2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（一）：第3煉 利用數(shù)軸解決集合運(yùn)算問題含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（一）：第3煉利用數(shù)軸解決集合運(yùn)算問題含答案第3煉利用數(shù)軸解決集合運(yùn)算問題數(shù)形結(jié)合是解決高中數(shù)學(xué)問題的常用手段，其優(yōu)點(diǎn)在于通過圖形能夠直觀的觀察到某些結(jié)果，與代數(shù)的精確性結(jié)合，能夠快速解決一些較麻煩的問題。在集合的運(yùn)算中，涉及到單變量的取值范圍，數(shù)軸就是一個(gè)非常好用的工具，本文將以一些題目為例，來介紹如何使用數(shù)軸快速的進(jìn)行集合的交并運(yùn)算。一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、集合運(yùn)算在數(shù)軸中的體現(xiàn)：在數(shù)軸上表示為表示區(qū)域的公共部分在數(shù)軸上表示為表示區(qū)域的總和在數(shù)軸上表示為中除去剩下的部分（要注意邊界值能否取到）2、問題處理時(shí)的方法與技巧：（1）涉及到單變量的范圍問題，均可考慮利用數(shù)軸來進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，尤其是對(duì)于含有參數(shù)的問題時(shí)，由于數(shù)軸左邊小于右邊，所以能夠以此建立含參數(shù)的不等關(guān)系（2）在同一數(shù)軸上作多個(gè)集合表示的區(qū)間時(shí)，可用不同顏色或不同高度來區(qū)分各個(gè)集合的區(qū)域。（3）涉及到多個(gè)集合交并運(yùn)算時(shí)，數(shù)軸也是得力的工具，從圖上可清楚的看出公共部分和集合包含區(qū)域。交集即為公共部分，而并集為覆蓋的所有區(qū)域（4）在解決含參數(shù)問題時(shí)，作圖可先從常系數(shù)的集合（或表達(dá)式）入手，然后根據(jù)條件放置參數(shù)即可3、作圖時(shí)要注意的問題：（1）在數(shù)軸上作圖時(shí)，若邊界點(diǎn)不能取到，則用空心點(diǎn)表示；若邊界點(diǎn)能夠取到，則用實(shí)心點(diǎn)進(jìn)行表示，這些細(xì)節(jié)要在數(shù)軸上體現(xiàn)出來以便于觀察（2）處理含參數(shù)的問題時(shí)，要檢驗(yàn)參數(shù)與邊界點(diǎn)重合時(shí)是否符合題意。二、例題精析：例1：（2009安徽）集合，則=_______思路：先解出的解集，，作出數(shù)軸，則即為它們的公共部分。答案：例2：設(shè)集合，則的取值范圍是____思路：可解出，而集合含有參數(shù)，作出數(shù)軸，先從容易作圖的集合做起，即畫出的范圍，由于，而數(shù)軸上有一部分區(qū)域沒有被包含，那說明集合負(fù)責(zé)補(bǔ)空缺的部分，由于參數(shù)決定其端點(diǎn)位置，所以畫出圖像，有圖像觀察可得只需要：即可，解得：答案：小煉有話說：（1）含有參數(shù)的問題時(shí)，可考慮參數(shù)所起到的作用，在本題中參數(shù)決定區(qū)間的端點(diǎn)（2）含有參數(shù)的問題作圖時(shí)可先考慮做出常系數(shù)集合的圖像，再按要求放置含參的集合（3）注意考慮端點(diǎn)處是否可以重合，通常采取驗(yàn)證的方法，本題若或，則端點(diǎn)處既不在里，也不在里，不符題意。例3：對(duì)于任意的，滿足恒成立的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成集合，使不等式的解集是空集的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成集合，則______思路：先利用已知條件求出，再利用數(shù)軸畫出的范圍即可解：由①恒成立，可得：當(dāng)即時(shí)，①變?yōu)椋汉愠闪?dāng)時(shí)，若要①恒成立，則解集為空等價(jià)于：設(shè)即小煉有話說：本題更多考察的地方在于集合的求解。集合要注意的情況，而不能默認(rèn)為二次不等式，集合涉及解集與不等式恒成立問題之間的轉(zhuǎn)化。在集合進(jìn)行交并運(yùn)算時(shí)，數(shù)軸將成為一個(gè)非常直觀的工具，作圖時(shí)要注意端點(diǎn)值的開閉。例4：已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為思路：先解出的解集，意味著有公共部分，利用數(shù)軸可標(biāo)注集合兩端點(diǎn)的位置，進(jìn)而求出的范圍解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，且例5：已知，當(dāng)“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是__________思路：為兩個(gè)不等式的解集，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集?？紤]解出兩個(gè)不等式的解集，然后利用數(shù)軸求出的范圍即可解：由是的真子集可得：答案：小煉有話說：1、熟悉充分必要條件與集合的聯(lián)系：是的充分不必要條件對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集2、處理含參問題時(shí)，秉承“先常數(shù)再參數(shù)”的順序分析，往往可利用所得條件對(duì)參數(shù)范圍加以限制，減少分類討論的情況。例如在本題中，若先處理，則解不等式面臨著分類討論的問題。但先處理之后，結(jié)合數(shù)軸會(huì)發(fā)現(xiàn)只有圖中一種情況符合，減掉了無謂的討論。例6：已知函數(shù)，對(duì)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________思路：任取，則取到值域中的每一個(gè)元素，依題意，存在使得，意味著值域中的每一個(gè)元素都在的值域中，即的值域?yàn)榈闹涤虻淖蛹?，分別求出兩個(gè)函數(shù)值域，再利用子集關(guān)系求出的范圍解：時(shí)，時(shí)，對(duì)于，分三種情況討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，符合題意當(dāng)時(shí)，綜上所述：答案：例7：已知集合，若，則________思路：本題主要考察如何根據(jù)所給條件，在數(shù)軸上標(biāo)好集合的范圍。從而確定出的值，如圖所示：可得，所以答案：例8：設(shè)，，求思路：集合的不等式解集為，集合為一元二次不等式的解集，由題意可知，設(shè)的兩根為，則，在數(shù)軸上作圖并分析后兩個(gè)條件：說明將集合覆蓋數(shù)軸的漏洞堵上了，說明與的公共部分僅有，左側(cè)沒有公共部分，從而的位置只能如此（如圖），可得：，由韋達(dá)定理可得：例9：在上定義運(yùn)算，若關(guān)于的不等式的解集是的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．或D．思路：首先將變?yōu)閭鹘y(tǒng)不等式：，不等式含有參數(shù)，考慮根據(jù)條件對(duì)進(jìn)行分類討論。設(shè)解集為，因?yàn)椋允紫冉饧挚占c非空兩種情況：當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，根據(jù)的取值分類討論計(jì)算出解集后再根據(jù)數(shù)軸求出的范圍即可解：設(shè)解集為當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)：若時(shí)，若時(shí)，綜上所述：答案：D例10：已知，若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.解：所解不等式為，可以考慮兩邊平方后去掉絕對(duì)值，因式分解可得：，由題意中含3個(gè)整數(shù)解可得：解集應(yīng)該為封閉區(qū)間，所以的系數(shù)均大于零，即，另一方面，解集區(qū)間內(nèi)有3個(gè)整數(shù)，從端點(diǎn)作為突破口分析，兩個(gè)端點(diǎn)為，因?yàn)椋?，進(jìn)而結(jié)合數(shù)軸分析可得三個(gè)整數(shù)解為，所以另一個(gè)端點(diǎn)的取值范圍為①，而②，所以只要①②有交集，則可找到符合條件的，結(jié)合數(shù)軸可得：，求出答案：三、近年模擬題題目精選：1、（2016四川高三第一次聯(lián)考）已知集合，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.2、（2014吉林九校二模，1）已知，則（）A.B.C.D.3、（重慶八中半月考，1）設(shè)全集為，集合，則（）A.B.C.D.4、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋瑒t（）A.B.C.D.5、（2014，浙江）已知集合，則（）A.B.C.D.6、（2014，山東）設(shè)集合，則（）A.B.C.D.7、設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________8、已知全集，集合，那么集合（）A.B.C.D.9、若關(guān)于的不等式的解集中整數(shù)恰好有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.習(xí)題答案：1、答案：B解析：若，則符合題意，若，則符合題意，當(dāng)時(shí)，解得：，由可知：，綜上可得：2、答案：D解析：，在數(shù)軸上標(biāo)出的區(qū)域即可得出3、答案：C解析：分別解出中的不等式，，所以4、答案：A解析：的定義域：，的定義域：，所以，5、答案：C解析：解出中不等式：或，所以，則6、答案：D解析：集合為解不等式：，集合為函數(shù)的值域，由可知，所以7、答案：解析：集合為，由可知；當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，結(jié)合數(shù)軸可得：即，綜上可得：的取值范圍是8、答案：C解析：或9、答案：解析：因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于，其中中的，且有，故，不等式的解集為，則一定有1，2，3為所求的整數(shù)解集。所以，解得的范圍為第4煉求函數(shù)的值域作為函數(shù)三要素之一，函數(shù)的值域也是高考中的一個(gè)重要考點(diǎn)，并且值域問題通常會(huì)滲透在各類題目之中，成為解題過程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，當(dāng)需要求函數(shù)的取值范圍時(shí)便可抓住解析式的特點(diǎn)，尋找對(duì)應(yīng)的方法從容解決。一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、求值域的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）分析解析式的特點(diǎn)，并尋找相對(duì)應(yīng)的方法（此為關(guān)鍵步驟）（3）計(jì)算出函數(shù)的值域2、求值域的常用工具：盡管在有些時(shí)候，求值域就像神仙施法念口訣一樣，一種解析式特點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)求值域的方法，只要掌握每種方法并將所求函數(shù)歸好類即可操作，但也要掌握一些常用的思路與工具。（1）函數(shù)的單調(diào)性：決定函數(shù)圖像的形狀，同時(shí)對(duì)函數(shù)的值域起到?jīng)Q定性作用。若為單調(diào)函數(shù)，則在邊界處取得最值（臨界值）。（2）函數(shù)的圖像（數(shù)形結(jié)合）：如果能作出函數(shù)的圖像，那么值域便一目了然（3）換元法：的解析式中可將關(guān)于的表達(dá)式視為一個(gè)整體，通過換元可將函數(shù)解析式化歸為可求值域的形式。（4）最值法：如果函數(shù)在連續(xù)，且可求出的最大最小值，則的值域?yàn)樽ⅲ阂欢ㄔ谶B續(xù)的前提下，才可用最值來解得值域3、常見函數(shù)的值域：在處理常見函數(shù)的值域時(shí)，通?？梢酝ㄟ^數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)圖像將值域解出，熟練處理常見函數(shù)的值域也便于將復(fù)雜的解析式通過變形與換元向常見函數(shù)進(jìn)行化歸。（1）一次函數(shù)（）：一次函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，圖像為一條直線，所以可利用邊界點(diǎn)來確定值域（2）二次函數(shù)（）：二次函數(shù)的圖像為拋物線，通?？蛇M(jìn)行配方確定函數(shù)的對(duì)稱軸，然后利用圖像進(jìn)行求解。（關(guān)鍵點(diǎn)：①拋物線開口方向，②頂點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)）例：解：對(duì)稱軸為：（3）反比例函數(shù)：（1）圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱（2）當(dāng)當(dāng)（4）對(duì)勾函數(shù)：①解析式特點(diǎn)：的系數(shù)為1；注：因?yàn)榇祟惡瘮?shù)的值域與相關(guān)，求的值時(shí)要先保證的系數(shù)為，再去確定的值例：，并不能直接確定，而是先要變形為，再求得②極值點(diǎn)：③極值點(diǎn)坐標(biāo)：④定義域：⑤自然定義域下的值域：（5）函數(shù)：注意與對(duì)勾函數(shù)進(jìn)行對(duì)比①解析式特點(diǎn)：的系數(shù)為1；②函數(shù)的零點(diǎn)：③值域：（5）指數(shù)函數(shù)（）：其函數(shù)圖像分為與兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域，在自然定義域下的值域?yàn)椋?）對(duì)數(shù)函數(shù)（）其函數(shù)圖像分為與兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域，在自然定義域下的值域?yàn)椋?）分式函數(shù)：分式函數(shù)的形式較多，所以在本節(jié)最后會(huì)對(duì)分式函數(shù)值域的求法進(jìn)行詳細(xì)說明（見附）二、典型例題：將介紹求值域的幾種方法，并通過例題進(jìn)行體現(xiàn)1、換元法：將函數(shù)解析式中關(guān)于的部分表達(dá)式視為一個(gè)整體，并用新元代替，將解析式化歸為熟悉的函數(shù)，進(jìn)而解出值域（1）在換元的過程中，因?yàn)樽詈笫且眯略鉀Q值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍（2）換元的作用有兩個(gè)：①通過換元可將函數(shù)解析式簡(jiǎn)化，例如當(dāng)解析式中含有根式時(shí)，通過將根式視為一個(gè)整體，換元后即可“消滅”根式，達(dá)到簡(jiǎn)化解析式的目的②化歸：可將不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為會(huì)求值域的函數(shù)進(jìn)行處理（3）換元的過程本質(zhì)上是對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行重新選擇的過程，在有些函數(shù)解析式中明顯每一項(xiàng)都是與的某個(gè)表達(dá)式有關(guān)，那么自然將這個(gè)表達(dá)式視為研究對(duì)象。（4）換元也是將函數(shù)拆為兩個(gè)函數(shù)復(fù)合的過程。在高中階段，與指對(duì)數(shù)，三角函數(shù)相關(guān)的常見的復(fù)合函數(shù)分為兩種①：此類問題通常以指對(duì)，三角作為主要結(jié)構(gòu)，在求值域時(shí)可先確定的范圍，再求出函數(shù)的范圍②：此類函數(shù)的解析式會(huì)充斥的大量括號(hào)里的項(xiàng)，所以可利用換元將解析式轉(zhuǎn)為的形式，然后求值域即可。當(dāng)然要注意有些解析式中的項(xiàng)不是直接給出，而是可作轉(zhuǎn)化：例如可轉(zhuǎn)化為，從而可確定研究對(duì)象為例1：函數(shù)的值域是（）A.B.C.D.思路：解析式中只含一個(gè)根式，所以可將其視為一個(gè)整體換元，從而將解析式轉(zhuǎn)為二次函數(shù)，求得值域即可。解：的定義域?yàn)榱睿瑒t的值域?yàn)槔?（1）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.（2）函數(shù)的值域?yàn)開_________（3）函數(shù)的值域?yàn)開_________思路：（1）本題可視為的形式，所以可將指數(shù)進(jìn)行換元，從而轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)值域問題：令，則，所以可得（2）如前文所說，，將視為一個(gè)整體令，則可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得值域解：令的值域?yàn)椋?）所求函數(shù)為的形式，所以求得的范圍，再取對(duì)數(shù)即可。對(duì)進(jìn)行變形可得：，從而將視為一個(gè)整體，即可轉(zhuǎn)為反比例函數(shù)，從而求得范圍解：定義域：令答案：（1）B（2）（3）例3：已知函數(shù)，則的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.思路：依題意可知，所以可將視為一個(gè)整體換元，從而將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)值域，但本題要注意的是的定義域，由已知的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋?，解得：，而不是解：的定義域?yàn)?，且，解得：令，則，即的值域?yàn)榇鸢福篊2、數(shù)形結(jié)合：即作出函數(shù)的圖像，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會(huì)考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合（1）分段函數(shù)：盡管分段函數(shù)可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對(duì)于一些便于作圖的分段函數(shù)，數(shù)形結(jié)合也可很方便的計(jì)算值域。（2）的函數(shù)值為多個(gè)函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時(shí)需將多個(gè)函數(shù)作于同一坐標(biāo)系中，然后確定靠下（或靠上）的部分為該函數(shù)的圖像，從而利用圖像求得函數(shù)的值域（3）函數(shù)的解析式具備一定的幾何含義，需作圖并與解析幾何中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合求得值域，如：分式→直線的斜率；被開方數(shù)為平方和的根式→兩點(diǎn)間距離公式例4：（1）設(shè)函數(shù)定義域?yàn)椋瑢?duì)給定正數(shù)，定義函數(shù)則稱函數(shù)為的“孿生函數(shù)”，若給定函數(shù)，則的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.（2）定義為中的最小值，設(shè)，則的最大值是__________思路：（1）根據(jù)“孿生函數(shù)”定義不難發(fā)現(xiàn)其圖像特點(diǎn)，即以為分界線，圖像在下方的圖像不變，在上方的圖像則變?yōu)?，通過作圖即可得到的值域?yàn)椋?）本題若利用的定義將轉(zhuǎn)為分段函數(shù)，則需要對(duì)三個(gè)式子兩兩比較，比較繁瑣，故考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，將三個(gè)解析式的圖像作在同一坐標(biāo)系下，則為三段函數(shù)圖像中靠下的部分，從而通過數(shù)形結(jié)合可得的最大值點(diǎn)為與在第一象限的交點(diǎn)，即，所以答案：（1）A（2）2例5：已知函數(shù)，設(shè)，（其中表示中的較大值，表示中的較小值）記的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，則______________思路：由的定義可想到其圖像特點(diǎn)，即若將的圖像作在同一坐標(biāo)系中，那么為圖像中位于上方的部分，而為圖像中位于下方的部分。對(duì)配方可得：，其中，故的頂點(diǎn)在頂點(diǎn)的上方。由圖像可得：褐色部分為的圖像，紅色部分為的圖像，其值域與的交點(diǎn)有關(guān)，即各自的頂點(diǎn)，所以的值域，的值域。從而答案：例6：（1）函數(shù)的值域?yàn)開_________（2）函數(shù)的值域?yàn)開________思路：（1）函數(shù)為分式，但無法用“變形+換元”的方式進(jìn)行處理，雖然可以用導(dǎo)數(shù)，但求導(dǎo)后需對(duì)分子的符號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步研究。那么換一個(gè)視角，從分式的特點(diǎn)可聯(lián)想到直線的斜率，即是與定點(diǎn)連線的斜率，那么只需在坐標(biāo)系中作出在的圖像與定點(diǎn)，觀察曲線上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率的取值范圍即可解：所求函數(shù)是與定點(diǎn)連線的斜率設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立為增函數(shù)設(shè)曲線上兩點(diǎn)定點(diǎn)（2）思路：，所以可視為點(diǎn)到點(diǎn)距離和的取值范圍。結(jié)合圖形可利用對(duì)稱性求出其最小值，且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)向軸兩側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其距離和趨向無窮大，進(jìn)而得到值域。解：為動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離和，即作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)（等號(hào)成立條件：共線）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)樾捰性捳f：本題在選擇點(diǎn)時(shí)要盡量讓更少的點(diǎn)參與進(jìn)來簡(jiǎn)化問題，所以要抓住兩個(gè)距離共同的特點(diǎn)（例如本題中都抓住含根式中的，所以找到了一個(gè)共同的動(dòng)點(diǎn)）答案：（1）（2）

3、函數(shù)單調(diào)性：如果一個(gè)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則由定義域結(jié)合單調(diào)性（增、減）即可快速求出函數(shù)的值域（1）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法與結(jié)論：①增增增減減減增減若函數(shù)的符號(hào)恒正或恒負(fù)，則減②復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)可拆成，則若的單調(diào)性相同，則單調(diào)遞增；若的單調(diào)性相反，則單調(diào)遞減③利用導(dǎo)數(shù)：設(shè)圖像不含水平線的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則單增；單減（2）在利用單調(diào)性求值域時(shí)，若定義域有一側(cè)趨近于或，則要估計(jì)當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值是向一個(gè)常數(shù)無限接近還是也趨近于或（即函數(shù)圖象是否有水平漸近線），；同樣若的定義域摳去了某點(diǎn)或有一側(cè)取不到邊界，如，則要確定當(dāng)時(shí)，的值是接近與一個(gè)常數(shù)（即臨界值）還是趨向或（即函數(shù)圖象是否有豎直漸近線），這樣可以使得值域更加準(zhǔn)確例7：（1）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.（2）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.（3）函數(shù)的值域?yàn)開_______思路：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，含有雙根式，所以很難依靠傳統(tǒng)的換元解決問題，但的導(dǎo)數(shù)較易分析出單調(diào)性，所以考慮利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，從而求得最值令即解不等式：在單調(diào)減，在單調(diào)遞增的值域?yàn)樾捰性捳f：本題還可以利用換元解決，但利用的是三角換元：觀察到被開方數(shù)的和為常數(shù)，所以想到，從而可設(shè)，由可知，所以原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求的值域，從而有，由可求得。由此題可知：含雙根式的函數(shù)若通過變形可得到被開方數(shù)的和為常數(shù)，則可通過三角換元轉(zhuǎn)為三角函數(shù)值域問題（2）思路：函數(shù)的定義域?yàn)?，從而發(fā)現(xiàn)，所以函數(shù)的解析式為，觀察可得為增函數(shù)，且時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)樾捰性捳f：①本題中函數(shù)的定義域?qū)馕鍪降幕?jiǎn)有極大的促進(jìn)作用。所以在求函數(shù)的值域時(shí)，若發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式較為特殊，則先確定其定義域②本題也可用換元法，設(shè)后即可將函數(shù)轉(zhuǎn)為二次函數(shù)求值域，但不如觀察單調(diào)性求解簡(jiǎn)便。（3）思路：先確定函數(shù)的定義域：，為分式且含有根式，求導(dǎo)則導(dǎo)函數(shù)較為復(fù)雜。觀察分子分母可知：且關(guān)于單減，且關(guān)于單增，即單減，所以為減函數(shù)，由可知的值域?yàn)樾捰性捳f：在函數(shù)單調(diào)性的判斷中有“增+增→增”，那么如果一個(gè)函數(shù)可表示為兩個(gè)函數(shù)的乘法，例如，則當(dāng)均為增（減）函數(shù)，且恒大于0，才能得到為增（減）函數(shù)答案：（1）D（2）B（3）4、方程思想：本方法是從等式的角度觀察函數(shù)，將其視為一個(gè)含參數(shù)的關(guān)于的方程。由函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可知，對(duì)于值域中的任一值，必能在定義域中找到與之對(duì)應(yīng)的。這個(gè)特點(diǎn)反應(yīng)在方程中，即為若在值域中，則關(guān)于的方程在時(shí)只要有一個(gè)根。從而將求值域問題轉(zhuǎn)化為“取何值時(shí)，方程有解”的問題。利用方程的特點(diǎn)即可列出關(guān)于的條件，進(jìn)而解出的范圍即值域例8：（1）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.（2）函數(shù)的值域?yàn)開________思路：（1）觀察分式特點(diǎn)可發(fā)現(xiàn)若將去掉分母后可構(gòu)造為一個(gè)關(guān)于的二次方程（其中為參數(shù)）：，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以的取值要求只是讓方程有解即可，首先?duì)最高次數(shù)系數(shù)是否為0進(jìn)行分類討論：當(dāng)，方程為，無解；當(dāng)時(shí)，二次方程有解的條件為，即得到關(guān)于的不等式，求解即可解：由可得:函數(shù)的定義域?yàn)榈娜≈抵恍枳尫匠逃薪饧纯僧?dāng)時(shí)，不成立，故舍去當(dāng)時(shí)，即：綜上所述：函數(shù)的值域?yàn)樾捰性捳f：①對(duì)于二次分式，若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t可像例8這樣通過方程思想，將值域問題轉(zhuǎn)化為“取何值時(shí)方程有解”，然后利用二次方程根的判定得到關(guān)于的不等式從而求解，這種方法也稱為“判別式法”②若函數(shù)的定義域不是，而是一個(gè)限定區(qū)間（例如），那么如果也想按方程的思想處理，那么要解決的問題轉(zhuǎn)化為：“取何值時(shí)，方程在有根”，對(duì)于二次方程就變?yōu)榱烁植紗栴}，但因?yàn)橹灰匠逃懈托校瑫?huì)按根的個(gè)數(shù)進(jìn)行比較復(fù)雜的分類討論，所以此類問題通常利用分式的變形與換元進(jìn)行解決（詳見附）（2）本題不易將函數(shù)變?yōu)閮H含或的形式，考慮去分母得：則的取值只要讓方程有解即可。觀察左側(cè)式子特點(diǎn)可想到俯角公式，從而得到，可知方程有解的條件為：，解出的范圍即為值域解：的定義域?yàn)榍?，即，其中因?yàn)樵摲匠逃薪庑捰性捳f：本題除了用方程思想，也可用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解決，把分式視為連線斜率的問題，從而將問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與單位圓上點(diǎn)連線斜率的取值范圍。作圖求解即可。本類型運(yùn)用方程思想處理的局限性在于輔角公式與的取值相關(guān)，不過因?yàn)椋跃鼙ＷC只要在中，則必有解。但如果本題對(duì)的范圍有所限制，則用方程的思想不易列出的不等式，所以還是用數(shù)形結(jié)合比較方便答案：（1）D（2）以上為求值域的四種常見方法，與求函數(shù)的理念息息相關(guān)，有些函數(shù)也許有多種解法，或是在求值域的過程中需要多種手段綜合在一起解決。希望你再遇到函數(shù)值域問題時(shí)，能迅速抓住解析式的特點(diǎn)，找到突破口，靈活運(yùn)用各種方法處理問題。例9：已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：本題可視為的復(fù)合函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)椋Y(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知應(yīng)取遍所有的正數(shù)（定義域可不為），即若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t，由二次函數(shù)的圖像可知，當(dāng)時(shí)，可滿足以上要求。所以解得答案：C例10：在計(jì)算機(jī)的算法語(yǔ)言中有一種函數(shù)叫做取整函數(shù)（也稱高斯函數(shù)），表示不超過的最大整數(shù)，例如：，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.思路：按的定義可知，若要求出，則要將確定里面的范圍，所以若求的值域，則要知道的范圍。觀察到為偶函數(shù)，所以只需找到的值域即可，，，即成立，所以為奇函數(shù)，只需確定的范圍即可。對(duì)中的分式進(jìn)行分離常數(shù)可得：，當(dāng)時(shí)，，從而，所以，由。即，可得，再利用偶函數(shù)性質(zhì)可得時(shí)，。當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述：的值域?yàn)榇鸢福築小煉有話說：（1）本題在處理值域時(shí)，函數(shù)奇偶性的運(yùn)用大量簡(jiǎn)化了運(yùn)算。首先判斷出所求函數(shù)為偶函數(shù)，所以關(guān)于軸對(duì)稱的兩部分值域相同，進(jìn)而只需考慮的情況。另外從解析式的特點(diǎn)判斷出為奇函數(shù)，從而只需計(jì)算的范圍，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)推出的范圍。所以在求函數(shù)值域時(shí)，若能通過觀察或簡(jiǎn)單的變形判斷出函數(shù)具備奇偶的性質(zhì)，則解題過程能夠達(dá)到事半功倍的效果。（2）本題在判斷的奇偶性時(shí)，由很難直接看出之間的聯(lián)系，但通過“通分”即可得到，奇偶性立即可見；在求的范圍時(shí)，利用的形式，分式較為復(fù)雜，分子分母均含變量，不易確定其范圍。但通過“分離常數(shù)”得到則非常便于求其范圍。由以上的對(duì)比可知，在判斷奇偶性或者分式的符號(hào)時(shí)，通常一個(gè)大分式較為方便；在求得分式函數(shù)值域時(shí)，往往通過“分離常數(shù)”的手段簡(jiǎn)化分式中的分子，從而便于求得范圍附：分式函數(shù)值域的求法：分式函數(shù)也是高中所學(xué)函數(shù)的一個(gè)重要分支，求解分式函數(shù)的值域也考查了學(xué)生分式變形的能力以及能否將分式化歸為可求值域