2019-2023歷年高考真題分類專題06 立體幾何（解答題）（文科）（解析版）

五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編專題05立體幾何（解答題）立體幾何在文科數(shù)高考中屬于重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，難度中等。解答題主要是求幾何體的體積為主，通常采用的方法是換底換高，對(duì)于求高題目主要是等體積法的應(yīng)用。一、解答題1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考甲卷）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）過(guò)作垂直的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，在中，，所以，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因?yàn)椋?，所以，又，所?2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考乙卷）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2)【分析】(1)由平面得，又因?yàn)椋勺C平面，從而證得平面平面；(2)過(guò)點(diǎn)作，可證四棱錐的高為,由三角形全等可證，從而證得為中點(diǎn)，設(shè)，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平?所以,又因?yàn)椋?，平面?所以平面，又因?yàn)槠矫?所以平面平面.（2）如圖，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因?yàn)槠矫妫矫?所以,,又因?yàn)?，為公共邊，所以與全等，所以.設(shè)，則，所以為中點(diǎn)，,又因?yàn)?所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考乙卷題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)證明平面來(lái)證得平面平面.（2）首先判斷出三角形的面積最小時(shí)點(diǎn)的位置，然后求得到平面的距離，從而求得三棱錐的體積.【詳解】（1）由于，是的中點(diǎn)，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）[方法一]：判別幾何關(guān)系依題意，，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時(shí)，三角形的面積最小過(guò)作，垂足為，在中，，解得，所以，所以過(guò)作，垂足為，則，所以平面，且，所以，所以.[方法二]：等體積轉(zhuǎn)換，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，連接4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考甲卷）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，由平面知識(shí)可知，，依題從而可證平面，平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，即可知四邊形為平行四邊形，于是，最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）再分別取中點(diǎn)，由（1）知，該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐體積的倍，即可解出．【詳解】（1）如圖所示：分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槿鹊恼切危?，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根?jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）[方法一]：分割法一如圖所示：分別取中點(diǎn)，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識(shí)可知，，，，所以該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐體積的倍．因?yàn)?，，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線的距離，，所以該幾何體的體積．[方法二]：分割法二如圖所示：連接AC,BD,交于O，連接OE,OF,OG,OH.則該幾何體的體積等于四棱錐O-EFGH的體積加上三棱錐A-OEH的倍,再加上三棱錐E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點(diǎn)P，連接AP,OP.則EH垂直平面APO.由圖可知，三角形APO,四棱錐O-EFGH與三棱錐E-OAB的高均為EM的長(zhǎng).所以該幾何體的體積5．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考乙卷）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知識(shí)可知，，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出．【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．?）[方法一]：相似三角形法由（1）可知．于是，故．因?yàn)?，所以，即．故四棱錐的體積．6．（2021·全國(guó)·高考甲卷題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先證明為等腰直角三角形，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；（2）將所給的幾何體進(jìn)行補(bǔ)形，從而把線線垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結(jié)論.【詳解】（1）由于，，所以，又AB⊥BB1，，故平面，則，為等腰直角三角形，，.（2）由（1）的結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，如圖所示，取棱的中點(diǎn)，連結(jié)，正方形中，為中點(diǎn)，則，又，故平面，而平面，從而.【點(diǎn)睛】求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來(lái)求體積．對(duì)于空間中垂直關(guān)系（線線、線面、面面）的證明經(jīng)常進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.7．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考Ⅰ卷題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)已知可得，進(jìn)而有≌，可得，即，從而證得平面，即可證得結(jié)論；（2）將已知條件轉(zhuǎn)化為母線和底面半徑的關(guān)系，進(jìn)而求出底面半徑，由正弦定理，求出正三角形邊長(zhǎng)，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）連接，為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓心，平面，在上，，是圓內(nèi)接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；（2）設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱錐的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，求錐體的體積，注意空間垂直間的相互轉(zhuǎn)化，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.8．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考Ⅱ卷）如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由分別為，的中點(diǎn)，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；（2）根據(jù)已知條件求得和到的距離，根據(jù)椎體體積公式，即可求得.【詳解】（1）分別為，的中點(diǎn)，又在等邊中，為中點(diǎn)，則又側(cè)面為矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面又平面平面平面平面平面（2）過(guò)作垂線，交點(diǎn)為，畫出圖形，如圖平面平面，平面平面又為的中心.故：，則，平面平面，平面平面，平面平面又在等邊中即由（1）知，四邊形為梯形四邊形的面積為：，為到的距離，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明線線平行和面面垂直，及其求四棱錐的體積，解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)為求證線面垂直的證法和棱錐的體積公式，考查了分析能力和空間想象能力，屬于中檔題.9．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考Ⅲ卷）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得，根據(jù)長(zhǎng)方體性質(zhì)得,進(jìn)而可證平面,即得結(jié)果；（2）只需證明即可，在上取點(diǎn)使得,再通過(guò)平行四邊形性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）因?yàn)殚L(zhǎng)方體,所以平面,因?yàn)殚L(zhǎng)方體,所以四邊形為正方形因?yàn)槠矫?因此平面,因?yàn)槠矫?所以；（2）在上取點(diǎn)使得,連,因?yàn)?所以所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)樗运狞c(diǎn)共面，所以四邊形為平行四邊形，，所以四點(diǎn)共面，因此在平面內(nèi)【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直判定定理、線線平行判定，考查基本分析論證能力，屬中檔題.10．（2019·全國(guó)·統(tǒng)考高考Ⅱ卷）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）根據(jù)題意求得三棱錐的體積，再求出的面積，利用求得點(diǎn)C到平面的距離，得到結(jié)果.【詳解】（1）連接，，分別為，中點(diǎn)

為的中位線且又為中點(diǎn)，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）在菱形中，為中點(diǎn)，所以，根據(jù)題意有，，因?yàn)槔庵鶠橹崩庵?，所以有平面，所以，所以，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，根據(jù)題意有，則有，解得，所以點(diǎn)C到平面的距離為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定，點(diǎn)到平面的距離的求解，在解題的過(guò)程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋找思路，再者就是利用等積法求點(diǎn)到平面的距離是文科生?？嫉膬?nèi)容.11．（2019·全國(guó)·統(tǒng)考高考Ⅱ卷）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）18【分析】（1）先由長(zhǎng)方體得，平面，得到，再由，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）先設(shè)長(zhǎng)方體側(cè)棱長(zhǎng)為，根據(jù)題中條件求出；再取中點(diǎn)，連結(jié)，證明平面，根據(jù)四棱錐的體積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，平面；平面，所以，又，，且平面，平面，所以平面；

（2）[方法一]【利用體積公式計(jì)算體積】如圖6，設(shè)長(zhǎng)方體的側(cè)棱長(zhǎng)為，則．由（1）可得．所以，即．又，所以，即，解得．取中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)，因?yàn)椋瑒t，所以平面，從而四棱錐的體積：．[方法二]【最優(yōu)解：利用不同幾何體之間體積的比例關(guān)系計(jì)算體積】取的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)．由（Ⅰ）可知，所以．故．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：利用體積公式計(jì)算體積需要同時(shí)計(jì)算底面積和高，是計(jì)算體積的傳統(tǒng)方法；方法二：利用不同幾何體之間的比例關(guān)系計(jì)算體積是一種方便有效快速的計(jì)算體積的方法，核心思想為等價(jià)轉(zhuǎn)化.12．（2019·全國(guó)·統(tǒng)考高考Ⅲ卷）圖1是由矩形和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖2.（1）證明圖2中的四點(diǎn)共面，且平面平面；（2）求圖2中的四邊形的面積.【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)4.【分析】(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦?，和菱形?nèi)部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因?yàn)槭瞧矫娲咕€，所以易證.(2)欲求四邊形的面積，需求出所對(duì)應(yīng)的高，然后乘以即可．【詳解】(1)證：，，又因?yàn)楹驼吃谝黄?，A，C，G，D四點(diǎn)共面.又.平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得證.(2)取的中點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)椋矫鍮CGE，所以平面BCGE，故，由已知，四邊形BCGE是菱形，且得，故平面DEM．因此．在中，DE=1，，故．所以四邊形ACGD的面積為4.【點(diǎn)睛】很新穎的立體幾何考題．首先是多面體粘合問(wèn)題，考查考生在粘合過(guò)程中哪些量是不變的．再者粘合后的多面體不是直棱柱，最后將求四邊形的面積考查考生的空間想象能力.13．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說(shuō)明理由.【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ）見(jiàn)解析.【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)由幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直；(Ⅲ)由題意，利用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點(diǎn).【詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫?所以；因?yàn)榈酌媸橇庑?，所?因?yàn)?平面,所以平面.（Ⅱ）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑吻遥詾檎切?，所?因?yàn)?所以；因?yàn)槠矫?，平?所以；因?yàn)樗云矫?，平?所以平面平面.（Ⅲ）存在點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，滿足平面；理由如下:分別取的中點(diǎn)，連接,在三角形中，且；在菱形中，為中點(diǎn)，所以且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以;又平面，平面，所以平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14．（2019·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設(shè)