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6.4.1極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差1.經(jīng)歷表示數(shù)據(jù)離散程度的幾個(gè)量的探索過(guò)程;2.了解刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度的三個(gè)量——極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差;3.能借助計(jì)算器計(jì)算極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,并能運(yùn)用解決情境中的問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)某校食堂為了師生餐食健康和營(yíng)養(yǎng)均衡,挑選了甲、乙兩家供應(yīng)商考查,分別對(duì)兩廠生產(chǎn)的雞腿進(jìn)行抽查.已知雞腿的規(guī)格均為75g,價(jià)格相同.新知學(xué)習(xí)質(zhì)檢員分別從甲、乙兩廠的產(chǎn)品中抽樣調(diào)查了20只雞腿,質(zhì)量(單位:g)如下:甲廠:75,74,74,76,73,76,75,77,77,74,74,75,75,76,73,76,73,78,77,72乙廠:75,78,72,77,74,75,73,79,72,75,80,71,76,77,73,78,71,76,73,75這些數(shù)據(jù)表示成如下圖所示.
解:(1)甲廠雞腿平均質(zhì)量=(78+77×3+76×4+75×4+74×4+73×3+72)÷20=75g,乙廠雞腿平均質(zhì)量=(80+79+78×2+77×2+76×2+75×4+74+73×3+72×2+71×2)÷20=75g(1)你能從圖中估計(jì)出甲、乙兩廠被抽取雞腿的平均質(zhì)量是多少嗎?答:甲、乙兩廠被抽取雞腿的平均質(zhì)量都是75g.(2)從甲、乙兩廠抽取的雞腿的平均質(zhì)量是多少?并在圖中畫(huà)出縱坐標(biāo)等于平均質(zhì)量的直線(xiàn).
答:甲、乙兩廠被抽取雞腿的平均質(zhì)量都是75g.解:(2)甲廠雞腿平均質(zhì)量=(78+77×3+76×4+75×4+74×4+73×3+72)÷20=75g,
乙廠雞腿平均質(zhì)量=(80+79+78×2+77×2+76×2+75×4+74+73×3+72×2+71×2)÷20=75g(3)從甲廠抽取的這20只雞腿質(zhì)量的最大值是多少?最小值又是多少?它們相差幾克?乙廠呢?解:(3)甲廠:最大值78g,最小值72g,相差6g;
乙廠:最大值80g,最小值71g,相差9g;(4)如果只考慮雞腿的規(guī)格,你認(rèn)為該校食堂應(yīng)購(gòu)買(mǎi)哪個(gè)廠的雞腿?請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(4)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)甲廠的.
平均質(zhì)量只能反映總體的集中趨勢(shì),并不能反映個(gè)體的變化情
況.從圖中看,甲廠的產(chǎn)品更接近規(guī)格75g.實(shí)際生活中,除了關(guān)心數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)以外,人們往往還關(guān)注數(shù)據(jù)的離散程度,即它們相對(duì)集中趨勢(shì)的偏離情況.一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差(稱(chēng)為極差),就是刻畫(huà)離散程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量.極差:指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差.它是刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量.歸納總結(jié)解:丙廠雞腿平均質(zhì)量=(79+78×2+77×3+76×3+75×2+74×4+73×2+72×3)÷20=75.1g.最大值79g,最小值72g,相差7g;答:丙廠這20只雞腿質(zhì)量的平均數(shù)是75.1g,極差是7g;此時(shí)丙廠也參與了競(jìng)爭(zhēng),同樣也從該廠抽樣調(diào)查了20只雞腿,它們的質(zhì)量數(shù)據(jù)如圖所示.(1)丙廠這20只雞腿質(zhì)量的平均數(shù)和極差分別是多少?丙廠質(zhì)量/g(2)如何刻畫(huà)丙廠這20只雞腿的質(zhì)量與其平均數(shù)的差距?分別求出甲、丙兩廠的20只雞腿質(zhì)量與其相應(yīng)平均數(shù)的差距.(2)可分別用這20只雞腿的質(zhì)量與其平均數(shù)差的絕對(duì)值刻畫(huà):甲廠的差距:0,1,1,1,2,1,0,2,2,1,1,0,0,1,2,1,2,3,2,3丙廠的差距:0.1,1.1,2.1,2.9,3.1,0.9,1.1,0.9,1.1,0.1,1.1,3.1,2.1,3.1,2.9,0.9,1.9,1.9,1.9,3.9丙廠質(zhì)量/g(3)在甲、丙兩廠中,你認(rèn)為哪個(gè)廠的雞腿質(zhì)量更符合要求?為什么?甲廠差距之和=0+1+1+1+2+1+0+2+2+1+1+0+0+1+2+1+2+3+2+3=26;丙廠差距之和=0.1+1.1+2.1+2.9+3.1+0.9+1.1+0.9+1.1+0.1+1.1+3.1+2.1+3.1+2.9+0.9+1.9+1.9+1.9+3.9=36.2答:甲廠的雞腿更符合要求.數(shù)學(xué)上,數(shù)據(jù)的離散程度還可以用方差或標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà).方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù),即:其中,
是這一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn
的平均數(shù),s2
是方差
.標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的算術(shù)平方根.一般來(lái)說(shuō),一組數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差越小,這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定.歸納總結(jié)問(wèn)題1:
計(jì)算出從甲廠抽取的20只雞腿質(zhì)量的方差.
甲廠20只雞腿質(zhì)量的方差:解:甲廠20只雞腿的平均質(zhì)量:=2.5.=75g.甲廠:7574747673767577777474757576737673787772問(wèn)題2:(1)計(jì)算從丙廠抽取的20只雞腿質(zhì)量的方差.(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果,你認(rèn)為哪家的產(chǎn)品更符合規(guī)格要求?解:(1)丙廠20只雞腿部的平均質(zhì)量為75.1g,則丙廠20只雞腿質(zhì)量的方差:=4.39.(2)答:因?yàn)閟2甲<s2丙,甲廠產(chǎn)品更符合規(guī)定.問(wèn)題3:你能求出丙廠的標(biāo)準(zhǔn)差嗎?使用計(jì)算器可以很方便地計(jì)算一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差,其大體步驟為:1.進(jìn)入統(tǒng)計(jì)計(jì)算狀態(tài)2.輸入數(shù)據(jù)3.按鍵得出標(biāo)準(zhǔn)差.請(qǐng)?jiān)谀阕约菏褂玫挠?jì)算器上探索計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的具體步驟.注意:計(jì)算器一般不具有求方差的功能,可以先求出標(biāo)準(zhǔn)差,再平方即可求出方差.1.不同品牌的計(jì)算器的操作步驟有所不同,操作時(shí)需要參閱計(jì)算器的使用說(shuō)明書(shū).2.通常需要先按動(dòng)有關(guān)鍵,使計(jì)算器進(jìn)入統(tǒng)計(jì)狀態(tài);
然后依次輸入數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn;最后按動(dòng)求方差的功
能鍵(例如鍵),計(jì)算器便會(huì)求出方差的值.
使用計(jì)算器說(shuō)明:例如:4.SHIFT+S-Var+xσn+=;5.將求出的結(jié)果平方,就得到方差.1.MODE+2-SD進(jìn)入SD模式;2.SHIFT+CLR+=清除統(tǒng)計(jì)存儲(chǔ)器;3.輸入數(shù)據(jù),每輸入一個(gè)數(shù)據(jù)后按DT
;極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差極差方差標(biāo)準(zhǔn)差極差=最大數(shù)據(jù)-最小數(shù)據(jù)注意:計(jì)算器可以先求出標(biāo)準(zhǔn)差,
再平方即可求出方差.計(jì)算器計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差步驟:①進(jìn)入統(tǒng)計(jì)計(jì)算狀態(tài)②輸入數(shù)據(jù)③按鍵得出標(biāo)準(zhǔn)差
課堂小結(jié)1.為檢查面包的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo),隨機(jī)抽取了同一規(guī)格的6個(gè)面包,測(cè)得質(zhì)量(g)如下:101,106,93,100,97,105,則這組數(shù)據(jù)的極差是()A.10B.11C.12D.13D
隨堂練習(xí)2.已知一組數(shù)據(jù)的方差計(jì)算公式為s2=
,則下列說(shuō)法正確的是(
)A.這組數(shù)據(jù)有10個(gè)B.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5C.方差是一個(gè)非負(fù)數(shù)D.每個(gè)數(shù)據(jù)加6,方差的值增加6C3.已知一組數(shù)據(jù):x1、x2、x3…x10,小明用s2=計(jì)算這一組數(shù)據(jù)的方差,那么x1+x2+x3+…+x10=_______304.甲、乙兩支儀仗隊(duì)隊(duì)員的身高(單位:cm)如下:甲隊(duì):178,177,179,179,178,178,177,178,177,179乙隊(duì):178,177,179,176,178,180,180,178,176,178哪支儀仗隊(duì)隊(duì)員的身高更為整齊?你是怎么判斷的?解:甲隊(duì)隊(duì)員身高平均數(shù)為:
=178(cm)乙隊(duì)隊(duì)員身高平均數(shù)為:
=178(cm)甲隊(duì)最高的隊(duì)員身高為179cm,最低的隊(duì)員身高為177cm,極差為2cm.乙隊(duì)最高的隊(duì)員身高為180cm,最低的隊(duì)員身高為176cm,極差為4cm.甲隊(duì)方差為:=0.6;乙隊(duì)方差為:
=1.8;因此,甲隊(duì)更整齊.5.
體育老師隨機(jī)抽取了6名女生坐位體前屈的成績(jī)(單位:cm)為:11.3,
14.6,16.7,15.5,10.8,19.3,則這組數(shù)據(jù)的極差是(
B
)A.8
cmB.8.5
cmC.10.8
cmD.19.3
cmB
A.
極差B.
中位數(shù)C.
平均數(shù)D.
眾數(shù)C7.
墊球是排球訓(xùn)練中的基本技能,如圖是李萌和王穎兩位同學(xué)10次墊球的成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖,則兩人成績(jī)方差較小的是(
B
)A.
李萌B.
王穎C.
兩人一樣D.
無(wú)法確定B第7題圖8.
下表記錄了陽(yáng)光中學(xué)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)平時(shí)50米跑的比賽成績(jī),若要選一名成績(jī)較好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學(xué)代表學(xué)校參加市級(jí)比賽,則應(yīng)選擇
?.甲乙丙丁平均成績(jī)/秒7.87.67.68.9標(biāo)準(zhǔn)差/秒1.21.30.80.7丙9.(教材P152第3題改編)在一次體育測(cè)試中,4名男生引體向上的成績(jī)(單
位:次)分別為9,11,5,7,則這組數(shù)據(jù)的方差是
,標(biāo)準(zhǔn)差是
?.5
10.(教材P159第11題改編)八年級(jí)(5)班有30名學(xué)生,在一次體能測(cè)試中,
李華請(qǐng)假?zèng)]能參加,王老師統(tǒng)計(jì)其他29名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均分為89分,方差為28,后來(lái)李華補(bǔ)測(cè)的成績(jī)?yōu)?9分,則全班30名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)的平
均分
,方
.(填“變大”“變小”或“不變”)不變變小
=12.小紅參加了學(xué)校的演講比賽,五名評(píng)委對(duì)小紅的評(píng)分如下表,比賽規(guī)定:去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后得分的平均分為選手的最終得分,則去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,小紅成績(jī)的方差________.(填“增大”“減小”或“不變”)減小評(píng)委小紅得分19729839549559213.(代數(shù)推理·歸納一般結(jié)論)(1)填空:x1x2x3s2A123
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