考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬題53

考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬題53一、填空題1.

設(shè)f(u)連續(xù)，則正確答案：-xf(x2-1)[解]

則

2.

設(shè)正確答案：2[解]

3.

設(shè)f(x)連續(xù)，則正確答案：[解]

4.

設(shè)f(x，y)在區(qū)域D：x2+y2≤t2上連續(xù)且f(0，)=4，則正確答案：8π[解]由當(dāng)t→0時(shí)，

由積分中值定理得

于是

5.

設(shè)而D表示整個(gè)平面，則

正確答案：a2[解]由

得

6.

設(shè)正確答案：[解]在D1={(x，y)|-∞＜x＜+∞，0≤y≤1}上，f(y)=y；

在D2：0≤x+y≤1上，f(x+y)=x+y，

則在D0=D1∩D2={(x，y)|-y≤x≤1-y，0≤y≤1}上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，

所以

二、選擇題1.

累次積分等于______.

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解]積分所對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)平面的區(qū)域?yàn)檫xD．

2.

設(shè)D={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤π}，則等于______

A．π

B．

C．

D．正確答案：B[解]根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，令D1={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤x}，

選B．

3.

設(shè)其中D：x2+y2≤a2，則a值為_(kāi)_____.

A．1

B．2

C．

D．正確答案：B[解]令

由

解得a=2，選B．

三、解答題1.

計(jì)算正確答案：[解]令

2.

已知，設(shè)D為由x=、y=0及x+y=t所圍成的區(qū)域，求正確答案：[解]當(dāng)t＜0時(shí)，F(xiàn)(t)=0；

當(dāng)0≤t＜1時(shí)，

當(dāng)1≤t＜2時(shí)，

當(dāng)t≥2時(shí)，F(xiàn)(t)=1，則

3.

設(shè)f(x)連續(xù)，且f(0)=1，令正確答案：[解]令

由

得F'(t)=2πtf(t2)，F(xiàn)'(0)=0，

4.

計(jì)算二重積分正確答案：[解]

令

于是

5.

計(jì)算其中D={(x，y)|x2+y2≤4，x2+y2≥2x}.正確答案：[解]

令

而

所以

6.

計(jì)算正確答案：[解]D：x2+y2≤2x+2y-1可化為D：(x-1)2+(y-1)2≤1，

令

則

7.

設(shè)正確答案：[解]令

則

8.

計(jì)算正確答案：[解]令D1={(x，y)|-1≤x≤1，0≤y≤x2}，

D2={(x，y)|-1≤x≤1，x2≤y≤2}，

則

而

故

9.

計(jì)算正確答案：[解]令解得

則

10.

計(jì)算正確答案：[解]將D分成兩部分D1，D2，其中

則

11.

計(jì)算正確答案：[解]令

12.

計(jì)算其中D為單位x2+y2=1所圍成的第一象限的部分.正確答案：[解]令

則

令

因?yàn)?/p>

13.

計(jì)算二重積分，其中D是曲線(xiàn)(x2+y2)2=a2(x2-y2)圍成的區(qū)域.正確答案：[解]根據(jù)對(duì)稱(chēng)性其中D1是D位于第一卦限的區(qū)域．

令

則

故

14.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：正確答案：[證明]令

則

15.

設(shè)f(x，y)，g(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且g(x，y)≥0.證明：存在(ξ，η)∈D，使得

正確答案：[證明]因?yàn)閒(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得

mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y)

積分得

(1)當(dāng)時(shí)，，則對(duì)任意的(ξ，η)∈D，有

(2)當(dāng)時(shí)，

由得

由介值定理，存在(ξ，η)∈D，使得

即

16.

設(shè)f(x)在[0，a](a＞0)上非負(fù)、二階可導(dǎo)，且y=0，x=a圍成區(qū)域的形心，證明：正確答案：[證明]

令

因?yàn)閒"(x)＞0，所以f'(x)單調(diào)增加，所以φ"(x)＞0.由再由原不等式得證．

17.

設(shè)函數(shù)f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D為區(qū)域a≤x≤b，a≤y≤b.

證明：正確答案：[證明]因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，

所以

又因?yàn)閒(x)＞0，所以從而

18.

設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，計(jì)算其中D是由y=x3，y=1，x=-1圍成的區(qū)域.正確答案：[解]設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為F(x)，則

19.

交換積分次序并計(jì)算正確答案：[解]

而

于是

20.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且單調(diào)減少，且f(x)＞0.證明：正確答案：[證明]等價(jià)于等價(jià)于或者

令

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，

因?yàn)閒(x)＞0且單調(diào)減少，所以(y-x)[f(x)-f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以

21.

證明：用二重積分證明正確答案：[證明]令D1={(x，y)|x2+y2≤R2，x≥0，y≥0)，

S={(x，y)|0≤x≤R，0≤y≤R}，