用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系+高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

1.4空間向量的應(yīng)用研究平面向量推廣到空間向量向量漸漸成為重要工具立體幾何問題（研究的基本對象是點、直線、平面以及由它們組成的空間圖形）1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系①空間中點的向量表示思考：如何確定一個點在空間的位置?

OP1.空間中點、直線、平面的向量表示②空間中直線的向量表示思考：在空間中給一個定點A和一個定方向(向量),能確定一條直線在空間的位置嗎?用向量表示直線l，就是要利用點A和直線的方向向量表示直線上的任意一點.ABP

l

ABP

lO

取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使

即①式和②式都稱為空間直線的向量表示式。①②結(jié)論：空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定。思考1：給一個定點和兩個定方向,能確定一個平面在空間的位置嗎?空間中平面α的位置可以由α內(nèi)兩條相交直線來確定,αO

P

③空間中平面的向量表示αA

P

O取定空間任意一點O，可以得到，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x，使③式稱為空間平面ABC的向量表示式。③結(jié)論：空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定。CB思考2：給一個定點和一個定方向能確定一個平面在空間的位置嗎?給定空間一點A和一個直線l,則過點A且垂直于直線l的平面是唯一確定的.α

A

lP

一個平面有多少個法向量？它們是什么關(guān)系？如何求平面的一個法向量？α

兩個方程三個未知數(shù)非零向量oxyzABCO1A1B1C1練習(xí):

如圖所示,正方體的棱長為1直線OA的一個方向向量坐標為___________平面OABC的一個法向量坐標為___________平面AB1C的一個法向量坐標為___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)

練習(xí)1:在空間直角坐標系中,已知A(3,0,0)

,B(0,4,0),C(0,0,2)

,

試求平面ABC的一個法向量.

2、空間中直線、平面的平行(1)線線平行

l1l2(2)線面平行

αl

(3)面面平行

αβ例題:

證明“平面與平面平行的判定定理”:若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.αβPba

ACDBC1D1B1A1P

3、空間中直線、平面的垂直(1)線線垂直

αl1l2說明：①兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量相互垂直.②基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.(2)線面垂直

αl1.基底法：用基向量表示直線所在的向量，證直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零；2.法向量法：建系，求直線方向向量及平面法向量的坐標，證直線方向向量與平面法向量共線（坐標法思路1）；總結(jié):證明線面垂直方法3.判定定理法：建系，求直線方向向量的坐標，證直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零（坐標法思路2）.(3)面面垂直

αβ1.判定定理法：利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進而轉(zhuǎn)化為線線垂直；2.法向量法：直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直．利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€方法：總結(jié):證明面面垂直方法

ACDBC1D1B1A1

例題:證明“平面與平面垂直的判定定理”:若一個平面過另一個平面的垂線，則這