考研數(shù)學(xué)二分類模擬題93

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題93一、填空題1.

正確答案：．[解析]

2.

正確答案：2(e2+1)．[解析]

3.

正確答案：π．[解析]

4.

正確答案：．[解析]令，原式=

一般地(作t=1-x的換元)，于是直接有．對于這種積分按照這樣計算是最簡單的．

5.

正確答案：2．[解析]原式=

其中為奇函數(shù)．

6.

函數(shù)在區(qū)間上的平均值為______．正確答案：．[解析]函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的平均值是指，

故所求的平均值為．

令x=sinθ，則上式等于

7.

正確答案：．[解析]這是對稱區(qū)間上的定積分．一般都可利用積分性質(zhì)而化簡計算，所以

8.

正確答案：1．[解析]

9.

正確答案：．[解析]

10.

正確答案：．[解析]

11.

正確答案：．[解析]令，則x=t2+2，dx=2tdt．當(dāng)x=2時，t=0；當(dāng)x→+∞，t→+∞．所以

原式=

12.

正確答案：．[解析]若令x=sect，則dx=sect·tantdt，于是

也可令，于是

13.

正確答案：．[解析]令x=sint，dx=costdt，則有

14.

反常積分正確答案：．[解析]

15.

已知，則k=______．正確答案：-2．[解析]因為

又因為極限存在，所以k＜0，，因此k=-2．

16.

設(shè)函數(shù)則正確答案：．[解析]

二、選擇題1.

已知函數(shù)則f(x)的一個原函數(shù)是

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]解法1

則C1=-1+C2，令C1=C，則C2=1+C，

令C=0，則

故應(yīng)選D．

解法2

利用變限積分函數(shù)表示一個原函數(shù)．記．

當(dāng)x＜x時，

當(dāng)x≥1時，

故

故應(yīng)選D．

(1)本題考查的是分段函數(shù)的原函數(shù)，關(guān)鍵是分段點的處理，由于原函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù)，故排除選項A，C；

(2)解法2較解法1簡單，讀者應(yīng)學(xué)會利用變限積分函數(shù)來表示一個具體的原函數(shù)，即∫f(x)dx=，對于分段函數(shù)f(x)，a往往取分段點更簡單．

2.

設(shè)m，n均是正整數(shù)，則反常積分的斂散性A.僅與m的取值有關(guān)．B.僅與n的取值有關(guān)．C.與m，n的取值都有關(guān)．D.與m，n的取值都無關(guān)．正確答案：D[解析]

當(dāng)x→0+時，，由于對任意正整數(shù)m，n都有．故積分收斂；

當(dāng)x→1-時，同斂散，且當(dāng)x→1-時，．，則當(dāng)x→1-時，．特殊地，取，當(dāng)x→1-時，成立，此時收斂，則收斂，進而收斂．于是選D．

3.

設(shè)函數(shù)若反常積分收斂，則A.α＜-2．B.α＞2．C.-2＜α＜0．D.0＜α＜2．正確答案：D[解析]考慮積分，當(dāng)α-1≤0，即α≤1時，為普通定積分，積分自然存在；當(dāng)α-1＞0時，為無界函數(shù)的反常積分，且當(dāng)α-1＜1，即α＜2時收斂，當(dāng)α-1≥1，即α≥2時發(fā)散．

無窮區(qū)間上的反常積分

當(dāng)α＞0時，此反常積分收斂，當(dāng)α≤0時，發(fā)散．

由以上分析知，若反常積分收斂，則有0＜α＜2，故選D．

4.

下列反常積分中收斂的是

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]解法1

排除法．易知A，B，C三個反常積分是發(fā)散的．因為

解法2

直接考查D．

因此D是收斂的．

5.

反常積分的斂散性為A.①收斂，②收斂．B.①收斂，②發(fā)散．C.①發(fā)散，②收斂．D.①發(fā)散，②發(fā)散．正確答案：B[解析]，收斂；

，發(fā)散．

B．

三、解答題1.

計算定積分．正確答案：解

令x=sint，有

2.

已知，f'(2)=0及．正確答案：解

設(shè)t=2x，則

被積函數(shù)中出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)f'(x)，f"(x)等時，往往要使用分部積分法．

3.

計算正確答案：解

令，則x=t2，dx=2tdt，于是有

原式=

4.

設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上滿足f(x)=f(x-π)+sinx，且f(x)=x，x∈[0，π)，計算．正確答案：解法1

解法2

x在[π，3π]中有

5.

求．正確答案：解

原式

對于定積分，開平方在不確定正負(fù)的情況下，要加絕對值，本題中

6.

設(shè)正確答案：解

令x-2=t，則原式=

也可以先求出f(x-2)的表達式，然后再去作積分，但不如上面的方法簡單．

7.

求正確答案：解

原式=

8.

計算．正確答案：解

令x2=sint，則x=0時，t=0；x=1時，．

9.

設(shè)．正確答案：解

本題是屬于含變限積分的定積分的問題，處理這類定積分時有兩種方法：一是可以采用分部積分法(取變限積分函數(shù)作為分部積分中的u，如上解答)，二是可以化累次積分為二重積分，然后交換積分次序進行計算，具體表述為

10.

計算正確答案：解法1

原式

解法2

令e-x=sint，則，

原式=

11.

設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)滿足f'(x)=g(x)，g'(x)=2ex-f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求正確答案：解

由f'(x)=g(x)得f"(x)=g'(x)=2ex-f(x)，于是有

解之得f(x)=sinx-cosx+ex．

故

12.

如圖所示，曲線C的方程為y=f(x)，點(3，2)是它的一個拐點，直線l1與l2分別是曲線C在點(0，0)與(3，2)處的切線，其交點為(2，4)．設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算定積分

正確答案：解

被積函數(shù)中有函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考慮使用分部積分法，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及拐點的必要條件等確定出相關(guān)數(shù)值．

13.

求．正確