第3章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析3.5

3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

常用詞匯穩(wěn)態(tài)誤差steady-stateerror

終值定理final-valuetheorem線性系統(tǒng)由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用形式和類型所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差叫原理性穩(wěn)態(tài)誤差。由于非線性因素所引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差叫附加穩(wěn)態(tài)誤差，或結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差。無(wú)差系統(tǒng):沒(méi)有原理性穩(wěn)態(tài)誤差（階躍輸入）有差系統(tǒng)：有原理性穩(wěn)態(tài)誤差（階躍輸入）

誤差是不可避免的，但我們研究的目的是盡量減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或者使穩(wěn)態(tài)誤差小于某一允許值。如:造紙機(jī)張力控制只有當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。在經(jīng)典控制理論中，只研究原理性誤差系統(tǒng)。由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用形式和類型所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差.3.5.1穩(wěn)態(tài)誤差的定義誤差:(3-59)

1、在系統(tǒng)輸入端定義（輸入信號(hào)與主反饋信號(hào)的差，可以測(cè)量）。

2、在系統(tǒng)輸出端定義(輸出量的希望值與實(shí)際值之差,無(wú)法測(cè)量）。誤差兩種定義方法：

誤差傳遞函數(shù)

誤差象函數(shù)

誤差原函數(shù)

誤差由瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量?jī)刹糠纸M成將系統(tǒng)誤差的穩(wěn)態(tài)分量定義為穩(wěn)態(tài)誤差由終值定理(final-valuetheorem)這表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不僅與開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)有關(guān)，還與輸入形式密切相關(guān)。

系統(tǒng)必須滿足終值定理?xiàng)l件：有理式SE(S)的極點(diǎn)均位于S的左半平面對(duì)于一個(gè)給定的穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)形式一定時(shí)，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)所描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。因此，按照控制系統(tǒng)跟蹤不同輸入信號(hào)的能力來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)分類是必要的。3.5.2系統(tǒng)類型令系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

n≥m(3-64)K為系統(tǒng)的開環(huán)增益。為系統(tǒng)中含有的積分環(huán)節(jié)數(shù)，稱為系統(tǒng)的型數(shù)，或無(wú)差度。ν——表示坐標(biāo)原點(diǎn)上極點(diǎn)的重?cái)?shù)。按的數(shù)值不同，系統(tǒng)分類如下：，稱為0型系統(tǒng)，或有差系統(tǒng)；，稱為Ⅰ型系統(tǒng)，或一階無(wú)差系統(tǒng)；，稱為Ⅱ型系統(tǒng)，或二階無(wú)差系統(tǒng)；，除復(fù)合控制外，系統(tǒng)難以穩(wěn)定，不作討論。為便于討論，令(3-65)當(dāng)時(shí)，有，則式(3-64)可表示為(3-66)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算通式則可表示為(3-67)

式(3-67)說(shuō)明系統(tǒng)的型數(shù)、開環(huán)增益、輸入信號(hào)的形式和幅值決定穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值。因?yàn)閷?shí)際輸入多為階躍函數(shù)，斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)或者其組合，下面分別討論。1.階躍輸入

令，為常量，則。由(3-63)可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為(3-68)

式中，為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)，各型系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為式中，為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)，各型系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為式中，為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)，各型系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為從而得到階躍信號(hào)作用下，各種類型系統(tǒng)的的穩(wěn)態(tài)誤差為(3-69)

(3-70)

上述結(jié)果表明，在階躍輸入作用下，只有0型系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差，其大小與階躍輸入的幅值成正比，與系統(tǒng)的開環(huán)增益成反比。Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)理論上穩(wěn)態(tài)誤差均為零。所以，如果要求對(duì)于階躍作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系統(tǒng)。2.斜坡輸入令，為常數(shù)，，則由式(3-63)得(3-71)式中，為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。各型系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為(3-72)從而得到階躍信號(hào)作用下，各種類型系統(tǒng)的的穩(wěn)態(tài)誤差為顯然，0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)不能跟蹤斜坡輸入。Ⅰ型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)能跟蹤斜坡輸入，但存在一個(gè)穩(wěn)態(tài)位置誤差。在穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的輸出量與輸入信號(hào)雖以同一個(gè)速度變化，但前者在位置上要落后于后者一個(gè)常量，這個(gè)常量就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。Ⅱ型及Ⅱ型以上系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時(shí)能準(zhǔn)確跟蹤斜坡輸入信號(hào)，不存在穩(wěn)態(tài)誤差。(3-73)

3.加速度輸入令的拉氏變換為由式(3-63)求得穩(wěn)態(tài)誤差為(3-74)

式中，為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。各型系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為(3-75)

從而得到階躍信號(hào)作用下，各種類型系統(tǒng)的的穩(wěn)態(tài)誤差為上述表明，0型和Ⅰ型系統(tǒng)都不能跟蹤等加速度輸入信號(hào)，只有Ⅱ型系統(tǒng)能跟蹤，但有穩(wěn)態(tài)誤差存在。即在穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)和輸入信號(hào)都以相同的加速度和速度在變化，但前者在位置上要滯后于后者一個(gè)常量。各種輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差如表3-3所示。(3-76)

例3-9單位反饋系統(tǒng)傳遞函為，已知系統(tǒng)穩(wěn)定，控制信號(hào)，試計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差函數(shù)為由終值定理

例3-10一單位反饋控制系統(tǒng)，若要求：(1)跟蹤單位斜坡輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2；(2)設(shè)該系統(tǒng)為三階，其中一對(duì)復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)為。求滿足上述要求的開環(huán)傳遞函數(shù)。解：根據(jù)(1)和(2)的要求，令其開環(huán)傳遞函數(shù)為因?yàn)?/p>

按定義

則相應(yīng)閉環(huán)傳遞函數(shù)所求開環(huán)傳遞函數(shù)為3.5.3擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

實(shí)際上，控制系統(tǒng)除了受到參考輸入的作用外，還會(huì)受到來(lái)自系統(tǒng)內(nèi)部和外部各種擾動(dòng)的影響。例如，負(fù)載力矩的變化、放大器的零點(diǎn)漂移、電網(wǎng)電壓的波動(dòng)和環(huán)境溫度的變化等，這些都會(huì)引起系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。這種誤差稱為擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差，它的大小反映了系統(tǒng)抗擾動(dòng)能力的強(qiáng)弱。對(duì)于擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算，可以采用上述對(duì)參考輸入的方法。為什么研究由擾動(dòng)作用引起的穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系？

由于參考輸入和擾動(dòng)輸入作用于系統(tǒng)不同位置，因而系統(tǒng)就有可能會(huì)產(chǎn)生在某種形式的參考作用下，其穩(wěn)態(tài)誤差為零；而在同一形式的擾動(dòng)作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差就未必為零。擾動(dòng)信號(hào)作用下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-18所示。擾動(dòng)信號(hào)作用下的誤差函數(shù)為

(3-77)

圖3-18閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差(3-78)

若，則上式可近似為可知擾動(dòng)信號(hào)作用下產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差除了與擾動(dòng)信號(hào)的形式有關(guān)外，還與擾動(dòng)作用點(diǎn)之前(擾動(dòng)點(diǎn)與誤差點(diǎn)之間)的傳遞函數(shù)及參數(shù)有關(guān)，但與擾動(dòng)作用點(diǎn)之后的傳遞函數(shù)無(wú)關(guān)。例如若，，,，則穩(wěn)態(tài)誤差

可見擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的增益越大，擾動(dòng)產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差越小，而穩(wěn)態(tài)誤差與擾動(dòng)作用點(diǎn)之后的增益無(wú)關(guān)。若，，，，則則穩(wěn)態(tài)誤差比較可以看出，擾動(dòng)信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與擾動(dòng)信號(hào)作用點(diǎn)之后的積分環(huán)節(jié)無(wú)關(guān)，與誤差信號(hào)到擾動(dòng)點(diǎn)之間的前向通道中的積分環(huán)節(jié)有關(guān)，要想消除穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)在誤差信號(hào)到擾動(dòng)點(diǎn)之間的前向通道中增加積分環(huán)節(jié)。

采用以下方法可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。(1)提高系統(tǒng)的開環(huán)增益和增加系統(tǒng)的類型數(shù)是減小和消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的有效方法。但是這兩種方法在其他條件不變時(shí)，一般都不會(huì)影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，乃至系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.5.4提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的方法(2)增大誤差信號(hào)與擾動(dòng)作用點(diǎn)之間前向通道的開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，可以減小動(dòng)信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差。但同樣會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(3)采用復(fù)合控制，將反饋控制與擾動(dòng)信號(hào)的前饋與給定信號(hào)的順饋相結(jié)合。

END本章小結(jié)(1)時(shí)域分析是通過(guò)直接求解系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的時(shí)域響應(yīng)來(lái)分析系統(tǒng)的性能的。通常是以系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量、調(diào)整時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。(2)本章重點(diǎn)介紹了一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。對(duì)于高階系統(tǒng)可以通過(guò)主導(dǎo)極點(diǎn)將其近似為二階系統(tǒng)。(3)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)能否正常工作的最基本條件，因此研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)定條件、穩(wěn)定措施是控制系統(tǒng)的重要內(nèi)容。主要介紹了代數(shù)判據(jù)(Routh與Wurwitz判據(jù))。(4)穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的度量，也是系統(tǒng)的一個(gè)重要性能指標(biāo)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差既與其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，也與控制信號(hào)的形式、大小和作用點(diǎn)有關(guān)。例題3-10求控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為輸入信號(hào)分別為a當(dāng)輸入為＝∞b當(dāng)輸入為由于正弦函數(shù)的拉氏變換式在虛軸上不解析，所以此時(shí)不能應(yīng)用終值定理法來(lái)計(jì)算在正弦函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，否則得出

注意：對(duì)于高階系統(tǒng)，反變換解析法并不實(shí)用，通常在這在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，要驗(yàn)證SE(S)的解析條件，其它類型的都可以應(yīng)用系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為3.6.2系統(tǒng)類型式中：

K——開環(huán)增益；てi和Ti為時(shí)間常數(shù)

ν

——表示坐標(biāo)原點(diǎn)上極點(diǎn)的重?cái)?shù)。

單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為ν

=0，0型系統(tǒng)；ν

=1，Ⅰ型系統(tǒng)；ν

=2，Ⅱ型系統(tǒng)。N越高，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越高，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性愈差。一般采用的是0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)。影響因素：1、開環(huán)增益2、輸入信號(hào)形式3、幅值注意：此種方法只適用于0,Ⅰ,Ⅱ型系統(tǒng)，Ⅲ及以上的系統(tǒng)不能用此方法求解典型輸入信號(hào)下穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差分別在典型輸入信號(hào)作用下求解動(dòng)態(tài)誤差利用動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法求解任意時(shí)間函數(shù)誤差作為輸入信號(hào)的系統(tǒng)。①階躍函數(shù)輸入當(dāng)V＝0時(shí)，單位反饋系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp穩(wěn)態(tài)誤差為

則各階系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為

斜坡函數(shù)輸入當(dāng)V＝1時(shí)，單位反饋系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv穩(wěn)態(tài)誤差為

則各階系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為加速度函數(shù)輸入當(dāng)V＝2時(shí)，單位反饋系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka穩(wěn)態(tài)誤差為

則各階系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為非單位反饋系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)位置誤差系統(tǒng)輸出量的希望值為系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)誤差為④誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差之間的關(guān)系

1t系統(tǒng)

0型00型00型00例3-11由此可得誤差的拉氏變換為

式中：

C0——?jiǎng)討B(tài)位置誤差系數(shù)；

C1——?jiǎng)討B(tài)速度誤差系數(shù)；

C2——?jiǎng)討B(tài)加速度誤差系數(shù)。

大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差G2(S)是以n(t)為輸入，cn(t)為輸出的前向通道函數(shù)擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差同樣用終值定理法求得！例3-13①增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K擾動(dòng)作用點(diǎn)前的前向通道增益。K值不能任意增大，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。②提高開環(huán)傳遞函數(shù)中的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的階次NN值一般不超過(guò)2。③采用串級(jí)控制抑制內(nèi)回路擾動(dòng)④采用補(bǔ)償?shù)姆椒?/p>

指作用于控制對(duì)象的控制信號(hào)中，除了偏差信號(hào)外，還引入與擾動(dòng)或給定量有關(guān)的補(bǔ)償信號(hào)，以提高系統(tǒng)的控制精度，減小誤差。這種控制稱為復(fù)合控制或前饋控制。

6.6.5減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法1.

擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差擾動(dòng)誤差的拉氏變換：

擾動(dòng)誤差的傳遞函數(shù)：

根據(jù)拉氏變換的終值定理，擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為當(dāng)給定量時(shí)，以擾動(dòng)量為輸入量的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：例3-12速度負(fù)反饋系統(tǒng)在負(fù)載電流作用下轉(zhuǎn)速誤差的拉氏變換為

式中：——系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)。

當(dāng)負(fù)載為階躍函數(shù)時(shí)，。則轉(zhuǎn)速的穩(wěn)態(tài)誤差為

由于這一系統(tǒng)在負(fù)載擾動(dòng)下存在穩(wěn)態(tài)誤差，所以稱為有差系統(tǒng)。

將上述調(diào)速系統(tǒng)中的比例調(diào)節(jié)器換成積分調(diào)節(jié)器，構(gòu)成下圖所示系統(tǒng)。

則速度誤差的拉氏變換為式中：當(dāng)負(fù)載電流作階躍變化時(shí)，有

該系統(tǒng)為無(wú)差系統(tǒng)。開環(huán)傳遞函數(shù)中,串聯(lián)積分環(huán)節(jié),可以消除階躍擾動(dòng)的穩(wěn)定誤差。

2.給定穩(wěn)定誤差和誤差系數(shù)

誤差定義為