2022屆四川省南充市高考適應(yīng)性考試二診數(shù)學(xué)文試題解析版

2022屆四川省南充市高考適應(yīng)性考試（二診）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．復(fù)數(shù)，則（）A．4 B． C．3 D．【答案】C【分析】先利用復(fù)數(shù)的乘法運算化簡得到，再利用復(fù)數(shù)的模長公式，計算即可【詳解】由題意，故故選：C2．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解對數(shù)不等式得到，再利用集合的交集、補集運算，計算即得解【詳解】由題意，故，故選：B3．某校高中生共有1000人，其中高一年級300人，高二年級200人，高三年級500人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為50人的樣本，那么高一?高二?高三年級抽取的人數(shù)分別為（）A．15?10?25 B．20?10?20 C．10?10?30 D．15?5?30【答案】A【分析】根據(jù)分層抽樣的定義求出抽樣比，按此比例求出各個年級的人數(shù)即可.【詳解】解：根據(jù)題意高一年級的人數(shù)為人，高二年級的人數(shù)為人，高三年級的人數(shù)為人.故選：A.4．設(shè)x、y都是實數(shù)，則“且”是“且”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由不等式性質(zhì)及特殊值法判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分必要性的定義即可確定答案.【詳解】由且，必有且，當(dāng)且時，如不滿足，故不一定有且.所以“且”是“且”的充分不必要條件.故選：A5．在中，若，且，點分別是的中點，則（）A． B． C．10 D．20【答案】C【分析】依題意可得，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)公式法求出平面向量數(shù)量積；【詳解】解：因為，所以，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則、、、，所以、、，所以，所以；故選：C6．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，滿足，則（）A． B．的最小值為C． D．滿足的最大自然數(shù)的值為25【答案】C【分析】利用等差數(shù)列等差中項的性質(zhì)，計算出數(shù)列相關(guān)參數(shù)即可.【詳解】由于，，∴上式中等差中項，，即，故A錯誤；由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，故B錯誤；由以上分析可知C正確，D錯誤；故選：C.7．若雙曲線C：的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】圓心到漸近線距離為，解方程即得解.【詳解】解：由題得雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線距離為，則點到直線的距離為，即，整理可得，所以雙曲線的離心率．故選：A．8．我國數(shù)學(xué)家張益唐在“孿生素數(shù)”研究方面取得突破，孿生素數(shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù)，就是指兩個相差2的素數(shù)，例如5和7，在大于3且不超過20的素數(shù)中，隨機選取2個不同的數(shù)，恰好是一組孿生素數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出大于3且不超過20的素數(shù)，分別計算出隨機選取2個不同的數(shù)的所有情況和恰好是一組孿生素數(shù)的情況，再利用古典概型公式代入求解.【詳解】大于3且不超過20的素數(shù)為：5，7，11，13，17，19，共6個，隨機選取2個不同的數(shù)，共有個情況，恰好是一組孿生素數(shù)的情況為：5和7，11和13，17和19，共3個，所以概率為.故選：D9．函數(shù)的部分圖像如圖所示，，則（）A．關(guān)于點對稱B．關(guān)于直線對稱C．在上單調(diào)遞減D．在上是單調(diào)遞增【答案】C【分析】首先跟據(jù)函數(shù)圖象求出及，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：由圖可知，且，所以，即，因為，所以，即，因為，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，故A錯誤；，所以函數(shù)關(guān)于對稱，故B錯誤；對于C：由，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故C正確；對于D：由，則，因為在上不單調(diào)，所以在上不單調(diào)，故D錯誤；故選：C10．已知橢圓的左焦點為，過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，若為線段的中點，為坐標(biāo)原點，直線的斜率為，則橢圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得焦點，也即求得，然后利用點差法求得，從而求得，也即求得橢圓的方程.【詳解】直線過點，所以，設(shè)，由兩式相減并化簡得，即，所以，所以橢圓的方程為.故選：B11．托勒密是古希臘天文學(xué)家?地理學(xué)家?數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理指出：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.已知四邊形的四個頂點在同一個圓的圓周上，是其兩條對角線，，且為正三角形，則四邊形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由托勒密定理可得，由可求出.【詳解】由題，設(shè)，由托勒密定理可得，所以，又因為，，所以.故選：D.12．已知函數(shù)，若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的取值范圍，然后化簡，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】由于，即，所以，當(dāng)時，遞增，所以有唯一解.當(dāng)時，遞增，所以有唯一解.由得，所以.令，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以，所以的取值范圍為.故選：D【點睛】本題要求的取值范圍，主要的解題思路是轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)來求得取值范圍.在轉(zhuǎn)化的過程中，主要利用了對數(shù)、指數(shù)的運算.二、填空題13．已知實數(shù)滿足則的最大值為___________.【答案】4【分析】轉(zhuǎn)化為，則取得最大值即直線與可行域相交，且截距最大，數(shù)形結(jié)合即得解【詳解】轉(zhuǎn)化為，則取得最大值即直線與可行域相交，且截距最大，根據(jù)不等式組畫出可行域，如圖所示，聯(lián)立，可得當(dāng)直線經(jīng)過點A時取得最大值為4.故答案為：414．已知是拋物線的焦點，是上一點，為坐標(biāo)原點，若，則___________.【答案】【分析】由拋物線定義求出點坐標(biāo)即可得出答案.【詳解】由拋物線方程可得，由拋物線定義可得，即，則，則.故答案為：.15．若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則___________.【答案】2022【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)化簡得到，由對數(shù)的運算即可求解.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以，即，所以故答案為：202216．如圖，棱長為的正方體中，點為線段上的動點，點，分別為線段，的中點，給出以下命題①；②三棱錐的體積為定值；③；④的最小值為.其中所有正確的命題序號是___________.【答案】①②④【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系及椎體體積公式可判斷①②，再根據(jù)向量的線性運算及數(shù)量積可判斷③④.【詳解】①如圖所示，連接，，由正方體可知，且平面，即，又，所以平面，所以，即，正確；②如圖所示，連接，，，，，，由點，分別為線段，的中點，得，故平面，即點到平面的距離為定值，且，，故為定值，所以三棱錐的體積為定值，正確；③連接，，由點為線段上的動點，設(shè)，，故，，，當(dāng)時，取最小值為，當(dāng)時，取最大值為，故，即，，錯誤；④，當(dāng)時，的最小值為，正確；故答案為：①②④.三、解答題17．從某食品廠生產(chǎn)的面包中抽取100個，測量這些面包的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組頻數(shù)82236286(1)在相應(yīng)位置上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計這種面包質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該食品廠生產(chǎn)的這種面包符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于85的面包至少要占全部面包的規(guī)定”？【答案】(1)答案見解析(2)(3)能【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，計算每組的頻率，即可繪制頻率分布直方圖；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，按照平均數(shù)的求法求得答案；（3）計算質(zhì)量指標(biāo)值不低于85的面包所占比例即可得答案.【詳解】(1)(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為,所以這種面包質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計值為(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于85的面包所占比例為，由于該值大于，故可以認(rèn)為該食品廠生產(chǎn)的這種面包符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于85的面包至少要占全部面包的規(guī)定”.18．在①；②；這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答.問題：在中，內(nèi)角的對邊分別為，且___________.(1)求角；(2)在中，，求周長的最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【分析】（1）選擇①：由正弦定理化邊為角即可求出；選擇②：利用面積公式和數(shù)量積關(guān)系化簡可得出；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可求出.【詳解】(1)選擇①：條件即，由正弦定理可知，，在中，，所以，所以，且，即，所以；選擇②：條件即，即，.在中，，所以，則，所以，所以.(2)由（1）知，由余弦定理知：所以得所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立所以求周長的最大值為.19．如圖所示，四邊形為菱形，，平面平面，點是棱的中點.(1)求證：；(2)若，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)點是棱的中點，連接，可證平面，從而得到.（2）利用等積轉(zhuǎn)化和體積公式可求三棱錐的體積.【詳解】(1)如圖所示，設(shè)點是棱的中點，連接，由及點是棱的中點，可得，又因為平面平面，平面平面，平面，故平面，又因為平面，所以，又因為四邊形為菱形，所以，而是的中位線，所以，可得，又由，且平面平面，所以平面，又因為平面，所以.(2)，由于菱形，故，故，故三角形為正三角形，且三角形為正三角形，故，由于平面，20．如圖所示，橢圓的右頂點為，上頂點為為坐標(biāo)原點，.橢圓離心率為，過橢圓左焦點作不與軸重合的直線，與橢圓相交于兩點.直線的方程為：，過點作垂線，垂足為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)①求證：直線過定點，并求定點的坐標(biāo)；②求面積的最大值.【答案】(1)(2)①證明見解析，定點；②【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）①設(shè)直線方程：，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得直線的方程，并求得定點坐標(biāo).②結(jié)合弦長公式求得面積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得面積的最大值.【詳解】(1)由題意可得：，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)①由題意知，，設(shè)直線方程：.，聯(lián)立方程，得，所以，所以，又，所以直線方程為：，令，則.綜上：直線過定點.②由（1）中，所以，又，所以，令，則，令，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以時，.21．已知為的導(dǎo)函數(shù).(1)求在的切線方程；(2)討論在定義域內(nèi)的極值；(3)若在內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而可求切線方程；（2）設(shè)，其中，求出，討論其符號后可求導(dǎo)數(shù)的極值.（3）在內(nèi)單調(diào)遞減即為，利用導(dǎo)數(shù)可求后者，從而可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)，，而，故切線方程為：即.(2)設(shè)，其中，則，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，故無極值；當(dāng)時，若，則，故在上為增函數(shù)；若，則，故在上為減函數(shù)；故有極大值其極大值為，無極小值.(3)因為在內(nèi)單調(diào)遞減，則于恒成立，故在恒成立即.令，則.令得，令得，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.所以，故.所以.22．已知圓的參數(shù)方程為(為參數(shù).(1)以原點為極點?軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，寫出圓的極坐標(biāo)方程；(2)已知直線經(jīng)過原點，傾斜角，設(shè)與圓相交于兩點，求到兩點的距離之積.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得圓的普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）寫出直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程并代入圓的普通方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求得求到兩點的距離之積.【詳解】(1)由得，兩式平方后相加得，曲線是以為圓心，半徑等于2圓，令，代入并整理得，即曲線的極坐標(biāo)方程是.(2)直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程是（是參數(shù)），因為點都在直線上，所以可設(shè)它們對應(yīng)的參數(shù)為和，圓的普通方程為，以直線的參數(shù)方程代入圓的