考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬235

考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬235解答題1.

設(shè)f(x)在[a，b]上具有三階導(dǎo)數(shù)，試證：，使得

正確答案：證1：待定系數(shù)法．設(shè)k為使下式成立的實(shí)數(shù)

這時(shí)，問(wèn)題歸結(jié)為證明：，使得

k=f"'(c)③

為此，令

由④②兩式得

g(a)=g(b)=0

根據(jù)羅爾中值定理，，使得g'(ξ)=0，即

這是關(guān)于k的方程，將f'(ξ)在點(diǎn)處利用泰勒定理展開(kāi)可得

其中c∈(a，b)，比較⑤⑥可得式③．證畢．

證2：利用泰勒定理，將f(a)，f(b)在點(diǎn)處展開(kāi)可得

其中．

則⑧-⑦可得

即

由于f(x)在[ξ1，ξ2]具有三階導(dǎo)數(shù)，則由導(dǎo)數(shù)的介值性定理(達(dá)布定理)，存在c∈[ξ1，ξ2]使得

即，使得

[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

2.

求．正確答案：解：記，則

所以，故，從而，于是原極限等于．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

3.

在曲面x2+y2+z2=1上求點(diǎn)p0(x0，y0，z0)，且x0≥0，y0≥0，z0≥0使該點(diǎn)處曲面的切平面與三坐標(biāo)面圍成的四面體的體積最小．正確答案：解：過(guò)點(diǎn)(x0，y0，z0)的切平面方程為

x0(x-x0)+y0(y-y0)+z0(z-z0)=0

即x0x+y0y+z0z=1，此平面與三坐標(biāo)軸截距為，因此四面體的體積．

原問(wèn)題化為求V在限制條件下的極小值點(diǎn)．

作拉格朗日函數(shù)

令L'x0=L'y0=L'z0=L'λ=0，得

解得，故，且最小體積為．[考點(diǎn)]多元函數(shù)微分學(xué)

4.

設(shè)，B是三階非零矩陣，滿(mǎn)足AB=0，求t.正確答案：解：由AB=0，得r(A)+r(B)≤3，而r(B)≥1，所以r(A)≤2．由于，即矩陣A存在一個(gè)非零的二階子式，因此r(A)≥2，于是r(A)=2．

由

故得t=1．

注設(shè)A，B分別是s×n，n×m階矩陣，若AB=0，則r(A)+r(B)≤n．

這個(gè)結(jié)論是?？汲Ｓ玫慕Y(jié)論，請(qǐng)讀者牢記![考點(diǎn)]矩陣

5.

設(shè)，求．正確答案：解：由于A(yíng)*A=|A|E=2E，令A(yù)=(α1，α2，α3)，即A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以，于是

[考點(diǎn)]矩陣

6.

設(shè)，g(x)=sinx，討論f[g(x)]的連續(xù)性．正確答案：解：當(dāng)2kπ≤x≤(2k+1)π時(shí)，sinx≥0；

當(dāng)(2k+1)π＜x<(2k+2)π時(shí)，sinx＜0．

所以

因此f[g(x)]在點(diǎn)x=kπ(k∈Z)處都不連續(xù)，在其他點(diǎn)處都連續(xù)．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

7.

設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)=0．在(0，1)內(nèi)，有|f'(x)|≤f(x)．證明：f(x)≡0．正確答案：證明：當(dāng)時(shí)，存在ξ1∈(0，x)，有f(x)-f(0)=f'(ξ1)x，，同理有ξ2∈(0，ξ1)，使．

從而有．由于f(x)在[0，1]上連續(xù)，故有界，所以，故f(x)≡0，．

當(dāng)時(shí)，在上用拉格朗日中值定理，存在，使得，而由上知，所以

同理有ξ2∈(0，ξ1)，使，以下證明過(guò)程同時(shí)的討論(請(qǐng)讀者自行完成)．

綜上，在(0．1)中，f(x)≡0[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

8.

證明：當(dāng)x＞0，t≤x時(shí)

正確答案：證明：當(dāng)t=0或t=x時(shí)，不等式顯然成立．只需證明x＞0，t＜x，t≠0的情況．為此，只需證明x趨于+∞時(shí)，單調(diào)遞增且趨于e-t即可．事實(shí)上，先證明f(x)單調(diào)遞增．當(dāng)x＞0，t≠0，t＜x時(shí)，令，則

其中

則顯然[lnf(x)]'≥0，即，從而f'(x)≥0，于是f(x)單調(diào)遞增

證畢．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

求下列極限：9.

；正確答案：解：因?yàn)椋?/p>

于是原極限等于．[考點(diǎn)]極限、連續(xù)及其應(yīng)用

10.

．正確答案：解：因?yàn)?，以及，所以根?jù)極限的夾逼準(zhǔn)則得．[考點(diǎn)]極限、連續(xù)及其應(yīng)用

11.

求．正確答案：解：，即In=nIn-1，利用遞推公式及，得In=n(n-1)…2·1I0=n!．[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分

12.

計(jì)算n階行列式

正確答案：解：加邊法．將Dn增加一行、一列構(gòu)成Dn+1，如下

對(duì)行列式Dn+1的第1行乘以-xi分別加到第i+1行(i=1，2，…，n)，得

再將第i列乘以xi-1(i=2，3，…，n+1)加到第1列，得

[考點(diǎn)]行列式

13.

計(jì)算．正確答案：解1：令t=cosx，則dt=-sinxdx

解2：令，則

[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

14.

如圖所示，為阿基米德螺線(xiàn)r=aθ(a＞0，θ≥0)，圖中S1，S2，…分別表示螺線(xiàn)每相鄰兩卷之間的面積．證明：S1，S2，…成等差數(shù)列．

正確答案：證明：根據(jù)極坐標(biāo)形式下的面積計(jì)算公式，先求出

注意到

S1=A1-A0，S2=A2-A1，…

故得

由此可見(jiàn)S1，S2，…成等差數(shù)列，公差為8a2π3．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

15.

將e2x-x2展開(kāi)到含x5的項(xiàng)．正確答案：解：[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

16.

證明：r(AB)≤r(B)．正確答案：證明：不妨設(shè)A為m×n階矩陣，B為n×s階矩陣，故AB為m×s階矩陣，將B，AB按行向量分塊為，于是

即

γi=ai1β1+ai2β2+…+ainβn

(i=1，2，…，m)

所以AB的行向量γi(i=1，2，…，m)均可由B的行向量線(xiàn)性表出，故r(AB)≤r(B)．[考點(diǎn)]向量

17.

設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所確定，求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)方程．正確答案：解：方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，即，故f'(1)=1，所以曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)方程為y-1=1·(x-1)，即x-y=0．[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

18.

計(jì)算，其中D={(x，y)||x|+|y|≤1}．正確答案：解：記

D1=D∩{(x，y)|x≥0}

D2=D∩{(x，y)|x≤0}

則D1，D2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．設(shè)f(x，y)=xy2e|x|．因?yàn)閒(-x，y)=-f(x，y)，所以．[考點(diǎn)]多元函數(shù)微積分

[解析]當(dāng)積分區(qū)域及被積函數(shù)具有某種對(duì)稱(chēng)性時(shí)，可以簡(jiǎn)化積分計(jì)算．

19.

證明：當(dāng)時(shí)，3arccosx-arccos(3x-4x3)=π．正確答案：證明：當(dāng)時(shí)，由于

故有

其中C為常數(shù)．令x=0，代入上式，即可求出C=π．于是

由于上述左端函數(shù)在處左連續(xù)，在處右連續(xù)，分別取極限即知上式當(dāng)時(shí)也成立，于是

[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

設(shè)向量α1=(a，1，1)T，α2=(1，a，1)T，α3=(1，1，a)T，β=(0，3，a-1)T，試求：20.

a取何值時(shí)，β不能由向量組α1，α2，α3線(xiàn)性表出；正確答案：解：根據(jù)向量組的線(xiàn)性表出與線(xiàn)性方程組的關(guān)系可知，向量β不能由向量線(xiàn)性表出、表示式唯一、表示式不唯一的充分必要條件分別是非齊次線(xiàn)性方程組

x1α1+x2α2+x3α3=β

或

Ax=β

無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解，其中A=(α1，α2，α3)．又因?yàn)?/p>

當(dāng)a=1時(shí)，r(A)=1，r(A，β)=2，方程組Ax=β無(wú)解，即β不能由向量組α1，α2，α3線(xiàn)性表出；[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

21.

a取何值時(shí)，β可由向量組α1，α2，α3線(xiàn)性表出，且表示式唯一；正確答案：當(dāng)a≠1且a≠-2時(shí)，r(A)=r(A，β)=3，方程組有唯一解，即β可由向量組α1，α2，α3線(xiàn)性表出，且表示式唯一；[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

22.

a取何值時(shí)，β可由向量組α1，α2，α3線(xiàn)性表出，但表示式不唯一，并寫(xiě)出該表示式．正確答案：當(dāng)a=-2時(shí)，r(A)=r(A，β)=2＜3，方程組有無(wú)窮多解，即β可由向量組α1，α2，α3線(xiàn)性表出，但表示式不唯一．此時(shí)

由此方程的解為

令x3=C，C∈R，得

x1=-1+C，x2=-2+C

則

β=(-1+C)α1+(-2+C)α2+Cα3[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

23.

設(shè)0＜α＜1，x，y≥0，證明

xαy1-α≤αx+(1-α)y

①正確答案：證明：當(dāng)y=0時(shí)，題目中式①顯然成立．

當(dāng)y＞0時(shí)，式①可改為

令

f(t)=αt+(1-α)-tα(t≥0)③

則

解f'(t)=0，得駐點(diǎn)t=1．