考研數(shù)學二分類模擬199

考研數(shù)學二分類模擬199一、選擇題1.

設(shè)y=f(x)是方程y"-2y'+4y=0的一個解，且f(x0)＞0，f'(x0)=0，則函數(shù)f(x)在點x0處______A.取得極大值B.取得極小值C.某（江南博哥）鄰域內(nèi)單調(diào)增加D.某鄰域內(nèi)單調(diào)減少正確答案：A[解析]由f'(x0)=0知，x=x0是函數(shù)y=f(x)的駐點。將x=x0代入方程，得

y"(x0)-2y'(x0)+4y(x0)=0。

考慮到y(tǒng)'(x0)=f'(x0)=0，y"(x0)=f"(x0)，y(x0)=f(x0)＞0，有f"(x0)=-4f(x0)＜0，由極值的第二判定定理知，f(x)在點x0處取得極大值。故選A。

2.

設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f"(x)+[f'(x)]2=x，且f'(0)=0，則______A.f(0)是f(x)的極大值B.f(0)是f(x)的極小值C.(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D.f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點正確答案：C[解析]由于f"(x)=x-[f'(x)]2，該等式右邊可導(dǎo)，故f"(x)可導(dǎo)。在題設(shè)等式兩端對x求導(dǎo)，得

f'''(x)+2f'(x)f"(x)=1。

令x=0，可得f'''(0)=1。又f"(0)=0，由拐點的充分條件可知，(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點。故選C。

3.

設(shè)函數(shù)y=f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則______

A.函數(shù)f(x)有2個極值點，曲線y=f(x)有2個拐點B.函數(shù)f(x)有2個極值點，曲線y=f(x)有3個拐點C.函數(shù)f(x)有3個極值點，曲線y=f(x)有1個拐點D.函數(shù)f(x)有3個極值點，曲線y=f(x)有2個拐點正確答案：B[解析]由圖可知曲線有兩個點的左、右導(dǎo)數(shù)符號不一樣，有三個點左、右導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性不一樣，故有2個極值點，3個拐點。

函數(shù)f(x)的極值點是由f'(x)的符號是否改變來判斷，f(x)的拐點由f"(x)的符號是否改變，即f'(x)的單調(diào)性是否改變來判斷。

4.

函數(shù)f(x)在x=a的某鄰域內(nèi)有定義，且設(shè)則在x=a處______A.f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，且f'(a)≠0B.f(x)取得極大值。C.f(x)取得極小值D.f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在正確答案：B[解析]方法一：利用賦值法求解。取f(x)-f(a)=-(x-a)2，顯然滿足題設(shè)條件，而此時f(x)為一開口向下的拋物線，必在其頂點x=a處取得極大值。故選B。

方法二：根據(jù)題設(shè)可得由極限的存在性可知，故排除選項A、D。再由極限的局部保號性可知，在x=a的某去心鄰域內(nèi)，有從而f(x)-f(a)≤0。由極值的定義可知，f(x)在x=a處取得極大值。

故選B。

5.

已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1-δ，1+δ)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，f'(x)嚴格單調(diào)減少，且f(1)=f'(1)=1，則______A.在(1-δ，1)和(1，1+δ)內(nèi)均有f(x)＜xB.在(1-δ，1)和(1，1+δ)內(nèi)均有f(x)＞xC.在(1-δ，1)內(nèi)，f(x)＜x，在(1，1+δ)內(nèi)，f(x)＞xD.在(1-δ，1)內(nèi)，f(x)＞x，在(1，1+δ)內(nèi)，f(x)＜x正確答案：A[解析]方法一：令F(x)=f(x)-x，則

F'(x)=f'(x)-1=f'(x)-f'(1)。

由于f'(x)嚴格單調(diào)減少，因此當x∈(1-δ，1)時，f'(x)＞f'(1)，則

F'(x)=f'(x)-f'(1)＞0；

當x∈(1，1+δ)時，f'(x)＜f'(1)，則

F'(x)=f'(x)-f'(1)＜0，

且在x=1處F'(1)=f'(1)-f'(1)=0，根據(jù)判定極值的第一充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，且在x0的某去心δ鄰域內(nèi)可導(dǎo)，若x∈(x0-δ，x0)時，f'(x)＞0，而x∈(x0，x0+δ)時，f'(x)＜0，則f(x)在x0處取得極大值，知F(x)在x=1處取極大值，即在(1-δ，1)和(1，1+δ)內(nèi)均有F(x)＜F(1)=0，即f(x)＜x，故選A。

方法二：排除法，取則

f'(x)=-2(x-1)+1=-2x+3，f"(x)=-2＜0，

所以滿足題設(shè)在區(qū)間(1-δ，1+δ)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，f'(x)嚴格單調(diào)減少，且f(1)=f'(1)=1，當x＜1時或x＞1時，均有

因此可以排除B、C、D三項，故選A。

6.

已知f(x)在x=0的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)=0，則在點x=0處f(x)______A.不可導(dǎo)B.可導(dǎo)且f'(0)≠0C.取得極大值D.取得極小值正確答案：D[解析]因為當x→0時，故極限條件等價于從而可取f(x)=x2，顯然滿足題設(shè)條件，而f(x)=x2在x=0處取得極小值。故選D。

7.

設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f'(0)=0，則______A.f(0)是f(x)的極大值B.f(0)是f(x)的極小值C.(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D.f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點正確答案：B[解析]根據(jù)極限的保號性，由可知，存在x=0的某鄰域，使對任意x∈，都有即f"(x)＞0。從而函數(shù)f'(x)在該鄰域內(nèi)單調(diào)增加。

于是當x＜0時，有f'(x)＜f'(0)=0；當x＞0時，f'(x)＞f'(0)=0，由極值的第一充分條件可知，f(x)在x=0處取得極小值。故選B。

8.

設(shè)f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，f'(a)f'(b)＜0，則至少存在一點x0∈(a，b)，使得______

A．f(x0)＞f(a)

B．f(x0)＞f(b)

C．f'(x0)=0

D．正確答案：C[解析]根據(jù)題意，不妨設(shè)f'(a)＜0，f'(b)＞0。

由可知，存在x=a的右鄰域滿足時，f(x1)＜f(a)f(a)不是f(x)在[a，b]上的最小值。同理可證f(b)也不是f(x)在[a，b]上的最小值。所以f(x)在[a，b]上的最小值點x=x0∈(a，b)，由極值的必要條件知，f'(x0)=0。故選C。

9.

曲線漸近線的條數(shù)為______A.0B.1C.2D.3正確答案：D[解析]因為

所以y=0是曲線的水平漸近線；

因為

所以x=0是曲線的垂直漸近線；

又因為

而且

所以y=x是曲線的斜漸近線。故選D。

10.

曲線______A.既有垂直漸近線又有水平漸近線與斜漸近線B.僅有垂直漸近線C.只有垂直漸近線與水平漸近線D.只有垂直漸近線與斜漸近線正確答案：A[解析]函數(shù)y的定義域為(-∞，-3)∪[0，+∞)，且只有間斷點x=-3，又所以x=-3是曲線的垂直漸近線。

x＞0時，有

則是曲線的水平漸近線(x→+∞)。

x＜-3時，有

于是

因此是曲線的斜漸近線(x→-∞)。故選A。

11.

若f"(x)不變號，且曲線y=f(x)在點(1，1)處的曲率圓為x2+y2=2，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)______A.有極值點，無零點B.無極值點，有零點C.有極值點，有零點D.無極值點，無零點正確答案：B[解析]根據(jù)題意，f(x)是一個凸函數(shù)，因此f"(x)＜0，在點(1，1)處的曲率而f'(1)=-1，由此可得，f"(1)=-2。在閉區(qū)間[1，2]上，f'(x)≤f'(1)=-1＜0，即f(x)單調(diào)減少，沒有極值點。

由拉格朗日中值定理，對于f(2)-f(1)=f'(ζ)＜-1，ζ∈(1，2)，則f(2)＜0，f(1)=1＞0。

由零點定理知，在[1，2]上，f(x)有零點。故選B。

曲線y=f(x)的曲率，曲率半徑。曲率圓是和曲線相切，以曲率半徑為半徑，且圓心在曲線凹向一側(cè)的圓。

二、填空題1.

若曲線y=x3+ax2+bx+1有拐點(-1，0)，則b=______。正確答案：3[解析]根據(jù)題意

y'=3x2+2ax+b，y"=6x+2a。

令y"=0，得所以a=3。

又因為曲線過點(-1，0)，代入曲線方程，得b=3。

2.

曲線的拐點坐標為______。正確答案：(-1，-6)[解析]由題設(shè)，則有

x=-1時，y"=0；x=0時，y"不存在。在x=-1左右兩側(cè)的微小鄰域內(nèi)，y"異號，在x=0左右兩側(cè)的微小鄰域內(nèi)，y"＞0，且y(-1)=-6。故曲線的拐點為(-1，-6)。

3.

函數(shù)y=x2x在區(qū)間(0，1]上的最小值為______。正確答案：[解析]因為y'=x2x(2lnx+2)，令y'=0得駐點為

當時，y'(x)＜0；當時，y'(x)＞0。故y在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。故為y=x2x的極小值點，此時

而且

y(1)=1，

因此y=x2x在區(qū)間(0，1]上的最小值為

4.

函數(shù)f(x)=|4x3-18x2+27|在區(qū)間[0，2]上的最小值為______，最大值為______。正確答案：0；27[解析]令φ(x)=4x3-18x2+27，則

所以φ(x)在[0，2]單調(diào)遞減，φ(0)=27，φ(2)=-13，利用介值定理知，存在唯一x0∈(0，2)，φ(x0)=0。且

f(0)=27，f(x0)=0，f(2)=13。

因此，f(x)在[0，2]上的最小值為0，最大值為27。

5.

曲線的水平漸近線方程為______。正確答案：[解析]直接利用曲線的水平漸近線的定義求解。

由于

因此曲線的水平漸近線為

6.

曲線的斜漸近線方程為______。正確答案：[解析]設(shè)所求斜漸近線為y=ax+b，因為

故所求斜漸近線方程為

7.

曲線的斜漸近線方程為______。正確答案：[解析]設(shè)所求斜漸近線方程為y=ax+b。因為

故所求斜漸近線方程為

8.

曲線的過原點的切線為______。正確答案：x+25y=0與x+y=0[解析]顯然原點(0，0)不在曲線上，需首先求出切點坐標。

設(shè)切點為則

因此切線方程為

把(0，0)代入上式，得x0=-3或x0=-15。

則斜率分別為

所以切線方程為x+25y=0與x+y=0。

9.

設(shè)y=y(x)由參數(shù)方程確定，則=______，y=y(x)在任意點處的曲率K=______。正確答案：[解析]由參數(shù)方程求導(dǎo)法則，

因此，y=y(x)的曲率

10.

曲線xy=1在點D(1，1)處的曲率圓方程是______。正確答案：(x-2)2+(y-2)2=2[解析]由題干可知，

則y'|x=1=-1，y"|x=1=2。

那么D點處的曲率

則曲率圓的半徑

由曲率圓的定義可知，圓心位于點D(1，1)所在的法線y=x上，其圖形如圖所示，圓心坐標為(2，2)。

因此，所求方程為(x-2)2+(y-2)2=2。

11.

曲線y=x2+x(x＜0)上曲率為的點的坐標是______。正確答案：(-1，0)[解析]將y'=2x+1，y"=2代入曲率計算公式，有

整理得(2x+1)2=1，解得x=0或-1。又x＜0，所以x=-1，此時y=0，故該點坐標為(-1，0)。

三、解答題1.

證明當0＜a＜b＜π時，bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa。正確答案：證明：令f(x)=xsinx+2cosx+πx，需證0＜a＜x＜π時，f(x)是單調(diào)增加的。

f'(x)=sinx+xcosx-2sinx+π=xcosx-sinx+π，

f"(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx＜0，

所以f'(x)嚴格單調(diào)遞減。

又

f'(π)=πcosπ+π=0，

故0＜a＜x＜π時，f(x)的一階導(dǎo)數(shù)大于零，從而函數(shù)單調(diào)增加，根據(jù)b＞a可得，f(b)＞f(a)，

即可得

bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa。

2.

證明-1＜x＜1。正確答案：證明：令可得

當0＜x＜1時，有所以

故f'(x)≥0，而f(0)=0，即得

所以

當-1＜x＜0時，有所以

故f'(x)≤0，所以當1≤x≤0時，f(x)≥f(0)，即得

可知

[解析]函數(shù)不等式證明的基本思路：假設(shè)要證明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，首先令F(x)=f(x)-g(x)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，找到函數(shù)最小值的位置，說明該最小值大于或等于零即可。計算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，由于需要討論導(dǎo)函數(shù)的符號，很多時候需要進一步計算二階導(dǎo)數(shù)輔助討論。

3.

已知常數(shù)k≥ln2-1，證明：(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)≥0。正確答案：證明：若要證明(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)≥0成立，則當0＜x＜1時，僅需證x-ln2x+2klnx-1≤0；當x≥1時，僅需證x-ln2x+2klnx-1≥0。

令F(x)=x-ln2x+2klnx-1，則

當0＜x＜1時，易知F'(x)＞0，從而F(x)在(0，1)上單調(diào)遞增。因此，當0＜x＜1時，有F(x)＜F(1)=0，得證。

當x≥1時，令g(x)=x-2lnx+2k，則。易知，當1＜x＜2時，g'(x)＜0；當x＞2時，g'(x)＞0。從而g(x)在(1，+∞)上的最小值在x=2處取到，且g(2)≥0。因此，當x∈(1，+∞)時，g(x)≥0，則，且僅在點x=2處可能有F'(x)=0。從而，當x∈(1，+∞)時，有F(x)＞F(1)=0，即x-ln2x+2klnx-1≥0。

綜上所述，對任意的x∈(0，+∞)，均有(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)≥0。[解析]證明函數(shù)f(x)≥0，x∈[a，b]的基本思路：計算f(x)在兩個端點處的函數(shù)值，如果f(a)=0，則證明f(x)單調(diào)遞增，即證明f'(x)＞0，如果f(b)=0，則證明f(x)單調(diào)遞減，即證明f'(x)＜0。

4.

設(shè)0＜x＜1，證明正確答案：證明：在兩邊同時取對數(shù)得今F(x)=則F(1)=0。原命題等價于當0＜x＜1時，F(xiàn)(x)＜0恒成立。

對F(x)求導(dǎo)，得

則F'(1)=0，

記則φ(0)=0，

當0＜x＜1時，φ(x)＜φ(0)=0，即F"(x)＜0，于是F'(x)＞F'(1)=0，從而有F(x)＜F(1)=0。

命題得證。

5.

設(shè)e＜a＜b＜e2，證明：正確答案：證明：方法一：對函數(shù)ln2x在[a，b]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得

設(shè)當t＞e時，φ'(t)＜0，所以φ(t)單調(diào)減少，從而φ(ξ)＞φ(e2)，即故

方法二：設(shè)則

因此當x＞e時，φ"(x)＜0，故φ'(x)單調(diào)減少，從而當e＜x＜e2時，φ'(x)＞φ'(e2)=，即當e＜x＜e2時，φ(x)單調(diào)增加。

因此當e＜a＜b＜e2時，φ(b)＞φ(a)，即故

6.

試確定方程x=aex(a＞0)實根的個數(shù)。正確答案：解：將已知方程變形為xe-x-a=0，令f(x)=xe-x-a，x＞0，則

f'(x)=e-x-xe-x=(1-x)e-x，

由f'(x)=0，解得x=1，因此

當x∈(0，1)時，f'(x)＞0，即f(x)單調(diào)遞增；

當x∈(1，+∞)時，f'(x)＜0，即f(x)單調(diào)遞減。

所以x=1是f(x)的最大值，且

又因為f(0)=-a＜0，所以：

①當時，f(1)＞0，原方程有兩個實根；

②當時，f(1)=0，原方程只有一個實根；

③當時，f(1)＜0，原方程無實根。

7.

討論曲線y=4lnx+k與y=4x+ln4x的交點個數(shù)。正確答案：解：曲線y=4lnx+k與y=4x+ln4x，的交點個數(shù)等價于方程

φ(x)=ln4x-4lnx+4x-k

在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)的零點個