考研數(shù)學(xué)二分類模擬198

考研數(shù)學(xué)二分類模擬198一、選擇題1.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定，則曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是______

A．

B．

C．-8ln2+3

D．8ln2+3正確答案：A[解析]當(dāng)x=3時(shí)，根據(jù)等式t2+2t一3，得t=1，t=-3(舍)，因此有

所以過(guò)點(diǎn)x=3(y=ln2)的法線方程為

y-ln2=-8(x-3)，

令y=0，可得法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為故選A。

2.

曲線y=x2與曲線y=alnx(a≠0)相切，則a=______A.4eB.3eC.2eD.e正確答案：C[解析](x2)'=2x=(alnx)'=，可得x2=，由x2=alnx，可得，a=2e。故選C。

當(dāng)兩條曲線在某一點(diǎn)具有公共的切線時(shí)，也稱這兩條曲線相切。曲線y=f(x)與y=g(x)在點(diǎn)x=x0處相切的充要條件是f(x0)=g(x0)，同時(shí)f'(x0)=g'(x0)。

3.

設(shè)區(qū)間[0，4]上y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)______

A.在[0，2]單調(diào)上升且為凸的，在[2，4]單調(diào)下降且為凹的B.在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降，在[1，3]單調(diào)上升，在[0，2]是凹的，[2，4]是凸的C.在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降，在[1，3]單調(diào)上升，在[0，2]是凸的，[2，4]是凹的D.在[0，2]單調(diào)上升且為凹的，在[2，4]單調(diào)下降且為凸的正確答案：B[解析]當(dāng)x∈(0，1)或(3，4)時(shí)，f'(x)＜0，那么f(x)在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降。

當(dāng)x∈(1，3)時(shí)f'(x)＞0，那么f(x)在[1，3]單調(diào)上升。

又f'(x)在[0，2]單調(diào)上升，那么f(x)在[0，2]是凹的；f'(x)在[2，4]單調(diào)下降，那么f(x)在[2，4]是凸的。故選B。

4.

設(shè)f(x)在(0，+∞)二階可導(dǎo)，且滿足f(0)=0，f"(x)＜0(x＞0)，又設(shè)b＞a＞0，則a＜x＜b時(shí)恒有______A.af(x)＞xf(a)B.bf(x)＞xf(b)C.xf(x)＞bf(b)D.xf(x)＞af(a)正確答案：B[解析]將選項(xiàng)A、B分別改寫(xiě)成

于是，若能證明或xf(x)的單調(diào)性即可。

令

g(x)=xf'(x)-f(x)，

則g(0)=0，g'(x)=xf"(x)＜0(x＞0)，因此

g(x)＜0(x＞0)，

所以有

故在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)減小。

因此當(dāng)a＜x＜b時(shí)，故選B。

5.

設(shè)則______

A．f(x)在[1，+∞)單調(diào)增加

B．f(x)在[1，+∞)單調(diào)減少

C．f(x)在[1，+∞)為常數(shù)

D．f(x)在[1，+∞)為常數(shù)0正確答案：C[解析]按選項(xiàng)要求，先求f'(x)。

又f(x)在[1，+∞)連續(xù)，則f(x)=常數(shù)=f(1)=。故選C。

6.

設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f'(0)＞0，則存在δ＞0，使得______A.f(x)在(0，δ)內(nèi)單調(diào)增加B.f(x)在(-δ，0)內(nèi)單調(diào)減少C.對(duì)任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)D.對(duì)任意的x∈(-δ，0)，有f(x)＞f(0)正確答案：C[解析]由導(dǎo)數(shù)定義，知根據(jù)極限的保號(hào)性，存在δ＞0，使對(duì)任意x∈，有

于是當(dāng)x∈(-δ，0)時(shí)，有f(x)＜f(0)；當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，有f(x)＞f(0)。故選C。

(1)要注意的是，題目中僅僅給出了函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，不能得出函數(shù)在該點(diǎn)附近的單調(diào)性。

(2)極限的局部保號(hào)性：設(shè)。若A＞0(或A＜0)，則存在δ＞0，當(dāng)0＜|x-x0|＜δ時(shí)，f(x)＞0(或f(x)＜0)。

7.

設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖形如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖形為_(kāi)_____

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]從題干圖形可見(jiàn)，在y軸的左側(cè)，曲線y=f(x)是嚴(yán)格單調(diào)增加的，因此當(dāng)x＜0時(shí)，一定有f'(x)＞0，對(duì)應(yīng)y=f'(x)圖形必在x軸的上方，由此可排除A、C兩項(xiàng)；

又y=f(x)的圖形在y軸右側(cè)靠近y軸部分是單調(diào)增，所以在這一段內(nèi)一定有f'(x)＞0，對(duì)應(yīng)y=f'(x)的圖形必在x軸的上方，進(jìn)一步可排除B項(xiàng)。故選D。

凹凸性本質(zhì)上就是導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，可以通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷，也可以直接通過(guò)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷。請(qǐng)考生自行檢驗(yàn)D選項(xiàng)中導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與y=f(x)凹凸性的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否正確。

8.

設(shè)常數(shù)k＞0，函數(shù)在(0，+∞)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____A.3B.2C.1D.0正確答案：B[解析]因令f'(x)=0，得唯一駐點(diǎn)x=e，f(x)在區(qū)間(0，e)與(e，+∞)內(nèi)都具有單調(diào)性。又f(e)=k＞0，而

因此根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，f(x)在(0，e)與(e，+∞)內(nèi)分別有唯一零點(diǎn)。故選B。

9.

設(shè)f(x)=|x(1-x)|，則______A.x=0是f(x)的極值點(diǎn)，但(0，0)不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。B.x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，但(0，0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。C.x=0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0，0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。D.x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，0)也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。正確答案：C[解析]一般情況下，討論分段函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)，主要考慮分段點(diǎn)處。因此，本題只需討論x=0兩邊f(xié)'(x)，f"(x)的符號(hào)。可以選擇區(qū)間(-1，1)來(lái)討論。

可見(jiàn)f'(x)在x=0兩邊異號(hào)，因此(0，0)是極值點(diǎn)；f"(x)在x=0兩邊異號(hào)，所以(0，0)也是曲線的拐點(diǎn)。故選C。

10.

曲線y=(x-1)2(x-3)2的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____A.0B.1C.2D.3正確答案：C[解析]y'=2(x-1)(x-3)2+2(x-1)2(x-3)=4(x-1)(x-2)(x-3)，

y"=4[(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)]

=4(3x2-12x+11)，

y'''=24(x-2)，

令y"=0，即3x2-12x+11=0，因?yàn)榕袆e式Δ=b2-4ac=122-4·3·11=12＞0，所以y"=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且y"(2)=3·22-12·2+11=-1≠0，所以兩個(gè)實(shí)根不為2，因此在使y"=0這兩點(diǎn)處，三階導(dǎo)數(shù)y'''≠0[一般地，若f"(x0)=0，且f"(x0)≠0，則點(diǎn)(x0，f(x0))-定是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)]，因此曲線有兩個(gè)拐點(diǎn)，故選C。

或根據(jù)y"=4(3x2-12x+11)是一條拋物線，且與x軸有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)，所以在兩個(gè)交點(diǎn)的左右y"符號(hào)不相同，滿足拐點(diǎn)的定義，故選C。

11.

設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有______

A.一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)B.兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)C.兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)D.三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)正確答案：C[解析]由導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，有3個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，而x=0是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。三個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)不同，因此為極值點(diǎn)，且兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)；在x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，因此x=0為極大值點(diǎn)，即f(x)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，故選C。

判斷極值的第一充分條件實(shí)質(zhì)上就是單調(diào)性定理的推論，不需要特別記憶，只要借助單調(diào)性進(jìn)行分析即可得到某點(diǎn)是不是極值點(diǎn)、是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。

二、填空題1.

曲線y=lnx上與直線x+y=1垂直的切線方程為_(kāi)_____。正確答案：y=x-1[解析]由題干可知，所求切線的斜率為1。

由得x=1，則切點(diǎn)為(1，0)，故所求的切線方程為y-0=1·(x-1)，即y=x-1。

2.

曲線L的極坐標(biāo)方程是r=θ，則L在點(diǎn)處的切線的直角坐標(biāo)方程是______。正確答案：[解析]由直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系對(duì)應(yīng)于點(diǎn)且切線斜率為

所以切線方程為

3.

曲線在(0，0)處的切線方程為_(kāi)_____。正確答案：y=2x[解析]

所以因此切線方程為y=2x。

4.

曲線上對(duì)應(yīng)于t=1點(diǎn)處的法線方程為_(kāi)_____。正確答案：[解析]當(dāng)t=1時(shí)，則

由此可得法線的斜率為-1，因此可得法線方程為

即

5.

曲線y=x2+2lnx在其拐點(diǎn)處的切線方程是______。正確答案：y=4x-3[解析]函數(shù)y(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，

令y"=0，解得x=1，而y'''(1)≠0，故點(diǎn)(1，1)為曲線唯一的拐點(diǎn)。

曲線在該點(diǎn)處切線的斜率y'(1)=4，故切線方程為y=4x-3。

判斷拐點(diǎn)的第二充分條件：設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間，上連續(xù)，(x0z。-δ，x0+δ)I，f(x)在區(qū)間(x0-δ，x0+δ)內(nèi)三階可導(dǎo)。若f"(x0)=0，且f'''(x0)≠0，則點(diǎn)(x0，f(x0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。

6.

設(shè)f(x)在x=0處連續(xù)，且則曲線f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為_(kāi)_____。正確答案：[解析]當(dāng)x→0時(shí)，由極限的運(yùn)算法則可得

從而又因?yàn)閒(x)在x=0處連續(xù)，所以

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得

所以曲線f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為

7.

設(shè)曲線y=f(x)與y=x2-x在點(diǎn)(1，0)處有公共的切線，則=______。正確答案：-2[解析]根據(jù)導(dǎo)數(shù)的極限表示和曲線在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

8.

已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)l以2cm/s的速率增加，寬w以3cm/s的速率增加。則當(dāng)l=12cm，w=5cm時(shí)，它的對(duì)角線增加速率為_(kāi)_____。正確答案：3cm/s[解析]設(shè)l=x(t)，w=y(t)，對(duì)角線增加的速率為s(t)。

根據(jù)題意，在t=t0時(shí)，x(t0)=12，y(t0)=5，且x'(t0)=2，y'(t0)=3。

又因

所以

故對(duì)角線增長(zhǎng)速率為3cm/s。

9.

設(shè)函數(shù)y(x)由參數(shù)方程確定，則曲線y=y(x)為凸函數(shù)的x取值范圍為_(kāi)_____。正確答案：(-∞，1)[考點(diǎn)]本題主要考查參數(shù)方程曲線的凹凸性。[解析]

令則t＜0。

又因x=t3+3t+1是單調(diào)增加的，在t＜0時(shí)，x∈(-∞，1)，故x∈(-∞，1)時(shí)，曲線上凸。

10.

設(shè)y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1確定的，則y=y(x)的極值點(diǎn)是______。正確答案：x=1[解析]方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得

y'(3y2-2y+x)=x-y，

(*)

令y'=0，有x=y，代入2y3-2y2+2xy-x2=1中，可得

(x-1)(2x2+x+1)=0，

那么x=1是唯一的駐點(diǎn)。

下面判斷x=1是否是極值點(diǎn)。

對(duì)(*)式求導(dǎo)得

y"(3y2-2y+x)+y'(3y2-2y+x)'x=1-y'。

把x=y=1，y'(1)=0代入上式，得。故y(x)只有極值點(diǎn)x=1，且它是極小值點(diǎn)。

11.

設(shè)則f(x)的極值為_(kāi)_____，f(x)的拐點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____。正確答案：[解析]對(duì)f(x)求導(dǎo)，f'(x)=e-x4·2x=0，得x=0。

當(dāng)x＜0時(shí)，f'(x)＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f'(x)＞0。所以極小值點(diǎn)為x=0，極小值為f(0)=0。

又因f"(x)=2e-x4(1-4x4)=0，可得

當(dāng)時(shí)，f"(x)＜0；當(dāng)時(shí)，f"(x)＞0。故拐點(diǎn)坐標(biāo)為

三、解答題1.

設(shè)f(x)為[-a，a]上的連續(xù)偶函數(shù)，且f(x)＞0，令

(Ⅰ)證明F'(x)單調(diào)增加；

(Ⅱ)當(dāng)x取何值時(shí)，F(xiàn)(x)取最小值；

(Ⅲ)當(dāng)F(x)的最小值為f(a)-a2-1時(shí)，求函數(shù)f(x)。正確答案：解：(Ⅰ)由已知

所以f"(x)=2f(x)＞0，因此F'(x)為單調(diào)增加的函數(shù)。

(Ⅱ)因?yàn)榍襢(x)為偶函數(shù)，所以F'(0)=0，又因?yàn)閒"(0)＞0，所以x=0為F(x)的唯一極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，且最小值為

(Ⅲ)由兩邊對(duì)a求導(dǎo)得

2af(a)=f'(a)-2a，

于是

f'(x)-2xf(x)=2x，

解得

f(x)=(∫2xe-∫2xdxdx+C)e-∫-2xdx=Cex2-1，

在中，令a=0，得f(0)=1，則C=2，于是f(x)=2ex2-1。

2.

已知f(x)=ax3+x2+2在x=0和x=-1處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。正確答案：解：f'(x)=3ax2+2x，由題意f'(0)=0，f'(-1)=3a-2=0，由此可得于是f'(x)=2x2+2x，f"(x)=4x+2，令f"(x)=0，則可得列表討論函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖形的凹凸性，如下表所示：

由此可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞，-1)和(0，+∞)，單調(diào)減區(qū)間是(-1，0)，極大值為極小值為f(0)=2，拐點(diǎn)是

3.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，求y=y(x)的極值和曲線y=y(x)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。正確答案：解：已知

令得t=±1。當(dāng)t=1時(shí)，當(dāng)t=-1時(shí)，x=-1，y=1。

令得t=0，此時(shí)

列表如下：

由此可知，函數(shù)y(x)的極大值為y(-1)=1，極小值為曲線y=y(x)凹區(qū)間為凸區(qū)間為曲線y=y(x)的拐點(diǎn)為

4.

設(shè)函數(shù)求f'(x)，并求f(x)的最小值。正確答案：解：當(dāng)0＜x＜1，有

x≥1時(shí)，則

由導(dǎo)數(shù)的定義可知f'(1)=2。故

易知0＜x＜時(shí)，f'(x)＜0；時(shí)，f'(x)＞0。故f(x)在[0，+∞)上的最小值為

5.

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，并求該函數(shù)圖形的漸近線。正確答案：解：由已知得，

令y'=0，得駐點(diǎn)x1=0，x2=-1。

列表如下：x(-∞，-1)-1(-1，0)0(0，+∞)y'+0-0+y↗↘↗

由上表可知，為極小值，為極大值。

由于

所以此函數(shù)圖形無(wú)水平漸近線；同理，函數(shù)圖形也沒(méi)有垂直漸近線。因此令

綜上可知，函數(shù)圖形的漸近線為y=a1x+b1=eπ(x-2)及y=a2x+b2=x-2，共兩條。