考研數(shù)學(xué)二模擬392

考研數(shù)學(xué)二模擬392一、選擇題每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.

設(shè)g(x)可微，f(x)=ln2(1+g(x))+2ln(1+g(x))，f'(1)=1，則g(1)=

A．1.

B．0.

C．2.

D．正確答案：B[解析]按題設(shè)

令

即

．選B．

方程x=ln(1+x)有唯一解x=0.

2.

設(shè)[0，4]區(qū)間上y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖，則f(x)

A.在(0，2)單調(diào)上升且為凸的，在(2，4)單調(diào)下降且為凹的．B.在(0，1)，(3，4)單調(diào)下降，在(1，3)單調(diào)上升，在(0，2)是凹的，在(2，4)是凸的．C.在(0，1)，(3，4)單調(diào)下降，在(1，3)單調(diào)上升，在(0，2)是凸的，在(2，4)是凹的．D.在(0，2)單調(diào)上升且是凹的，在(2，4)單調(diào)下降且是凸的．正確答案：B[解析]當(dāng)x∈(0，1)或x∈(3，4)時(shí)，在(0，1)，(3，4)單調(diào)下降；當(dāng)x∈(1，3)時(shí)，在(1，3)單調(diào)上升．又f'(x)在(0，2)單調(diào)上升在(0，2)是凹的；f'(x)在(2，4)單調(diào)下降在(2，4)是凸的．因此，應(yīng)選B．

3.

A．π．

B．

C．

D．正確答案：B[解析一]令

[解析二]

[解析三]令

4.

下列命題中正確的是A.設(shè)(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點(diǎn)，則x=x0不是f(x)的極值點(diǎn)．B.設(shè)x=x0是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x)在x=x0二階可導(dǎo)，則f'(x0)=0，f"(x0)＞0.C.f(x)在(a，b)只有一個(gè)駐點(diǎn)x0，且x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x0)是f(x)在(a，b)的最小值．D.若f'-(b)＜0，則f(b)不是f(x)在[a，b]的最大值．正確答案：D[解析一]由舉例易知A、B、C不正確．

如圖1所示，(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點(diǎn)且x=x0是f(x)的極小值點(diǎn)．A是錯(cuò)的．

極小值點(diǎn)x0處可以有f"(x0)=0.如f(x)=(x-x0)4，x=x0是f(x)的極小值點(diǎn)，f"(x0)=0.B是錯(cuò)誤的．

若f(x)不連續(xù)，命題C不正確，如圖2.

f(x)在(a，b)有唯一駐點(diǎn)x0，是f(x)的極小值點(diǎn)，但f(x0)不是f(x)在(a，b)的最小值．因此，選D．

圖1

圖1

[解析二]由最值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)性質(zhì)可知D正確．因?yàn)?，若f(b)是f(x)在[a，b]的最大值且f'-(b)存在，則

于是當(dāng)f'-(b)＜0時(shí)，f(b)不可能是f(x)在[a，b]的最大值．選D．

①設(shè)f(x)在(a，b)可導(dǎo)，若(x0，f(x0))是f(x)的拐點(diǎn)，則x=x0一定不是f(x)的極值點(diǎn)．

因?yàn)榇藭r(shí)若x=x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f'(x0)=0，由于f'(x)在x=x0兩側(cè)升降性相反，那么f'(x)在x=x0兩側(cè)不變號(hào)，這與x=x0是f(x)的極值點(diǎn)矛盾了，因此x=x0不可能是f(x)的極值點(diǎn)．

②若f(x)在(a，b)連續(xù)，x=x0是f(x)在(a，b)的唯一極值點(diǎn)，則x=x0一定是f(x)在(a，b)的相應(yīng)的最值點(diǎn)．

5.

A.可導(dǎo)的奇函數(shù)．B.連續(xù)，但在x=0不可導(dǎo)的奇函數(shù)．C.可導(dǎo)的偶函數(shù)．D.連續(xù)，但在x=0不可導(dǎo)的偶函數(shù)．正確答案：A[解析]因?yàn)楦淖冇邢迋€(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，則不改變函數(shù)的可積性與積分值，所以

ex2+x2是偶函數(shù)且處處連續(xù)，由變限積分函數(shù)的性質(zhì)知是奇函數(shù)且處處可導(dǎo)．

因此選A．

不是f(x)在含x=0區(qū)間上的原函數(shù)．事實(shí)上，x=0是f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn))，它在含x=0的區(qū)間上不存在原函數(shù)．

6.

設(shè)常數(shù)0＜a＜1，區(qū)域D由x軸，y軸，直線x+y=a以及x+y=1圍成．

記則I，J，K的大小關(guān)系是A.J＜K＜I．B.J＜I＜K．C.I＜J＜K．D.I＜K＜J．正確答案：B[解析]在區(qū)域D上有0＜x+y≤1，于是

ln3(x+y)≤0≤sin2(x+y)≤(x+y)2≤(x+y)，且它們互不恒等，連續(xù)，因此，它們?cè)贒上的積分值滿(mǎn)足

應(yīng)選B．

7.

已知A是3階矩陣且則A.16.B.-16.C.256.D.-256.正確答案：D[解析]由(kA)*=kn-1A*知(2A)*=22A*=4A*，又

有以及A*=|A|A-1得

8.

已知α=(1，-3，2)T，β=(0，1，-1)T，矩陣A=2βαT+7E，則矩陣A的最小特征值的特征向量是A.α．B.β．C.α+β．D.α-β．正確答案：B[解析]B=βαT，則秩r(B)=1.

由αTβ=-5，知矩陣B的特征值是-5，0，0.

那么矩陣A=2B+7E的特征值是-3，7，7.

矩陣B關(guān)于λ=-5的特征向量就是矩陣A關(guān)于λ=-3的特征向量．

而B(niǎo)β=(βαT)β=β(αTβ)=-5β，

所以應(yīng)選B．

二、填空題1.

設(shè)an＞0(n=1，2，3，…)且則正確答案：1[解析]記

其中

2.

已知?jiǎng)tf(x)的連續(xù)性區(qū)間是______．正確答案：(0，+∞)[解析]當(dāng)0＜x≤e時(shí)

當(dāng)x＞e時(shí)

顯然，x∈(0，+∞)，x≠e時(shí)f(x)連續(xù)，又f(x)在x=e左連續(xù)且右連續(xù)，f(x)也在x=e連續(xù)．

因此f(x)的連續(xù)區(qū)間是(0，+∞)．

3.

已知f(x)(x∈[0，+∞))為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且滿(mǎn)足則f(x)=______．正確答案：[解析]注意

于是原方程改寫(xiě)成

先求由及Φ(0)=0，

積分得

最后得

4.

設(shè)u=u(x，y)滿(mǎn)足且u(0，y)=y2+1，則u(x，y)=______．正確答案：[解析]將y看作常量，這是以x為自變量，函數(shù)u=u(x，y)的一階線性微分方程

改寫(xiě)成

兩邊乘e-xy得

對(duì)x積分得

由

因此

5.

設(shè)φ(z)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，1-yφ'(z)≠0，z=z(x，y)由方程x=x+yφ(z)確定，則dz=______．正確答案：[解析一]將方程z=x+yφ(z)兩邊求全微分

dz=dx+d(yφ(z))

dz=dx+φ(z)dy+yφ'(z)dz

移項(xiàng)并解出

[解析二]先求出

方程兩邊分別對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)并注意x，y為自變量，z=z(x，y)，于是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得

解出

同理，方程兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)得

因此

6.

已知A是3階非零矩陣，且矩陣A中各行元素之和均為0，又知AB=O，其中B=，則齊次方程組Ax=0的通解是______．正確答案：k1(1，1，1)T+k2(1，-1，1)T，k1，k2為任意常數(shù)[解析]矩陣A各行元素之和均為0，即

故(1，1，1)T是齊次方程組Ax=0的一個(gè)解．

由AB=O，知，故(1，-1，1)T也是Ax=0的一個(gè)解．

從而Ax=0至少有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，即n-r(A)≥2，亦即r(A)≤1，又因A是非零矩陣，又有r(A)≥1.

故必有r(A)=1，那么齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由n-r(A)=2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量構(gòu)成，所以其通解為：k1(1，1，1)T+k2(1，-1，1)T，k1，k2為任意常數(shù)．

三、解答題15～23小題，共94分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．1.

已知曲線在直角坐標(biāo)系中的參數(shù)方程給出：

(Ⅰ)證明x=tlnt(t∈[1，+∞))存在連續(xù)的反函數(shù)t=t(x)(x∈[0，+∞))且該參數(shù)方程確定連續(xù)函數(shù)y=y(x)，x∈[0，+∞)；

(Ⅱ)求y(x)的單調(diào)性區(qū)間，極值點(diǎn)，凹凸性區(qū)間及拐點(diǎn)．正確答案：[證明]先證x=tlnt單調(diào)，必存在反函數(shù)，于是確定y=y(x)．再用參數(shù)求導(dǎo)法求出然后求出單調(diào)性區(qū)間，極值點(diǎn)，凹凸性區(qū)間及拐點(diǎn)．

(Ⅰ)因?yàn)樵赱1，+∞)單調(diào)上升，值域是[0，+∞)x=tlnt反函數(shù)，記為t=t(x)，它在[0，+∞)連續(xù)，t(x)≥1(單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù))．再由連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性在[0，+∞)上連續(xù)．

(Ⅱ)現(xiàn)知y(x)在[0，+∞)連續(xù)，再由參數(shù)式求導(dǎo)法有

因此y(x)的單調(diào)增區(qū)間為x∈[0，e]，單調(diào)減區(qū)間為[e，+∞)，x=e為極大值點(diǎn)

因此為y(x)的凸區(qū)間，為凹區(qū)間，拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)是[解析]于是

因此y=y(x)有漸近線y=0.

拋物線y=x2上任意點(diǎn)(a，a2)(a＞0)處引切線L1，在另一點(diǎn)處引一切線L2，L2與L1垂直．2.

求L1與L2的交點(diǎn)橫坐標(biāo)x1；正確答案：[解]拋物線y=x2在點(diǎn)(a，a2)處的切線方程為

L1：y=a2+2a(x-a)即y=2ax-a2．

另一點(diǎn)(b，b2)處的切線方程為

L2：y=b2+2b(x-b)即y=2bx-b2．

由L1與L2垂直即

L1與L2的交點(diǎn)(x1，y1)滿(mǎn)足

代入得

3.

證明：L1，L2與拋物線y=x2所圍圖形的面積正確答案：[解]L1，L2與y=x2所圍圖形的面積

由x1的表達(dá)式知

4.

問(wèn)a＞0取何值時(shí)S(a)取最小值．正確答案：[解]求導(dǎo)解最值問(wèn)題

設(shè)函數(shù)y=y(x)在(-∞，+∞)有二階導(dǎo)數(shù)，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．5.

試將x=x(y)滿(mǎn)足的微分方程變換為y=y(x)滿(mǎn)足的微分方程；正確答案：[解]這實(shí)質(zhì)上是求反函數(shù)x=x(y)的一、二階導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，由反函數(shù)求導(dǎo)公式知，

再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法知，

代入原方程得

即

6.

求滿(mǎn)足y(0)=0，y'(0)=1的y=y(x)．正確答案：[解]求y=y(x)就是求解滿(mǎn)足初始條件y(0)=0，y'(0)=1的可降階微分方程(1)．看作不顯含因變量y的類(lèi)型，令得

這是可分離變量的方程，分離變量解得

p=1(p=0不合題意)

或

由p=1得，再由初值得y=x．

由(2)式積分得

即

由初值得C=0，仍然只求得y=x．

因此求得y(x)=x．[解析]①這也是不顯含x的一類(lèi)可降階的二階微分方程

令并以y為自變量，由

方程(3)化為一階微分方程

對(duì)于原方程(1)，我們得

(P=0不合題意)，于是分離變量得

積分得

ln|P-1|=y+C1，P-1=Cey

由y=0時(shí)，P=1得C=0，因此再由y(0)=1得y=x．

②這也是伯努利方程(大綱中不要求，若熟悉)，P=0不合題意，P≠0時(shí)改寫(xiě)成

兩邊乘e-x得

積分并注意到P(0)=1得

由及y(0)=0得

y=x．

7.

求不定積分正確答案：[解]方法一

而

因此

方法二

8.

求極坐標(biāo)系中曲線的弧長(zhǎng)l．正確答案：[解]先求

按弧長(zhǎng)計(jì)算公式得

9.

設(shè)f(u，v)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足又求正確答案：[解]由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得

現(xiàn)將①，②式相加得

其中由條件知f"11+f"22=1.

10.

求二重積分其中D由直線x=a，x=0，y=a，y=-a及曲線x2+y2=ax，(a＞0)所圍成．正確答案：[解法一]將D1看成正方形區(qū)域與半圓形區(qū)域的差集，在半圓形區(qū)域上用極坐標(biāo)變換．于是

于是

如果積分區(qū)域關(guān)于x軸(或y軸)對(duì)稱(chēng)，考察被積函數(shù)關(guān)于y(或x)的奇偶性，往往會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算．

[解法二]在直角坐標(biāo)系下計(jì)算

而

或

因此于是

[解法三]被積函數(shù)x對(duì)x是奇函數(shù)，但積分區(qū)域D1關(guān)于y軸不對(duì)稱(chēng)，但關(guān)于對(duì)稱(chēng)．作平移變換：則D1變?yōu)?/p>

關(guān)于v軸對(duì)稱(chēng)，于是

[解析]J的積分區(qū)域如圖陰影部分，設(shè)D1為由x=a，x=0，y=a，所圍．

由于D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故

11.

設(shè)P(x)=x3+ax2+bx+c，a，b，c，為常數(shù)，方程P(x)=0有三個(gè)相異實(shí)根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，又求證：

(Ⅰ)F(x)在(-∞，x3)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

(Ⅱ)F(x)在(x3，+∞)恰有一個(gè)零點(diǎn)．正確答案：[證明]對(duì)常數(shù)a，b，c均有

進(jìn)一步按題設(shè)應(yīng)有

P(x)＜0(x＜x1)，P(x)＞0(x∈(x1，x2))

P(x)＜0(x∈(x2，x3))，P(x)＞0(x＞x3)

P(x)在(-∞，+∞)連續(xù)．

(Ⅰ)當(dāng)x＜x1時(shí)時(shí)

在(-∞，x1)無(wú)零點(diǎn)．F(x1)=0.

當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)時(shí)

在(x1，x2]無(wú)零點(diǎn)．

因F(x)在[x2，x3]連續(xù)，又即F(x)在(x2，x3)有零點(diǎn)．又因

F'(x)=P(x)＜0(x∈(x2，x3))

在在(x2，x3)有唯一零點(diǎn)．

因此F(x)在(-∞，x3)恰有兩個(gè)零點(diǎn)(x1與ξ)．

(Ⅱ)由當(dāng)x＞x*時(shí)

又因F'(x)=P(x)＞0

(x＞x3)

在在(x3，+∞)恰有一個(gè)零點(diǎn)．

已知矩陣與矩陣等價(jià)．12.

求a的值；正