高中數(shù)學(xué) 1.1.2 弧度制和弧度制與角度制的換算基礎(chǔ)鞏固 新人教B版必修4

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.1.2弧度制和弧度制與角度制的換算基礎(chǔ)鞏固新人教B版必修4一、選擇題1．(·山東濟(jì)南商河弘德中學(xué))已知α＝－3，則角α的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]C[解析]1rad＝(eq\f(180,π))°，則α＝－3rad＝－(eq\f(540,π))°≈－171.9°，∴α是第三象限角．2．與－eq\f(13π,3)終邊相同的角的集合是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(5π,3)，k∈Z))[答案]D[解析]與－eq\f(13π,3)終邊相同的角α＝2kπ－eq\f(13π,3)，k∈Z，∴α＝(2k－6)π＋6π－eq\f(13π,3)＝(2k－6)π＋eq\f(5π,3)，(k∈Z)．3．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，則A∩B＝()A．?B．{α|0≤α≤π|C．{α|－4≤α≤4|D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}[答案]D[解析]k≤－2或k≥1時(shí)A∩B＝?；k＝－1時(shí)A∩B＝[－4，－π]；k＝0時(shí)，A∩B＝[0，π]；故A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．故選D.4．一條弧所對(duì)的圓心角是2rad，它所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這條弧的長(zhǎng)是()A．eq\f(1,sin1) B．eq\f(1,sin2)C．eq\f(2,sin1) D．eq\f(2,sin2)[答案]C[解析]所在圓的半徑為r＝eq\f(1,sin1)，弧長(zhǎng)為2×eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1).5．(·浙江象山中學(xué)高一月考)某扇形的面積為1cm2，它的周長(zhǎng)為4cm，那么該扇形的圓心角等于()A．2° B．2C．4° D．4[答案]B[解析]設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝4,\f(1,2)lR＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1,l＝2)).∴該扇形圓心角α＝eq\f(l,r)＝2(rad)，故選B.6．如圖中，圓的半徑為5，圓內(nèi)陰影部分的面積是()INJ3.TIF"A．eq\f(175π,36) B．eq\f(125π,18)C．eq\f(75π,18) D．eq\f(34π,9)[答案]A[解析]40°＝40×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,9)，30°＝30×eq\f(π,180)＝eq\f(π,6)，∴S＝eq\f(1,2)r2·eq\f(2π,9)＋eq\f(1,2)r2·eq\f(π,6)＝eq\f(175π,36).二、填空題7．若兩個(gè)角的差是1°，它們的和是1弧度，則這兩個(gè)角的弧度數(shù)分別是__________．[答案]eq\f(180＋π,360)、eq\f(180－π,360)[解析]設(shè)兩角為α、β則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α－β＝\f(π,180),α＋β＝1))，∴α＝eq\f(180＋π,360)、β＝eq\f(180－π,360).8．正n邊形的一個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù)等于__________．[答案]eq\f(n－2,n)π[解析]∵正n邊形的內(nèi)角和為(n－2)π，∴一個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù)是eq\f(n－2π,n).三、解答題9．已知α1＝－570°、α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(7π,3).(1)將α1、α2用弧度制表示出來(lái)，并指出它們各自所在象限；(2)將β1、β2用角度制表示出來(lái)，并在－720°～0°范圍內(nèi)找出與β1、β2有相同終邊的角．[解析](1)∵－570°＝－eq\f(570π,180)＝－eq\f(19π,6)＝－4π＋eq\f(5π,6)，∴－570°與eq\f(5π,6)終邊相同，eq\f(5π,6)在第二象限，∴α1在第二象限．∵750°＝eq\f(750π,180)＝eq\f(25π,6)＝4π＋eq\f(π,6)，∴750°與eq\f(π,6)終邊相同，eq\f(π,6)在第一象限，∴α2在第一象限．(2)∵β1＝eq\f(3π,5)＝(eq\f(3,5)×180)°＝108°，與其終邊相同的角為108°＋k·360°，k∈Z，∴在－720°～0°范圍內(nèi)與β1有相同終邊的角是－612°和－252°.同理，β2＝－420°且在－720°～0°范圍內(nèi)與β2有相同終邊的角是－60°.IN"一、選擇題1．扇形的一條弦長(zhǎng)等于半徑，則這條弦所對(duì)的圓心角是____弧度．()A．π B．eq\f(π,2)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,4)[答案]C[解析]∵圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)等于半徑，∴該圓心角所在的三角形為正三角形，∴圓心角是eq\f(π,3)弧度．2．在直角坐標(biāo)系中，若角α與角β終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則必有()A．α＝－β B．α＝－2kπ±β(k∈Z)C．α＝π＋β D．α＝2kπ＋π＋β(k∈Z)[答案]D[解析]將α旋轉(zhuǎn)π的奇數(shù)倍得β.3．在半徑為3cm的圓中，60°的圓心角所對(duì)的弧的長(zhǎng)度為()A．eq\f(π,3)cm B．πcmC．eq\f(3π,2)cm D．eq\f(2π,3)cm[答案]B[解析]由弧長(zhǎng)公式得，l＝|α|R＝eq\f(π,3)×3＝π(cm)．4．下列各組角中，終邊相同的角是()A．(2k＋1)π與(4k±1)π，k∈Z B．eq\f(kπ,2)與kπ＋eq\f(π,2)，k∈ZC．kπ＋eq\f(π,6)與2kπ±eq\f(π,6)，k∈Z D．kπ±eq\f(π,3)與eq\f(kπ,3)，k∈Z[答案]A[解析]2k＋1與4k±1都表示的是奇數(shù)，故選A.二、填空題5．把－eq\f(11π,4)寫(xiě)成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是________．[答案]－eq\f(3π,4)[解析]－eq\f(11π,4)＝－eq\f(3π,4)－2π＝eq\f(5π,4)－4π，∴使|θ|最小的θ的值是－eq\f(3π,4).6．用弧度表示終邊落在y軸右側(cè)的角的集合為_(kāi)_______.[答案]{θ|－eq\f(π,2)＋2kπ<θ<eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z}[解析]y軸對(duì)應(yīng)的角可用－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)表示，所以y軸右側(cè)角的集合為{θ|－eq\f(π,2)＋2kπ<θ<eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z}．三、解答題7．x正半軸上一點(diǎn)A繞原點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)A每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)θ角(0<θ≤π)，經(jīng)過(guò)2min到達(dá)第三象限，經(jīng)過(guò)14min回到原來(lái)的位置，那么θ是多少弧度？[解析]因?yàn)?<θ≤π，所以0<2θ≤2π.又因?yàn)?θ在第三象限，所以π<2θ<eq\f(3π,2).因?yàn)?4θ＝2kπ，k∈Z，所以2θ＝eq\f(2kπ,7)，k∈Z.當(dāng)k分別取4、5時(shí)，2θ分別為eq\f(8π,7)、eq\f(10π,7)，它們都在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))內(nèi)．因此θ＝eq\f(4π,7)rad或θ＝eq\f(5π,7)rad.8．設(shè)集合A＝{α|α＝eq\f(3,2)kπ，k∈Z}，B＝{β|β＝eq\f(5,3)kπ，|k|≤10，k∈Z}，求與A∩B的角終邊相同的角的集合．[解析]設(shè)α0∈A∩B，則α0∈A且α0∈B，所以α0＝eq\f(3,2)k1π，α0＝eq\f(5,3)k2π，所以eq\f(3,2)k1π＝eq\f(5,3)k2π，即k1＝eq\f(10,9)k2.因?yàn)閨k2|≤10，k2∈Z，且k1∈Z，所以k1＝0，±10.因此A∩B＝{0，－15π，15π}，故與A∩B的角的終邊相同的角的集合為{γ|γ＝2kπ或γ＝(2k＋1)π，k∈Z}＝{γ|γ＝nπ，n∈Z}．9．已知扇形AOB的周長(zhǎng)為8cm.(1)若這個(gè)扇形的面積為3cm2，求圓心角的大小；(2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的弧度數(shù)和弦長(zhǎng)AB.[解析](1)設(shè)扇形的圓心角為θ，扇形所在圓的半徑為x(cm)，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋xθ＝8,\f(1,2)θ·x2＝3))，解得θ＝eq\f(2,3)或6，即圓心角的