2024-2025學年高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用 1.2 導數(shù)的計算 1.2.1 1.2.2 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則（一）（教師用書）教案 新人教A版選修2-2

2024-2025學年高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用1.2導數(shù)的計算1.2.11.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則（一）（教師用書）教案新人教A版選修2-2主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用1.2導數(shù)的計算1.2.11.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則（一）

2.教學年級和班級：高中二年級

3.授課時間：2024年9月15日，星期一，第1節(jié)

4.教學時數(shù)：45分鐘

本節(jié)課將教授基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)，以及導數(shù)的四則運算法則。通過具體實例和練習題，使學生掌握導數(shù)的計算方法，并能應用于實際問題中。教學內容緊密聯(lián)系新人教A版選修2-2教材，確保學生所學知識與課本保持一致。核心素養(yǎng)目標1.掌握基本初等函數(shù)導數(shù)公式，提高數(shù)學運算能力，形成邏輯推理素養(yǎng)；

2.理解導數(shù)的物理、幾何意義，培養(yǎng)數(shù)學建模和直觀想象素養(yǎng)；

3.能夠運用導數(shù)的運算法則解決實際問題，提升數(shù)學應用意識和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)；

4.培養(yǎng)學生的團隊合作意識和批判性思維，提高數(shù)學表達和交流能力。教學難點與重點1.教學重點：

-掌握常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式；

-理解并應用導數(shù)的四則運算法則；

-能夠利用導數(shù)公式解決實際函數(shù)的求導問題。

例如，對于冪函數(shù)求導，學生需掌握冪法則：(x^n)'=n*x^(n-1)，并能夠靈活運用到具體的求導問題中。

2.教學難點：

-理解導數(shù)公式的推導過程，特別是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的導數(shù)；

-正確應用導數(shù)的運算法則，特別是在復合函數(shù)求導時的鏈式法則；

-解決實際問題時，能夠識別并運用合適的導數(shù)公式。

以復合函數(shù)求導為例，難點在于理解鏈式法則：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)，學生需要能夠識別內外函數(shù)，并正確應用此法則。此外，對于對數(shù)函數(shù)的導數(shù)，如(ln(x))'=1/x，學生需理解其導數(shù)公式的由來及其在實際問題中的應用。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源準備1.教材：確保每位學生都準備好新人教A版選修2-2數(shù)學教材，提前預習導數(shù)計算相關內容。

2.輔助材料：準備基本初等函數(shù)圖像、導數(shù)計算步驟的圖表、實際應用例子的視頻等多媒體資源，以直觀展示導數(shù)概念和計算方法。

3.實驗器材：本節(jié)課不涉及實驗，無需準備實驗器材。

4.教室布置：將教室劃分為講授區(qū)、討論區(qū)，討論區(qū)用于學生分組討論導數(shù)計算問題，便于學生互動交流。同時，設置投影儀和黑板，方便展示多媒體資源和板書講解。教學過程首先，讓我們回顧一下上節(jié)課的內容。我們學習了導數(shù)的定義和幾何意義，這為我們今天學習導數(shù)的計算打下了基礎。今天，我們將深入探討基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則，這是導數(shù)計算的核心內容。

1.導入新課

（1）通過復習上節(jié)課的內容，引導學生思考：如何計算一個函數(shù)在某一點的導數(shù)？

（2）提出問題：對于基本初等函數(shù)，是否存在一種通用的方法來計算它們的導數(shù)？

2.探究導數(shù)公式

（1）常數(shù)函數(shù)的導數(shù)

我們先來看常數(shù)函數(shù)f(x)=C，其中C為常數(shù)。根據(jù)導數(shù)的定義，我們有：

f'(x)=lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h

=lim（h→0）[C-C]/h

=0

因此，常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0。

（2）冪函數(shù)的導數(shù)

f'(x)=lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h

=lim（h→0）[(x+h)^n-x^n]/h

=n*x^(n-1)

這就是冪函數(shù)的導數(shù)公式。

（3）指數(shù)函數(shù)的導數(shù)

現(xiàn)在，我們來看指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x（其中a為正常數(shù)）的導數(shù)。根據(jù)導數(shù)的定義，我們有：

f'(x)=lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h

=lim（h→0）[a^(x+h)-a^x]/h

=a^x*ln(a)

這就是指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式。

（4）對數(shù)函數(shù)的導數(shù)

最后，我們來研究對數(shù)函數(shù)f(x)=ln(x)的導數(shù)。根據(jù)導數(shù)的定義，我們有：

f'(x)=lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h

=lim（h→0）[ln(x+h)-ln(x)]/h

=1/x

這就是對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式。

3.導數(shù)的運算法則

（1）導數(shù)的四則運算法則

現(xiàn)在我們已經(jīng)掌握了基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，接下來我們要學習如何將這些導數(shù)應用于復合函數(shù)的求導。這就是導數(shù)的四則運算法則。

①加法法則：[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)

②減法法則：[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)

③乘法法則：[f(x)*g(x)]'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

④除法法則：[f(x)/g(x)]'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^2

（2）鏈式法則

對于復合函數(shù)f(g(x))，我們可以使用鏈式法則來求導：

f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)

這個法則在復合函數(shù)求導中非常重要。

4.實際應用

現(xiàn)在，我們來解決一些實際問題，將所學的導數(shù)公式和運算法則運用到實際函數(shù)的求導中。

（1）給出一個實際函數(shù)，要求學生計算其導數(shù)。

（2）討論如何使用導數(shù)解決物理、幾何等領域的實際問題。

5.總結與作業(yè)

（1）總結本節(jié)課所學的導數(shù)公式和運算法則。

（2）布置作業(yè)：課后練習相關題目，加深對導數(shù)計算方法的理解。拓展與延伸1.拓展閱讀材料：

-《微積分學導論》中關于導數(shù)計算的部分，特別是基本初等函數(shù)導數(shù)公式的推導和應用；

-《數(shù)學分析》中關于導數(shù)四則運算法則的詳細解釋和例題；

-《高中數(shù)學競賽教程》中涉及導數(shù)的綜合應用和提高題目。

2.課后自主學習和探究：

-研究教材中的例題和習題，嘗試用不同的方法解決導數(shù)計算問題；

-探索導數(shù)在物理學中的運動學應用，如速度、加速度與位移之間的關系；

-了解導數(shù)在經(jīng)濟領域中的運用，如最優(yōu)化問題、邊際分析等；

-嘗試編寫一些涉及導數(shù)計算的實際問題，與同學進行交流和討論；

-研究導數(shù)在幾何圖形中的意義，如切線斜率、曲率等，并嘗試用導數(shù)解釋一些幾何現(xiàn)象；

-閱讀相關數(shù)學史資料，了解導數(shù)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過程，以及不同數(shù)學家對導數(shù)研究的貢獻。教學評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：學生在課堂上的參與度較高，能夠積極回答問題，主動提出疑問。對于基本初等函數(shù)導數(shù)公式的推導和應用，大多數(shù)學生能夠跟上課堂節(jié)奏，表現(xiàn)出較好的理解和掌握。

2.小組討論成果展示：小組討論環(huán)節(jié)，各小組能夠圍繞導數(shù)的計算方法、實際應用等問題展開深入探討。在成果展示中，各小組能夠清晰地表達自己的觀點，展示出對導數(shù)計算方法的深入理解。

3.隨堂測試：通過隨堂測試，發(fā)現(xiàn)學生在基本初等函數(shù)導數(shù)公式和導數(shù)運算法則的應用方面，大部分學生能夠正確解答。但仍有部分學生在面對復合函數(shù)求導時，對鏈式法則的應用不夠熟練。

4.課后作業(yè)完成情況：課后作業(yè)完成情況良好，大部分學生能夠按照要求完成作業(yè)，對導數(shù)計算方法有了更深入的理解。但也有部分學生作業(yè)中存在錯誤，需要進一步鞏固和復習。

5.教師評價與反饋：針對學生的課堂表現(xiàn)、小組討論、隨堂測試和課后作業(yè)，教師進行以下評價與反饋：

-對于課堂上積極提問和回答問題的學生，給予表揚和鼓勵，激發(fā)學生的學習興趣和積極性；

-對于小組討論中表現(xiàn)優(yōu)秀的小組和個人，給予充分肯定，鼓勵他們在今后的學習過程中繼續(xù)發(fā)揮團隊協(xié)作精神；

-對于隨堂測試和課后作業(yè)中存在的問題，教師應及時給予指導，幫助學生找出錯誤原因，并針對性地進行講解和輔導；

-針對部分學生對鏈式法則掌握不夠熟練的問題，教師可安排課后輔導或增加相關練習，幫助學生鞏固知識點；

-加強與學生的溝通交流，了解他們在學習過程中的需求和困難，不斷調整教學方法，提高教學質量。重點題型整理1.求導數(shù)題型：

-函數(shù)f(x)=x^3的導數(shù)是多少？

答案：f'(x)=3x^2

-函數(shù)g(x)=2^x的導數(shù)是多少？

答案：g'(x)=2^x*ln(2)

2.應用導數(shù)運算法則題型：

-函數(shù)h(x)=(x^2+1)*e^x的導數(shù)是多少？

答案：h'(x)=(2x*e^x)+(x^2+1)*e^x

-函數(shù)m(x)=ln(x^2)的導數(shù)是多少？

答案：m'(x)=2/x

3.復合函數(shù)求導題型：

-函數(shù)F(x)=e^(2x)的導數(shù)是多少？

答案：F'(x)=2*e^(2x)

-函數(shù)G(x)=sin(x^2)的導數(shù)是多少？

答案：G'(x)=2x*cos(x^2)

4.實際應用題型：

-物理學中，物體的速度v(t)=t^2-2t+3，求物體在t=2秒時的加速度。

答案：加速度a(t)=v'(t)=2t-2，所以a(2)=2

-經(jīng)濟學中，成本函數(shù)C(x)=3x^2+2x+10，求當產(chǎn)量x增加1單位時的邊際成本。

答案：邊際成本MC(x)=C'(x)=6x+2，所以MC(x+1)=6(x+1)+2=6x+8

5.幾何應用題型：

-給定曲線y=x^3，求在點(1,1)處的切線方程。

答案：導數(shù)y'=3x^2，在點(1,1)處切線斜率為3，所以切線方程為y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0

-給定曲線y=ln(x)，求在x=e處的曲率半徑。

答案：二階導數(shù)y''=-1/x，在x=e處，曲率半徑ρ=-1/(y''(e))=-e教學反思在上完這節(jié)課后，我對教學過程進行了深入思考?？傮w來說，學生對基本初等函數(shù)導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則的理解和掌握程度較好，但仍有一些地方值得我反思。

首先，我發(fā)現(xiàn)部分學生在推導指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的導數(shù)時，對其中的數(shù)學原理理解不夠深入。在今后的教學中，我需要更加注重引導學生從數(shù)學本質上理解導數(shù)的概念，而不僅僅停留在公式層面。

其次，關于導數(shù)的運算法則，尤其是鏈式法則，學生在實際應用時仍存在困難。我考慮在接下來的課程中，增加一些具體的例子，讓學生通過實際操作來加深對鏈式法則的理解。

另外，我在教學過程中發(fā)現(xiàn)，學生的課堂參與度較高，但部分學生在小組討論中表現(xiàn)不夠積極。為了提高這部分學生的積極性，我計劃在下一節(jié)課中，嘗試采取一些激勵措施，如表揚積極發(fā)言的學生，鼓勵他們?yōu)樾〗M作出貢獻。