考研數(shù)學(xué)二分類模擬題43

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題43解答題1.

求的間斷點(diǎn)并判斷其類型．正確答案：[解]f(x)的間斷點(diǎn)為x=0，-1，-2，…及x=1．

當(dāng)x=0時(shí)，則x=0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)．

當(dāng)x=-1時(shí)，，則x=-1為f(x)的第一類間斷點(diǎn)中的可去間斷點(diǎn)．

當(dāng)x=k(k=-2，-3，…)時(shí)，，則x=k(k=-2，-3，…)為函數(shù)f(x)的第二類間斷點(diǎn)．

當(dāng)x=1時(shí)，因?yàn)椴淮嬖冢詘=1為f(x)的第二類間斷點(diǎn)．

2.

設(shè)，求f(x)的間斷點(diǎn)并指出其類型．正確答案：[解]首先

其次f(x)的間斷點(diǎn)為x=kπ(k=0，±1，…)，因?yàn)椋詘=0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)中的可去間斷點(diǎn)，x=kπ(k=±1，…)為函數(shù)f(x)的第二類間斷點(diǎn)．

3.

求函數(shù)的反函數(shù)．正確答案：[解]令

因?yàn)?/p>

所以函數(shù)為奇函數(shù)，于是

即解得

即函數(shù)的反函數(shù)為x=shy．

4.

求極限正確答案：[解]

5.

求極限正確答案：[解]

當(dāng)x→0時(shí)，

則

6.

證明：正確答案：[證明]當(dāng)x∈[1，2]時(shí)有，則

當(dāng)x∈[2，3]時(shí)有，則

……

當(dāng)x∈[n，n+1]時(shí)有，則

從而有

又當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，，則

當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，，則，

……

當(dāng)x∈[n-1，n]時(shí)，，則

從而有

故，于是

由夾逼定理得

7.

設(shè)f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+…+anln(1+nx)，其中α1，α2，…，αn為常數(shù)，且對(duì)一切x有|f(x)|≤|ex-1|．證明：|a1+2a2+…nan|≤1．正確答案：[證明]當(dāng)x≠0時(shí)，由|f(x)|≤|ex-1|得

而

=a1+2a2+…+nan，

且，根據(jù)極限保號(hào)性得|a1+2a2+…+nan|≤1．

8.

求極限正確答案：[解]由，得

而

由夾逼定理得

9.

設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)且，對(duì)任意的x0，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，證明：存在且滿足方程f(x)=x．正確答案：[證明]xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=f'(ξn)(xn-xn-1)，因?yàn)閒'(x)≥0，所以xn+1-xn與xn-xn-1同號(hào)，故{xn}單調(diào)．

即{xn}有界，于是存在，

根據(jù)f(x)的可導(dǎo)性得f(x)處處連續(xù)。等式xn+1=f(xn)兩邊令n→∞，得，原命題得證．

10.

設(shè)f(x)在[a，+∞)上連續(xù)，且存在．證明：f(x)在[a，+∞)上有界．正確答案：[證明]設(shè)，取ε0=1，根據(jù)極限的定義，存在X0＞0，當(dāng)x＞X0時(shí)，|f(x)-A|＜1，從而有|f(x)|＜|A|+1．

又因?yàn)閒(x)在[a，X0]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界的性質(zhì)，存在k＞0，當(dāng)x∈[a，X0]，有|f(x)|≤k．

取M=max{|A|+1，k}，對(duì)一切的x∈[a，+∞)，有|f(x)|＜M．

11.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，任取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取ki＞0(i=1，2，…，n)，證明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．正確答案：[證明]因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，顯然有m≤f(xi)≤M(i=1，2，…，n)，

注意到ki＞0(i=1，2，…，n)，所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i=1，2，…，n)，同向不等式相加，得

(k1+k2+…+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)≤(k1+k2+…+kn)M，

即

由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得

即k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．

12.

求正確答案：[解]

因?yàn)?/p>

所以

13.

設(shè)，求n，c的值．正確答案：[解]由

得，故n=3，

14.

已知，求a，b的值．正確答案：[解]由得

于是由得

解得或

15.

設(shè)，求a，b的值．正確答案：[解]

由得x→0時(shí)，

于是，故a=1，b=-2．

16.

確定a，b，使得x-(a+bcosx)sinx當(dāng)x→0時(shí)為階數(shù)盡可能高的無窮?。_答案：[解]令y=x-(a+bcosx)sinx，

y'=1+bsin2x-(a+bcosx)cosx，

顯然y(0)=0，y"(0)=0，

所以令得解得

故當(dāng)時(shí)，x-(a+bcosx)sinx為階數(shù)盡可能高的無窮小．

17.

設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，，求正確答案：[解]由

x→0時(shí)，得

18.

求正確答案：[解]

因?yàn)?/p>

19.

，求f(x)的間斷點(diǎn)并分類．正確答案：[解]x=k(k=0，-1，-2，…)及x=1為f(x)的間斷點(diǎn)．

因?yàn)?/p>