考研數(shù)學(xué)二模擬402

考研數(shù)學(xué)二模擬402一、選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.

若(其中a，b為大于0的常數(shù))，則必有______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]

2.

曲線的漸近線有______A.1條．B.2條．C.3條．D.4條．正確答案：B[解析]因故y=π/4是曲線的水平漸近線．

因故x=0是曲線的垂直漸近線．

又故無(wú)斜漸近線．

綜上，曲線共有兩條漸近線．

3.

設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處有f'x(x0，y0)=a，f'y(x0，y0)=b，則______

A．極限一定存在，但f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處不連續(xù)．

B．f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處必連續(xù)．

C．dz|(x0，y0)=adx+bdy．

D．存在且相等．正確答案：D[解析]由f'x(x0，y0)存在知一元函數(shù)f(x，y0)在x=x0處連續(xù)，故類(lèi)似地，由f'y(x0，y0)存在知一元函數(shù)f(x0，y)在y=y0處連續(xù)，故

或舉反例用排除法．取計(jì)算可得f'x(0，0)=f'y(0，0)=0，同時(shí)可證明存在，f(x，y)在點(diǎn)(0，0)連續(xù)，f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不可微分，這樣可排除A、C．

取計(jì)算可得fx'(0，0)=fy'(0，0)=0，同時(shí)可證明f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)，這樣可排除B．由排除法可知，應(yīng)選D．

4.

若f(1)=g(1)=0，f(2)=g(2)=m＞0，且f"(x)＞0，g"(x)＜0，則的大小關(guān)系為_(kāi)_____A.I1≥I2≥I3．B.I3≥I2≥I1．C.I2≥I3≥I1．D.I2≥I1≥I3．正確答案：C[解析]可應(yīng)用定積分的比較定理，或從定積分的幾何意義出發(fā)比較I1，I2，I3的大小．

因?yàn)閒"(x)＞0，g"(x)＜0，所以f(x)是凹函數(shù)，g(x)是凸函數(shù)．

又因?yàn)閒(1)=g(1)=0，f(2)=g(2)=m＞0，所以y=f(x)，y=g(x)，y=mx-m在[1，2]上的大致圖象如圖，故當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(x)≤mx-m≤g(x)，則有

即I1≤I3≤I2．

5.

設(shè)f(0)=0，則f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)的充要條件為_(kāi)_____

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]注意到1-cosh≥0且設(shè)u=1-cosh，則

故A只保證了f'+(0)存在，而不是f'(0)存在的充分條件．

由于1-eh～-h(h→0)，故

故左極限邊存在保證右邊存在，反之亦然，因此B是f'(0)存在的充要條件．

又h-sinh～h3/6，得

則存在不能保證存在，故C不對(duì)．

又

左邊極限存在不能保證右邊拆項(xiàng)后的極限存在，故D不正確，如：

6.

變換積分次序?yàn)開(kāi)_____

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]由累次積分限確定積分區(qū)域D為：

D：0＜x＜lny，1＜y＜e．

如圖，按先y后x的積分順序，

D：0＜x＜1，ex＜y＜e．

于是

7.

設(shè)則平面上三條直線a1x+a2y+a3=0，b1x+b2y+b3=0，c1x+c2y+c3=0交于一點(diǎn)的充分必要條件是______A.α1，α2，α3線性相關(guān)．B.α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)．C.r(α1，α2，α3)=r(α1，α2)．D.α1，α2線性無(wú)關(guān)，α1，α2，α3線性相關(guān)．正確答案：D[解析]三條直線交于一點(diǎn)的充要條件是方程組

有唯一解，即r(α1，α2)=r(α1，α2，α3)=2．

8.

設(shè)n階方陣A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，記向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αn，(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，如果向量組(Ⅲ)線性無(wú)關(guān)，則______A.向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)線性相關(guān)．B.向量組(Ⅰ)可能線性相關(guān)．C.向量組(Ⅱ)可能線性相關(guān)．D.向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)均線性無(wú)關(guān)．正確答案：D[解析]因?yàn)橄蛄拷M(Ⅲ)線性無(wú)關(guān)，所以|AB|=|A||B|≠0，因此|A|、|B|都不為0，即A、B的列向量組都線性無(wú)關(guān)．

二、填空題1.

正確答案：[解析]

2.

若函數(shù)u=sin(y+3z)，其中z是由方程z2y-xz3=1確定的x，y的函數(shù)，則正確答案：cos3[解析]因所求為函數(shù)u在點(diǎn)(1，0)處對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，故應(yīng)視y=0，故原函數(shù)關(guān)系變?yōu)閡=sin3z，將y=0代入方程z2y-xz3=1中得z=-x-1/3，于是有

3.

函數(shù)y=y(x)由方程所確定，則正確答案：[解析]設(shè)由隱函數(shù)求導(dǎo)法則得

故

4.

微分方程y"-9y=e3x的通解為_(kāi)_____．正確答案：[解析]由特征方程r2=9，得r1=3，r2=-3，

故y"-9y=0的通解為

y1=C1e-3x+C2e3x(C1，C2為任意常數(shù))．

由于非齊次方程右端的非齊次項(xiàng)為e3x，其指數(shù)上的3為特征方程的單根，故特解設(shè)為y*=Axe3x代入原方程，可得

因此原方程通解為

5.

設(shè)則曲線在拐點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____．正確答案：[解析]由得x=-3．

當(dāng)x＜-3時(shí)，y"＜0；當(dāng)x＞-3時(shí)，y"＞0，故x=-3為函數(shù)拐點(diǎn)．又

故拐點(diǎn)處的切線方程為

6.

設(shè)A=ααT，其中α為三維列向量，且αTα=2，則行列式|E-An|=______．正確答案：1-2n[解析]由Aα=(ααT)α=2α可知A的一個(gè)特征值為2，又r(A)=r(ααT)=1，所以0是A的二重特征值．因此A的特征值為2，0，0，于是E-An的特征值為1-2n，1，1，故|E-An|=1-2n．

三、解答題解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．1.

設(shè)確定常數(shù)a，b．正確答案：

所以-1-a=0，從而有a=-1．

代入原極限，得

則

2.

設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，證明并計(jì)算積分正確答案：因?yàn)?/p>

從而有

利用上述公式

3.

設(shè)求其中φ(u，v)有二階偏導(dǎo)數(shù)．正確答案：

4.

設(shè)區(qū)域D由曲線y=-x3，直線x=1與y=1圍成，計(jì)算二重積分

正確答案：如下圖，用y=x3(x≥0)分割區(qū)域，于是區(qū)域D可分為D1，D2，D3，D4四個(gè)部分，D1與D2關(guān)于y軸對(duì)稱，D3與D4關(guān)于x軸對(duì)稱，注意

其中被積函數(shù)x[ycos(x2+y2)+1]關(guān)于x是奇函數(shù)，故它在D1+D2上的積分為零，又因

其中第一個(gè)二重積分的被積函數(shù)xycos(x2+y2)關(guān)于y是奇函數(shù)，故第一個(gè)二重積分也是零，其中第二個(gè)二重積分的被積函數(shù)x關(guān)于y是偶函數(shù)，故第二個(gè)二重積分可以化簡(jiǎn)，得

綜合得

5.

設(shè)正值函數(shù)y=f(x)(x≥0)連續(xù)可微，且f(0)=1，已知曲線y=f(x)與x軸，y軸以及過(guò)點(diǎn)(x，0)且垂直于x軸的直線所圍成的圖形的面積與曲線y=f(x)在[0，x]上的一段弧線長(zhǎng)的值相同，求f(x)．正確答案：由題設(shè)所圍成的圖形面積為而題設(shè)弧長(zhǎng)為

根據(jù)題意有

兩邊對(duì)x求導(dǎo)得又因?yàn)閒(0)=1，

所以

解得

上式取倒數(shù)得

①②兩式相加得

6.

設(shè)f(x)在[0，1]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件|f(x)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b都是非負(fù)常數(shù)，c是(0，1)內(nèi)任意一點(diǎn)，證明：正確答案：[證明]由于問(wèn)題中涉及f(x)與其導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可考慮用泰勒公式證明之．f(x)在c處的泰勒展開(kāi)式為

其中ξ在c與x之間．

取x=0，1得

兩式相減得

由此

設(shè)函數(shù)f(x)在(-l，l)上連續(xù)，在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，且f'(0)≠0．7.

求證：任意給定的0＜x＜l，存在0＜θ＜1，使得

正確答案：思路一：記則F(x)在(-l，l)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=0，F(xiàn)'(x)=f(x)-f(-x)．由拉格朗日中值定理得，對(duì)使

F(x)=F(x)-F(0)=F'(θx)·x=x[f(θx)-f(-θx)]．

思路二：利用積分中值定理證明．

其中ξ在0與x之間，故ξ=θx，0＜θ＜1．

8.

求極限正確答案：利用已知條件f'(0)存在且不等于0，給出θ的表達(dá)式，將上式改寫(xiě)為

又

所以

已知非齊次線性方程組有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解．9.

證明方程組系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2；正確答案：設(shè)α1，α2，α3是方程組AX=β的3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，其中

則有A(α1-α2)=0，A(α1-α3)=0，則α1-α2，α1-α3是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組AX=0的解，且線性無(wú)關(guān)，否則，易推出α1，α2，α3線性相關(guān)，矛盾．

所以n-r(A)≥2，即4-r(A)≥2r(A)≤2．

又矩陣A中有一個(gè)二階子式所以r(A)≥2，因此r(A)=2．

10.

求a，b的值及方程組的通解．正確答案：因?yàn)?/p>

由r(A)=2，得

當(dāng)a=2，b=-3時(shí)，對(duì)原方程組的增廣矩陣作初等行變換，即

先求對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系：

取x3=1，x4=0，得ξ1=(-2，1，1，0)T；

取x3=0，x4=1，得ξ2=(4，-5，0，1)T．

再求特解：

取x3=0，x4=0，得特解(2，-3，0，0)T．

則所求通解為

設(shè)矩陣已知線性方程組AX=β有解但不唯一．

試求：11.

a的值；正確答案：由題設(shè)知AX=β有無(wú)窮多組解，則

|A|=-(a-1)2(a+2)=0．

得a=1或=-2．但當(dāng)a=1時(shí)，此時(shí)AX=β無(wú)解．而當(dāng)a=-2時(shí)，有于是a=-2．

12.

正交矩陣Q，使QTAQ為對(duì)角矩陣．正確答案：注意到|A-λE|為行和與列和都相