8.4.1平面課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第八章立體幾何初步8.4.1平面人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解平面的概念,會用圖形與字母表示平面.2.能用符號語言描述空間中的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.3.能用圖形、文字、符號三種語言描述三個(gè)基本事實(shí)(基本事實(shí)也稱公理)及其推論.4.理解三個(gè)基本事實(shí)及推論的地位和作用.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)1

平面

平面的描述性概念幾何里所說的“平面”,就是從生活中一些物體中抽象出來的.平面是向四周

的

我們通常用矩形的直觀圖,平行四邊形表示平面畫法水平放置常把平行四邊形的一邊畫成

豎直放置常把平行四邊形的一邊畫成

無限延展橫向豎向記法(1)用希臘字母α,β,γ等表示平面,如平面α、平面β、平面γ等,并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角內(nèi)(2)用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱,如平面ABCD(3)用代表平面的平行四邊形的相對的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱,如平面AC或者平面BD名師點(diǎn)睛平面的概念可從以下三個(gè)方面理解(1)“平面”是平的;(2)“平面”無厚度;(3)“平面”可以向四周無限延展.過關(guān)自診1.判斷下列說法是否正確,并說明理由.(1)平面的形狀是平行四邊形.(2)任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面.(3)兩個(gè)平面相交的畫法中,一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮住時(shí),被遮部分的線段應(yīng)畫成虛線或不畫.(4)三角形、圓、平行四邊形都可以表示平面.解

(1)不正確.平面常用平行四邊形表示,但不是平行四邊形,平面是無限延展的.(2)不正確.平面圖形與平面是兩個(gè)不同的概念,平面圖形具有大小、面積等屬性,而平面則沒有,平面是無限延展的,不可度量的.(3)正確.符合直觀圖畫法的規(guī)則.(4)正確.三角形、圓、平行四邊形都是平面圖形,都可以表示平面.2.如何理解平面的概念?提示

平面具有以下三方面的特征:(1)“平面”處處是平的;(2)“平面”沒有厚度;(3)“平面”是向四面八方無限延展的.知識點(diǎn)2

點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

A∈αl?α

l?αα∩β=l過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi),可記作A∈α.(

)(2)直線l在平面α內(nèi),可記作l∈α.(

)(3)若A∈a,a?α,則A∈α.(

)2.用集合符號表示點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系有什么規(guī)律?√×√提示

我們將點(diǎn)看作元素,直線和平面看作集合,所以點(diǎn)在(不在)直線、平面內(nèi)用符號∈(?)表示,直線在(不在)平面內(nèi)用?(?)表示.知識點(diǎn)3

平面的基本性質(zhì)1.平面的基本性質(zhì)基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號作用基本事實(shí)1過不在一條直線上的

,有且只有一個(gè)平面

A,B,C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A,B,C∈α(1)確定平面的依據(jù);(2)判定點(diǎn)、線共面三個(gè)點(diǎn)

基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號作用基本事實(shí)2如果一條直線上的

在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α判定直線是否在平面內(nèi)基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有

條過該點(diǎn)的公共直線

P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l(1)判定兩個(gè)平面相交的依據(jù);(2)判定點(diǎn)在直線上兩個(gè)點(diǎn)

一2.三個(gè)推論

推論內(nèi)容圖形推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面

推論2經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面

推論3經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)過空間中的三個(gè)點(diǎn)只能作一個(gè)平面.(

)(2)兩個(gè)不重合的平面最多有兩個(gè)公共點(diǎn).(

)(3)兩個(gè)不重合的平面如果有三個(gè)公共點(diǎn),那么這三個(gè)公共點(diǎn)一定在一條直線上.(

)××√2.(1)如何理解基本事實(shí)1中的“有且只有一個(gè)”?(2)兩個(gè)不重合的平面可能存在有限個(gè)公共點(diǎn)嗎?(3)如果兩個(gè)不重合的平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn),那么這些公共點(diǎn)有什么特點(diǎn)?(1)提示

這里的“有”是說平面存在,“只有一個(gè)”是說平面唯一,本公理強(qiáng)調(diào)的是存在性和唯一性兩個(gè)方面,因此“有且只有一個(gè)”,必須完整地使用,不能僅用“只有一個(gè)”來代替“有且只有一個(gè)”,否則就沒有表達(dá)存在性.確定一個(gè)平面中的“確定”是“有且只有一個(gè)”的同義詞,也就是存在性和唯一性這兩個(gè)方面的,這個(gè)術(shù)語今后學(xué)習(xí)中會經(jīng)常出現(xiàn).(2)提示

不能.要么沒有公共點(diǎn),要么有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).(3)提示

這些公共點(diǎn)落在同一條直線上.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一證明點(diǎn)、線共面【例1】

證明:兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線共面.已知:如圖所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求證:直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).證明

方法一(納入平面法)∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2?α,∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l(xiāng)3?α.∴直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).方法二(輔助平面法)∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1,l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3=B,∴l(xiāng)2,l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2,l2?α,∴A∈α.∵A∈l2,l2?β,∴A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).∴平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).變式探究如果把本例中的“不過同一點(diǎn)”刪掉,那么這三條直線是否共面?解

不一定共面.①若三條直線兩兩相交,且過同一個(gè)點(diǎn).這三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)相交,如圖.這三條直線不共面.如圖.②若三條直線兩兩相交,且不過同一個(gè)點(diǎn),由【例1】可知,這三條直線共面.規(guī)律方法

證明點(diǎn)、線共面問題常用方法有:注意:在遇到文字?jǐn)⑹龅慕Y(jié)論時(shí),一定要先根據(jù)題意畫出圖形,結(jié)合圖形寫出已知與求證,再證明.探究點(diǎn)二證明點(diǎn)共線【例2】

已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如圖.求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.證明

(方法一)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由基本事實(shí)3可知點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上,同理可證Q,R也在平面ABC與平面α的交線上,∴P,Q,R三點(diǎn)共線.(方法二)∵AP∩AR=A,∴直線AP與直線AR確定平面APR.又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC?平面APR.∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三點(diǎn)共線.規(guī)律方法

點(diǎn)共線:證明多點(diǎn)共線通常利用基本事實(shí)3,即兩相交平面交線的唯一性,通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi),證明點(diǎn)在相交平面的交線上;也可先選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,再證明其他點(diǎn)也在其上.變式訓(xùn)練1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)A1C∩平面ABC1D1=E.則B,E,D1三點(diǎn)的關(guān)系為

.(填“共線”或“不共線”)

共線

解析

如圖所示,連接A1B,BD1,CD1.∵A1C∩平面ABC1D1=E,∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.∵A1C?平面A1BCD1,∴E∈平面A1BCD1.∵平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,∴E∈BD1,∴B,E,D1三點(diǎn)共線.探究點(diǎn)三證明線共點(diǎn)【例3】

如圖所示,三個(gè)平面α,β,γ兩兩相交于不同的直線,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直線a和b不平行,求證:a,b,c三條直線必過同一點(diǎn).證明

∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a?γ,b?γ.∵直線a和b不平行,∴a,b必相交.如圖所示,設(shè)a∩b=P,則P∈a,P∈b.∵a?β,b?α,∴P∈β,P∈α.又α∩β=c,∴P∈c,即交線c經(jīng)過點(diǎn)P.∴a,b,c三條直線必過同一點(diǎn).規(guī)律方法

證明三線共點(diǎn)常用的方法是先說明兩條直線共面且相交于一點(diǎn),再說明這個(gè)點(diǎn)在以另一條直線為交線的兩個(gè)平面內(nèi),即該點(diǎn)在另一條直線上,則可得三線共點(diǎn).變式訓(xùn)練2如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB和CB上的點(diǎn),G,H分別是CD和AD上的點(diǎn),HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求證:EH,BD,FG三條直線相交于同一點(diǎn).證明

延長EH,FG,不妨設(shè)EH∩FG=O,∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,∴四邊形EFGH為梯形,∴EH,FG共面,且EH與FG不平行.∵O∈EH,EH?平面ABD,∴O∈平面ABD,∵O∈FG,FG?平面BCD,∴O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,∴EH,BD,FG三條直線相交于同一點(diǎn)O.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)平面的概念.(2)基本事實(shí).(3)共面、共線、共點(diǎn)問題.2.方法歸納:同一法、納入法.3.常見誤區(qū):自然語言、符號語言、圖形語言的相互轉(zhuǎn)換出錯(cuò).成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一·2023山東煙臺期末]下列幾何元素可以確定唯一平面的是(

)A.三個(gè)點(diǎn) B.圓心和圓上兩點(diǎn)C.梯形的兩條邊 D.一個(gè)點(diǎn)和一條直線C解析

根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對A,三個(gè)不共線的點(diǎn)才能確定唯一平面,A錯(cuò)誤;對B,當(dāng)圓上的兩點(diǎn)和圓心共線時(shí),三個(gè)點(diǎn)不能確定唯一平面,B錯(cuò)誤;對C,梯形的任意兩條邊都能確定梯形所在的平面,所以確定的平面唯一,C正確;對D,當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí),這個(gè)點(diǎn)和直線不能確定唯一平面,D錯(cuò)誤.故選C.12345678910111213141516172.[探究點(diǎn)二]空間四點(diǎn)A,B,C,D共面而不共線,那么這四點(diǎn)中(

)A.必有三點(diǎn)共線 B.必有三點(diǎn)不共線C.至少有三點(diǎn)共線 D.不可能有三點(diǎn)共線B解析

如圖1和圖2所示,A,C,D均不正確,只有B正確.圖1圖212345678910111213141516173.[探究點(diǎn)一]已知A,B是點(diǎn),a,b,l是直線,α是平面,如果a?α,b?α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列關(guān)系中成立的是(

)A.l?α B.l∈αC.l∩α=A D.l∩α=BA解析

由基本事實(shí)2或畫圖可知:l?α.12345678910111213141516174.[探究點(diǎn)一]已知α,β為平面,A,B,M,N為點(diǎn),a為直線,下列推理錯(cuò)誤的是(

)A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MNC.A∈α,A∈β?α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共線?α,β重合C解析

兩平面有公共點(diǎn),則兩平面有一條交線,故C錯(cuò).12345678910111213141516175.[探究點(diǎn)二]平面α∩平面β=l,點(diǎn)A,B∈α,點(diǎn)C∈平面β且C?l,AB∩l=R,設(shè)過點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)的平面為平面γ,則β∩γ=(

)A.直線AC B.直線BCC.直線CR D.以上都不對C解析

根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,因?yàn)辄c(diǎn)C∈β,且點(diǎn)C∈γ,所以C∈β∩γ.因?yàn)辄c(diǎn)R∈AB,所以點(diǎn)R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,從而β∩γ=CR.12345678910111213141516176.[探究點(diǎn)一](多選題)下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.不共面的四點(diǎn)中,任意三點(diǎn)不共線B.三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)C.有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合D.依次首尾相接的四條線段不一定共面BC解析

由基本事實(shí)易知選項(xiàng)A,D正確;對于選項(xiàng)B,如正方體中,具有同一頂點(diǎn)的三條棱不在同一平面內(nèi),故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)C,三個(gè)不同的公共點(diǎn)可在兩平面的交線上,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.12345678910111213141516177.[探究點(diǎn)一]三條直線兩兩平行,則過其中任意兩條直線最多共可確定

個(gè)平面.

3解析

當(dāng)三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)時(shí),則可確定一個(gè)平面;當(dāng)三條直線不在同一個(gè)平面內(nèi)時(shí),如三棱柱三條側(cè)棱所在直線,此時(shí)可確定三個(gè)平面.12345678910111213141516178.[探究點(diǎn)二]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N,E,F分別是棱CD,AB,DD1,AA1上的點(diǎn),若MN與EF交于點(diǎn)Q,求證:D,A,Q三點(diǎn)共線.1234567891011121314151617證明

∵M(jìn)N∩EF=Q,∴Q∈直線MN,Q∈直線EF.又M∈直線CD,N∈直線AB,CD?平面ABCD,AB?平面ABCD,∴M,N∈平面ABCD,∴MN?平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理,可得EF?平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,∴Q∈直線AD,即D,A,Q三點(diǎn)共線.12345678910111213141516179.[探究點(diǎn)二]如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn),AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(1)D,B,F,E四點(diǎn)共面;(2)若A1C交平面DBEF于點(diǎn)R,則P,Q,R三點(diǎn)共線.1234567891011121314151617證明

(1)∵EF是△D1B1C1的中位線,∴EF∥B1D1.在正方體AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD.∴EF,BD確定一個(gè)平面,即D,B,F,E四點(diǎn)共面.(2)正方體AC1中,設(shè)A1ACC1確定的平面為α,又設(shè)平面BDEF為β.∵A1C1∩EF=Q,∴Q∈A1C1,Q∈EF,∴Q∈α,Q∈β.則Q是α與β的公共點(diǎn).同理,P是α與β的公共點(diǎn).∴α∩β=PQ.又A1C交平面β于點(diǎn)R,∴R∈A1C.∴R∈α,且R∈β,則R∈PQ,故P,Q,R三點(diǎn)共線.1234567891011121314151617B級關(guān)鍵能力提升練10.在空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點(diǎn),若EF與HG交于點(diǎn)M,則(

)A.點(diǎn)M一定在直線AC上B.點(diǎn)M一定在直線BD上C.點(diǎn)M可能在直線AC上,也可能在直線BD上D.點(diǎn)M不在直線AC上,也不在直線BD上A解析

由題意得EF?平面ABC,HG?平面ACD,又EF∩HG=M,故M∈平面ABC,且M∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以點(diǎn)M一定在直線AC上.123456789101112131415161711.已知平面α與平面β,γ都相交,則這三個(gè)平面的交線可能有(

)A.1條或2條 B.2條或3條C.1條或3條 D.1條或2條或3條D解析

當(dāng)α過平面β與γ的交線時(shí),這三個(gè)平面有1條交線;當(dāng)β與γ平行時(shí),α與β和γ各有一條交線,共有2條交線;當(dāng)β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c時(shí),有3條交線.123456789101112131415161712.(多選題)如圖,ABCD-A1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是(

)A.A,M,O三點(diǎn)共線B.A,M,O,A1四點(diǎn)共面C.A,O,C,M四點(diǎn)共面D.B,B1,O,M四點(diǎn)共面ABC解析

因?yàn)锳,M,O三點(diǎn)既在平面AB1D1內(nèi),又在平面AA1C內(nèi),故A,M,O三點(diǎn)共線,從而易知ABC均正確.123456789101112131415161713.把下列符號敘述所對應(yīng)的圖形的序號填在題后橫線上.(1)A?α,a?α:

;

(2)α∩β=a,P?α且P?β:

;

(3)a?α,a∩α=A:

;

(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:

.

③

④

①

②

123456789101112131415161714.已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線l,m,n.“l(fā),m,n共面”是“l(fā),m,n兩兩相交”的

條件.(從“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選擇一個(gè)填入)

必要不充分

解析

空間中的三條直線l,m,n不過同一個(gè)點(diǎn),當(dāng)l,m,n共面時(shí),l,m,n不一定兩兩相交,也可能兩兩平行,所以充分性不成立;當(dāng)三條直線l,m,n兩兩相交時(shí),直線l,m,n一定共面,所以必要性成立.故“l(fā),m,n共面”是“l(fā),m,n兩兩相交”的必要不充分條件.123456789101112131415161715.如圖,已知在四面體A-BCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別是BC,CD上的點(diǎn),且

=2.求證:直線EG,FH,AC相交于同一點(diǎn).1234567891011121314151617證明

∵E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),∴EF∥BD,且EF=BD.∴GH∥BD,且GH=BD,∴EF∥GH,且EF>GH,∴四