高中數(shù)學(xué) 1.4 空間圖形的基本關(guān)系與公理基礎(chǔ)鞏固 北師大版必修2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.4空間圖形的基本關(guān)系與公理基礎(chǔ)鞏固北師大版必修2一、選擇題1．已知點(diǎn)A，直線a，平面α：①A∈a，a?α?A?α②A∈a，a∈α?A∈α③A?a，aα?A?α④A∈a，aα?Aα以上命題表述正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]①中若a與α相交，且交點(diǎn)為A，則不正確；②中“a∈α”符號(hào)不對(duì)；③中A可以在α內(nèi)，也可以在α外，故不正確；④符號(hào)“Aα”錯(cuò)．2．在空間中，下列命題成立的有________個(gè)()①兩組對(duì)邊都平行的四邊形是平行四邊形②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形③順次連接空間四邊形各邊中點(diǎn)所得的一定是平行四邊形④對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]②錯(cuò)誤．3．在空間中，可以確定一個(gè)平面的條件是()A．兩兩相交的三條直線B．三條直線，其中一條直線與另外兩條直線分別相交C．三個(gè)點(diǎn)D．三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)[答案]D[解析]A中兩兩相交的三條直線，它們可能交于同一個(gè)點(diǎn)，也可能不交于同一個(gè)點(diǎn)，若交于同一個(gè)點(diǎn)，則三條直線不一定在同一個(gè)平面內(nèi)，故排除A；B中的另外兩條直線可能共面，也可能不共面，當(dāng)另外兩條直線不共面時(shí)，則三條直線不能確定一個(gè)平面，故排除B；對(duì)于C來說，三個(gè)點(diǎn)的位置可能不在同一條直線上，也可能在同一條直線上，只有前者才能確定一個(gè)平面，因此，排除C；只有條件D中的三條直線，它們兩兩相交且不交于同一點(diǎn)，因而其三個(gè)交點(diǎn)不在同一條直線上，由公理1知其可以確定一個(gè)平面．4．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和BC的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，各棱所在的直線與直線EFA．4 B．6C．8 D．10[答案]C[解析]AB，AD，AA1，A1B1，A1D1，D1D，D1C1，DC與直線EF5．如圖，M是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1①過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB，B1C1②過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB，B1C1③過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB，B1C1④過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB，B1C1其中真命題是()A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③[答案]C[解析]①若還能作一條線，則兩相交線確定一平面，從而證明AB，B1C1共面與它們異面矛盾，從而假設(shè)不正確，①正確，②④也是同樣的方法證明．將過點(diǎn)M的平面CDD1C1繞直線DD1旋轉(zhuǎn)任意非零的角度，所得的平面與直線AB，B1C16．已知α、β為平面，A、B、M、N為點(diǎn)，a為直線，下列推理錯(cuò)誤的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC．A∈α，A∈β?α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共線?α、β重合[答案]C[解析]∵A∈α，A∈β.∴A∈α∩β由公理3知α∩β為經(jīng)過A的一條直線而不是A.故α∩β＝A寫法錯(cuò)誤．二、填空題7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與直線CC1[答案]3[解析]與CC1平行的棱有AA1，BB1，DD1.8．空間有四個(gè)點(diǎn)，如果其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，則經(jīng)過其中三個(gè)點(diǎn)的平面有________個(gè)．[答案]1或4[解析]四點(diǎn)共面時(shí)，為一個(gè)平面；四點(diǎn)不共面時(shí)，可作4個(gè)平面．三、解答題9．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為D1C1、C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF求證：(1)D、B、F、E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P、Q、R[解析]如圖(1)∵EF是△D1B1C1的中位線，∴EF∥B1D1在正方體AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF、BD確定一個(gè)平面，即D、B、F、E四點(diǎn)共面．(2)正方體AC1中，設(shè)A1ACC1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α，又Q∈EF，∴Q∈β則Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P點(diǎn)也是α與β的公共點(diǎn)，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C，∴R∈α，且R∈故R∈PQ.所以P、Q、R三點(diǎn)共線．一、選擇題1．若P是兩條異面直線l、m外的任意一點(diǎn)，則()A．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都平行B．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都垂直C．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都相交D．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都異面[答案]B[解析]對(duì)于A，若正確，則l∥m，這與已知矛盾，由此排除A.對(duì)于B，由于l和m有且只有一條公垂線a，而過P有且只有一條直線與直線a平行，故B正確．2．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與A．45° B．60°C．90° D．120°[答案]B[解析]取A1B1的中點(diǎn)M，連接GM，HM.∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，H，G分別為A1B1，B1C1，B1∴△GMH為正三角形，EF∥MG.于是∠MGH為異面直線EF與GH所成的角，即為60°角．二、填空題3．如圖表示一個(gè)正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有________對(duì)．[答案]3[解析]將展開圖恢復(fù)成正方體后，得到AB與CD，EF與GH，AB與GH三對(duì)異面直線．4．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)．[答案]③④三、解答題5．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點(diǎn)，畫出由A1，C1，P三點(diǎn)所確定的平面α[解析]因?yàn)辄c(diǎn)P既在平面α內(nèi)又在平面AB1內(nèi)，所以點(diǎn)P在平面α與平面AB1的交線上．同理，點(diǎn)A1在平面α與平面AB1的交線上．因此，PA1就是平面α與平面AB1的交線．同理可得：交線A1C1與交線PC1所以由A1，C1，P三點(diǎn)所確定的平面α與長(zhǎng)方體表面的交線如圖所示．6．如圖所示，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn).求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．[解析]∵AB∥CD，∴AB，CD確定一個(gè)平面β.又∵AB∩α＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，即E為平面α與平面β的一個(gè)公共點(diǎn)．同理可證，F(xiàn)，G，H為平面α與平面β的公共點(diǎn)．∵兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過公共點(diǎn)的公共直線，∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．7．如圖，兩個(gè)三角形ABC和A′B′C′的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA′、BB′、CC′交于同一點(diǎn)O，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(CO,OC′)＝eq\f(2,3).(1)求證：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值．[解析](1)證明：∵AA′與BB′交于點(diǎn)O，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(2,3)，∴AB∥A′B′.同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)∵A′B′∥AB，A