第6章空間向量與立體幾何（考點(diǎn)串講）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（2019選擇性）

蘇教版（2019）選擇性必修第二冊(cè)第6章考點(diǎn)大串講串講01空間向量與立體幾何

010203目

錄押題預(yù)測(cè)題型剖析考點(diǎn)透視5大?？键c(diǎn)：知識(shí)梳理、思維導(dǎo)圖5個(gè)題型典例剖析+技巧點(diǎn)撥精選9道期末真題對(duì)應(yīng)考點(diǎn)練考點(diǎn)透視01考點(diǎn)1.空間向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義空間向量在空間中，具有

和

的量相等向量方向

且模

的向量相反向量方向

且模

的向量共線(xiàn)向量(或平行向量)表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相

或_____的向量共面向量平行于

的向量大小方向相同相等相反相等平行重合同一個(gè)平面考點(diǎn)2.

空間向量的有關(guān)定理(1)共線(xiàn)向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(a≠0)，b與a共線(xiàn)的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使

.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得p＝

.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么對(duì)空間任意一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝

.b＝λaxa＋ybxe1＋ye2＋ze3考點(diǎn)3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝

.|a||b|cos〈a，b〉(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b_______________共線(xiàn)a＝λb(b≠0，λ∈R)________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

｜a｜｜b｜c(diǎn)os＜a，b＞

考點(diǎn)4.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R向量和a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）向量差a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）數(shù)乘向量λa＝（λa1，λa2，λa3）數(shù)量積a·b＝

a1b1＋a2b2＋a3b3

?共線(xiàn)a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R，b≠0）垂直a⊥b?

a1b1＋a2b2＋a3b3

?＝0夾角公式cos＜a，b＞＝a1b1＋a2b2＋a3b3

a1b1＋a2b2＋a3b3

考點(diǎn)5.直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量（1）直線(xiàn)的方向向量：如果表示非零向量a的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)與直線(xiàn)l平行或重合，則稱(chēng)此向量a為直線(xiàn)l的方向向量；（2）平面的法向量：直線(xiàn)l⊥α，取直線(xiàn)l的方向向量a，則向量a為平面α的法向量；（3）方向向量和法向量均是非零向量且不唯一；同一條直線(xiàn)的方向向量共線(xiàn)；同一個(gè)平面的法向量共線(xiàn).考點(diǎn)6.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

向量表示坐標(biāo)表示模|a|____________夾角余弦值cos〈a，b〉＝______________________考點(diǎn)6.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用(1)直線(xiàn)的方向向量：直線(xiàn)l上的向量e(e≠0)以及與e共線(xiàn)的非零向量叫作直線(xiàn)l的

.(2)平面的法向量：如果表示非零向量n的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)垂直于平面α，那么稱(chēng)向量n

平面α，記作n⊥α，此時(shí)，我們把向量n叫作平面α的

.方向向量垂直于法向量考點(diǎn)7.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線(xiàn)l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線(xiàn)l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝0題型剖析02題型1空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算【例題1】設(shè)x，y是實(shí)數(shù)，已知三點(diǎn)A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一條直線(xiàn)上，那么x＋y等于A(yíng).2

B.3

C.4

D.5√因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以存在唯一的實(shí)數(shù)λ，｜練后悟通｜空間向量線(xiàn)性運(yùn)算中的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)題型2.空間向量基本定理及其應(yīng)用【例題2】下列命題正確的是A.若a與b共線(xiàn)，b與c共線(xiàn)，則a與c共線(xiàn)B.向量a，b，c共面，即它們所在的直線(xiàn)共面C.若空間向量a，b，c不共面，則a，b，c都不為0D.若a，b，c共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得a＝xb＋yc√題型3.共線(xiàn)、共面向量定理的應(yīng)用

（2）判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).

｜解題技法｜證明三點(diǎn)共線(xiàn)和空間四點(diǎn)共面的方法比較題型4.空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【例4】

如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算：

（2）異面直線(xiàn)AG與CE所成角的余弦值.

題型5.利用空間向量證明平行、垂直

（1）求證：EF∥平面A1B1BA；

（2）求證：平面AEA1⊥平面BCB1.

｜解題技法｜利用空間向量證明平行、垂直的一般步驟押題預(yù)測(cè)03?1.若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三點(diǎn)共線(xiàn)，則m＋n＝

?.

答案：－3

A.－B.－C.D.

3.已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝

－2a，則x等于A(yíng).(0,3，－6) B.(0,6，－20)C.(0,6，－6) D.(6,6，－6)√由b＝

－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20).?

A.a2B.a2C.a2D.a2

5.（多選）給出下列四個(gè)說(shuō)法，其中正確的是

（

）A.若a·b＜0，則＜a，b＞是鈍角B.若a為直線(xiàn)l的方向向量，則λa（λ∈R）也是直線(xiàn)l的方向向量C.若＝＋，則＝2D.在三棱錐P－ABC中，若·＝0，·＝0，則·＝0

6.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是CD，PC的中點(diǎn)，并且PA＝AD＝1.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，MN＝

?.

7.已知A（1，－2，11），B（4，2，3