213141516171819202122B16.(多選題)下列函數(shù)在定義域上為增函數(shù)的有(

)A.f(x)=2x4

B.f(x)=xexC.f(x)=x-cosx

D.f(x)=ex-e-x-2x12345678910111213141516171819202122CD解析

函數(shù)f(x)=2x4定義域?yàn)镽,其導(dǎo)數(shù)為f'(x)=8x3,當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在定義域R上不是增函數(shù);函數(shù)f(x)=xex定義域?yàn)镽,其導(dǎo)數(shù)為f'(x)=(x+1)ex,當(dāng)x<-1時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>-1時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在定義域R上不是增函數(shù);函數(shù)f(x)=x-cos

x定義域?yàn)镽,其導(dǎo)數(shù)為f'(x)=1+sin

x≥0且不恒為0,所以f(x)在定義域R上是增函數(shù);函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x定義域?yàn)镽,其導(dǎo)數(shù)為f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,當(dāng)且僅當(dāng)ex=e-x,即x=0時(shí),等號(hào)成立,所以f(x)在定義域R上是增函數(shù).故選CD.17.若函數(shù)f(x)=2x2-lnx在定義域的一個(gè)子區(qū)間(k-1,k+1)上不單調(diào),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

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1234567891011121314151617181920212218.已知f(x)滿足f(4)=f(-3)=1,f'(x)為其導(dǎo)函數(shù),且導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則f(x)<1的解集是

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12345678910111213141516171819202122(-3,4)解析

由函數(shù)y=f'(x)的圖象可知,當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.因?yàn)閒(4)=f(-3)=1,所以當(dāng)x≤0時(shí),由f(x)<1=f(-3),可得-3<x≤0;當(dāng)x>0時(shí),由f(x)<1=f(4),可得0<x<4.綜上所述,不等式f(x)<1的解集為(-3,4).19.[2023上海浦東期末]已知定義在(-π,π)上的函數(shù)f(x)=xcos(x+φ)-cosx(0<φ<π)為偶函數(shù),則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

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