考研數(shù)學(xué)二分類模擬題55

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題55解答題1.

位于上半平面的上凹曲線y=y(x)過點(0，2)，在該點處的切線水平，曲線上任一點(x，y)處的曲率與及1+y'2之積成反比，比例系數(shù)為求y=y(x).正確答案：[解]根據(jù)題意得

令y'=p，則有

因為p(2)=0，所以C1=0，故

進一步解得

因為y(0)=2，所以C2=0，故曲線方程為

2.

一條曲線經(jīng)過點(2，0)，且在切點與y軸之間的切線長為2，求該曲線.正確答案：[解]曲線在點(x，y)處的切線方程為Y-y=y'(X-x)，

令X=0，則Y=y-xy'，切線與y軸的交點為(0，y-xy')，

由題意得x2+x2y'2=4，解得，變量分離得，積分得

因為曲線經(jīng)過點(2，0)，所以C=0，故曲線為

3.

設(shè)曲線L1與L2皆過點(1，1)，曲線L1在點(x，y)處縱坐標與橫坐標之商的變化率為2，曲線L2在點(x，y)處縱坐標與橫坐標之積的變化率為2，求兩曲線所圍成區(qū)域的面積.正確答案：[解]對曲線L1，由題意得解得y=x(2x+C1)，

因為曲線L1過點(1，1)，所以C1=-1，故L1：y=2x2-x．

對曲線L2，由題意得，解得

因為曲線L2過點(1，1)，所以C2=-1，故

由得兩條曲線的交點為及(1，1)，

故兩條曲線所圍成區(qū)域的面積為

4.

用變量代換x=sint將方程化為y關(guān)于t的方程，并求微分方程的通解.正確答案：[解]

代入原方程得

的通解為y=C1e-2t+C2e2t，

故原方程的通解為y=C1e-2arcsinx+C2e2arcsinx．

5.

用變量代換x=lnt將方程化為y關(guān)于t的方程，并求原方程的通解.正確答案：[解]

代入原方程得

的通解為y=C1cost+C2sint.

故原方程的通解為y=C1cosex+C2sinex．

6.

設(shè)y=y(x)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(x，y)處的曲率為又此曲線上的點(0，1)處的切線方程為y=x+1，求該曲線方程，并求函數(shù)y(x)的極值.正確答案：[解]因為曲線是上凸的，所以y"＜0，由題設(shè)得

令則有

因為曲線y=y(x)在點(0，1)處的切線方程為y=x+1，所以p|x=0=1，從而積分得

因為曲線過點(0，1)，所以

所求曲線為

因為，所以當時函數(shù)取得極大值

飛機以勻速v沿y軸正向飛行，當飛機行至O時被發(fā)現(xiàn)，隨即從x軸上(x0，0)處發(fā)射一枚導(dǎo)彈向飛機飛去(x0＞0)，若導(dǎo)彈方向始終指向飛機，且速度大小為2v.7.

求導(dǎo)彈運行的軌跡滿足的微分方程及初始條件；正確答案：[解]設(shè)t時刻導(dǎo)彈的位置為M(x，y)，根據(jù)題意得

即兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得

又

所以導(dǎo)彈運行軌跡滿足的微分方程及初始條件為

8.

導(dǎo)彈運行方程.正確答案：[解]令則

進一步解得故軌跡方程為

9.

細菌的增長率與總數(shù)成正比.如果培養(yǎng)的細菌總數(shù)在24h內(nèi)由100增長到400，求前12h后的細菌總數(shù).正確答案：[解]設(shè)t時刻細菌總數(shù)為S，則有

所以

10.

某湖泊水量為V，每年排入湖泊中內(nèi)含污染物A的污水量為，流入湖泊內(nèi)不含A的水量為，流出湖的水量為設(shè)1999年底湖中A的含量為5m0，超過國家規(guī)定指標.為了治理污染，從2000年初開始，限定排入湖中含A污水的濃度不超過問至多經(jīng)過多少年，湖中污染物A的含量降到m0以內(nèi)(設(shè)湖中A的濃度是均勻的)?正確答案：[解]設(shè)從2000年初開始，第t年湖中污染物A的總量為m，則濃度為，任取時間元素[t，t+dt]，排入湖中污染物A的含量為流出湖的污染物A的含量為則在此時間元素內(nèi)污染物A的改變量為解得又由m(0)=5m0，得于是令m=m0，得t=6ln3，即至多經(jīng)過7年，湖中污染物A的含量不超過m0．

11.

在t=0時，兩只桶內(nèi)各裝10L的鹽水，鹽的濃度為15g/L，用管子以2L/min的速度將凈水輸入到第一只桶內(nèi)，攪拌均勻后的混合液又由管子以2L/min的速度被輸送到第二只桶內(nèi)，再將混合液攪拌均勻，然后用1L/min的速度輸出.求在任意時刻t＞0，從第二只桶內(nèi)流出的水中含鹽所滿足的微分方程.正確答案：[解]設(shè)在任意時刻t＞0，第一只桶和第二只桶內(nèi)含鹽分別為m1(t)，m2(t)，在時間[t，t+dt]內(nèi)有且滿足初始條件m1(0)=150，

解得；在時間[t，t+dt]內(nèi)有

且滿足初始條件m2(0)=150.

12.

某人的食量是2500卡/天(1卡=4.1868焦)，其中1200卡/天用于基本的新陳代謝.在健身運動中，他所消耗的為16卡/千克/天乘以他的體重.假設(shè)以脂肪形式儲存的熱量百分之百有效，而一千克脂肪含熱量10000卡，求該人體重怎樣隨時間變化.正確答案：[解]輸入率為2500卡/天，輸出率為(1200+16w)，其中w為體重，

根據(jù)題意得

由得代入初始條件得

于是

13.

一條均勻鏈條掛在一個無摩擦的釘子上，鏈條長18m，運動開始時鏈條一邊下垂8m，另一邊下垂10m，問整個鏈條滑過釘子需要多長時間?正確答案：[解]設(shè)鏈條的線密度為ρ，取x軸正向為垂直向下，設(shè)t時刻鏈條下垂x(t)m，則下垂那段的長度為(10+x)m，另一段長度為(8-x)m，此時鏈條受到的重力為

(10+x)ρg-(8-x)ρg=2(x+1)ρg.

鏈條的總重量為18ρ，由牛頓第二定理F=ma得

解得當鏈條滑過整個釘子時，x=8，

由得

14.

質(zhì)量為1g的質(zhì)點受外力作用作直線運動，外力和時間成正比，和質(zhì)點的運動速度成反比，在t=10s時，速度等于50cm/s.外力為39.2cm/s2，問運動開始1min后的速度是多少?正確答案：[解]由題意得因為當t=10時，v=50，F(xiàn)=39.2，所以k=196，從而又因為所以分離變量得vdv=196tdt，所以得C=-8550，

于是

15.

設(shè)非負函數(shù)f(x)當x≥0時連續(xù)可微，且f(0)=1.由y=f(x)，x軸，y軸及過點(x，0)且垂直于z軸的直線圍成的圖形的面積與y=f(x)在[0，x]上弧的長度相等，求f(x).正確答案：[解]根據(jù)題意得

所以分離變量得積分得

或者

由y(0)=1，得C=1，所以解得

16.

設(shè)函數(shù)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=1且有求f(x).正確答案：[解]因為所以可化為

兩邊對x求導(dǎo)得f"(x)+3f'(x)+2f(x)=e-x，

由λ2+3λ+2=0得λ1=-1，λ2=-2，

則方程f"(x)+3f'(x)+2f(x)=0的通解為C1e-x+C2e-2x．

令f"(x)+3f'(x)+2f(x)=e-x的一個特解為y0=axe-x，代入得a=1，

則原方程的通解為f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x．

由f(0)=1，f'(0)=-1得C1=0，C2=1，故原方程的解為f(x)=e-2x+xe-x．

17.

高度為h(t)(t為時間)的雪堆在融化過程中，其側(cè)面滿足已知體積減少的速度與側(cè)面積所成比例系數(shù)為0.9，問高度為130的雪堆全部融化需要多少時間(其中長度單位是cm，時間單位為h)?正確答案：[解]t時刻雪堆體積

側(cè)面積根據(jù)題意得

整理得解得

因為h(0)=130，所以C=130，則，令得t=100，即經(jīng)過100小時全部融化．

18.

早晨開始下雪整天不停，中午一掃雪車開始掃雪，每小時掃雪體積為常數(shù)，到下午2點掃雪2km，到下午4點又掃雪1km，問降雪是什么時候開始的?正確答案：[解]設(shè)單位面積在單位時間內(nèi)降雪量為a，路寬為b，掃雪速度為c，路面上雪層厚度為H(t)，掃雪車前進路程為S(t)，降雪開始時間為T，則

H(t)=a(t-T)，又b×H(t)×Δs=c×Δt，

于是令則且S(12)=0，S(14)=2，S(16)=3，由

19.

設(shè)A從原點出發(fā)，以固定速度v0沿y軸正向行駛，B從(x0，0)出發(fā)(x0＜0)，以始終指向點A的固定速度v1朝A追去，求B的軌跡方程.正確答案：[解]設(shè)t時刻B點的位置為M(x，y)，則即

兩邊對x求導(dǎo)，得代入(**)，得令則

令y'=p，由

兩邊積分，得由y'(x0)=0，得

從而

當k≠1時，

由y(x0)=0，得則B的軌跡方程為

當k=1時，B的軌跡方程為

20.

飛機在機場開始滑行著陸，在著陸時刻已失去垂直速度，水平速度為v0(m/s)，飛機與地面的摩擦系數(shù)為μ，且飛機運動時所受空氣的阻力與速度的平方成正比，在水平