2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷理科新課標(biāo)

2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{0，1，2}2．（5分）若z（1+i）＝2i，則z＝（）A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1﹣iD．1+i3．（5分）《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱(chēng)為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該學(xué)校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.84．（5分）（1+2x2）（1+x）4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為（）A．12B．16C．20D．245．（5分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3+4a1，則a3＝（）A．16B．8C．4D．26．（5分）已知曲線(xiàn)y＝aex+xlnx在點(diǎn)（1，ae）處的切線(xiàn)方程為y＝2x+b，則（）A．a(chǎn)＝e，b＝﹣1B．a(chǎn)＝e，b＝1C．a(chǎn)＝e﹣1，b＝1D．a(chǎn)＝e﹣1，b＝﹣17．（5分）函數(shù)y＝在[﹣6，6]的圖象大致為（）A．B．C．?D．8．（5分）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，則（）A．BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)B．BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)C．BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)D．BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)9．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的?為0.01，則輸出s的值等于（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣10．（5分）雙曲線(xiàn)C：﹣＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線(xiàn)上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為（）A．B．C．2D．311．（5分）設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減，則（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）12．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)．下述四個(gè)結(jié)論：①f（x）在（0，2π）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②f（x）在（0，2π）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)③f（x）在（0，）單調(diào)遞增④ω的取值范圍是[，）其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知，為單位向量，且?＝0，若＝2﹣，則cos＜，＞＝．14．（5分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1≠0，a2＝3a1，則＝．15．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：+＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為．16．（5分）學(xué)生到工廠(chǎng)勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱錐O﹣EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3．不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A、B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如圖直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70．（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．18．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asin＝bsinA．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．19．圖1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2．（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B﹣CG﹣A的大?。?0．已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2+b．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為﹣1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說(shuō)明理由．21．已知曲線(xiàn)C：y＝，D為直線(xiàn)y＝﹣上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B．（1）證明：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)；（2）若以E（0，）為圓心的圓與直線(xiàn)AB相切，且切點(diǎn)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A（2，0），B（，），C（，），D（2，π），弧，，所在圓的圓心分別是（1，0），（1，），（1，π），曲線(xiàn)M1是弧，曲線(xiàn)M2是弧，曲線(xiàn)M3是?。?）分別寫(xiě)出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程；（2）曲線(xiàn)M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|＝，求P的極坐標(biāo)．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．設(shè)x，y，z∈R，且x+y+z＝1．（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥成立，證明：a≤﹣3或a≥﹣1．2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{0，1，2}【分析】解求出B中的不等式，找出A與B的交集即可．【解答】解：因?yàn)锳＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩個(gè)集合的交集和一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．2．（5分）若z（1+i）＝2i，則z＝（）A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1﹣iD．1+i【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可．【解答】解：由z（1+i）＝2i，得z＝＝1+i．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法法則，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱(chēng)為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該學(xué)校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【分析】作出維恩圖，得到該學(xué)校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為70人，由此能求出該學(xué)校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該學(xué)校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值．【解答】解：某中學(xué)為了了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，作出維恩圖，得：∴該學(xué)校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為70人，則該學(xué)校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該學(xué)校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為：＝0.7．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查該學(xué)校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該學(xué)校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值的求法，考查維恩圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）（1+2x2）（1+x）4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為（）A．12B．16C．20D．24【分析】利用二項(xiàng)式定理、排列組合的性質(zhì)直接求解．【解答】解：（1+2x2）（1+x）4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為：1×+2×＝12．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查展開(kāi)式中x3的系數(shù)的求法，考查二項(xiàng)式定理、排列組合的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3+4a1，則a3＝（）A．16B．8C．4D．2【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），根據(jù)條件可得，解方程即可．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），則由前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3+4a1，有，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式，考查了方程思想，屬基礎(chǔ)題．6．（5分）已知曲線(xiàn)y＝aex+xlnx在點(diǎn)（1，ae）處的切線(xiàn)方程為y＝2x+b，則（）A．a(chǎn)＝e，b＝﹣1B．a(chǎn)＝e，b＝1C．a(chǎn)＝e﹣1，b＝1D．a(chǎn)＝e﹣1，b＝﹣1【分析】求得函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)的斜率，由切線(xiàn)方程，可得ae+1+0＝2，可得a，進(jìn)而得到切點(diǎn)，代入切線(xiàn)方程可得b的值．【解答】解：y＝aex+xlnx的導(dǎo)數(shù)為y′＝aex+lnx+1，由在點(diǎn)（1，ae）處的切線(xiàn)方程為y＝2x+b，可得ae+1+0＝2，解得a＝e﹣1，又切點(diǎn)為（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的斜率，考查直線(xiàn)方程的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）函數(shù)y＝在[﹣6，6]的圖象大致為（）A．B．C．?D．【分析】由y＝的解析式知該函數(shù)為奇函數(shù)可排除C，然后計(jì)算x＝4時(shí)的函數(shù)值，根據(jù)其值即可排除A，D．【解答】解：由y＝f（x）＝在[﹣6，6]，知f（﹣x）＝，∴f（x）是[﹣6，6]上的奇函數(shù)，因此排除C又f（4）＝，因此排除A，D．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是奇偶性和特殊值，屬基礎(chǔ)題．8．（5分）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，則（）A．BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)B．BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)C．BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)D．BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)【分析】推導(dǎo)出BM是△BDE中DE邊上的中線(xiàn)，EN是△BDE中BD邊上的中線(xiàn)，從而直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)，設(shè)DE＝a，則BD＝，BE＝＝，從而B(niǎo)M≠EN．【解答】解：∵點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，∴BM?平面BDE，EN?平面BDE，∵BM是△BDE中DE邊上的中線(xiàn)，EN是△BDE中BD邊上的中線(xiàn)，∴直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)，設(shè)DE＝a，則BD＝，BE＝＝，∴BM＝a，EN＝＝a，∴BM≠EN，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩直線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，是中檔題．9．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的?為0.01，則輸出s的值等于（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量s的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后，s＝1，x＝，不滿(mǎn)足退出循環(huán)的條件x＜0.01；再次執(zhí)行循環(huán)體后，s＝1+，x＝，不滿(mǎn)足退出循環(huán)的條件x＜0.01；再次執(zhí)行循環(huán)體后，s＝1++，x＝，不滿(mǎn)足退出循環(huán)的條件x＜0.01；…由于＞0.01，而＜0.01，可得：當(dāng)s＝1++++…，x＝，此時(shí)，滿(mǎn)足退出循環(huán)的條件x＜0.01，輸出s＝1+++…＝2﹣．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）雙曲線(xiàn)C：﹣＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線(xiàn)上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為（）A．B．C．2D．3【分析】求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，求出三角形POF的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求解面積即可．【解答】解：雙曲線(xiàn)C：﹣＝1的右焦點(diǎn)為F（，0），漸近線(xiàn)方程為：y＝x，不妨P在第一象限，可得tan∠POF＝，P（，），所以△PFO的面積為：＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．11．（5分）設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減，則（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）【分析】根據(jù)log34＞log33＝1，，結(jié)合f（x）的奇偶和單調(diào)性即可判斷．【解答】解：∵f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)∴，∵log34＞log33＝1，，∴0f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴＞＞，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，關(guān)鍵是指對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的靈活應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．12．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)．下述四個(gè)結(jié)論：①f（x）在（0，2π）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②f（x）在（0，2π）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)③f（x）在（0，）單調(diào)遞增④ω的取值范圍是[，）其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④【分析】根據(jù)f（x）在[0，2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，可得，解出ω，然后判斷③是否正確即可得到答案．【解答】解：當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，∈[，]，∵f（x）在[0，2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，∴，∴，故④正確，因此由選項(xiàng)可知只需判斷③是否正確即可得到答案，下面判斷③是否正確，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，∈[，]，若f（x）在（0，）單調(diào)遞增，則，即ω＜3，∵，故③正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，屬中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知，為單位向量，且?＝0，若＝2﹣，則cos＜，＞＝．【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用，求出相應(yīng)的長(zhǎng)度和數(shù)量積即可得到結(jié)論．【解答】解：＝＝2﹣＝2，∵＝（2﹣）2＝4﹣4+5＝9，∴||＝3，∴cos＜，＞＝＝．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量夾角的求解，根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用分別求出數(shù)量積及向量長(zhǎng)度是解決本題的關(guān)鍵．14．（5分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1≠0，a2＝3a1，則＝4．【分析】根據(jù)a2＝3a1，可得公差d＝a1，然后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式將用a1表示，化簡(jiǎn)即可．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由a1≠0，a2＝3a1可得，d＝2a1，∴＝＝，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)以及等差數(shù)列性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．15．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：+＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為（3，）．【分析】設(shè)M（m，n），m，n＞0，求得橢圓的a，b，c，e，由于M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2為等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，運(yùn)用橢圓的焦半徑公式，可得所求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)M（m，n），m，n＞0，橢圓C：+＝1的a＝6，b＝2，c＝4，e＝＝，由于M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2為等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6+m＝8，即m＝3，n＝；6﹣m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．可得M（3，）．故答案為：（3，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查分類(lèi)討論思想方法，以及橢圓焦半徑公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．16．（5分）學(xué)生到工廠(chǎng)勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱錐O﹣EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3．不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為118.8g．【分析】該模型體積為﹣VO﹣EFGH＝6×6×4﹣＝132（cm3），再由3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，能求出制作該模型所需原料的質(zhì)量．【解答】解：該模型為長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1，挖去四棱錐O﹣EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H，分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，∴該模型體積為：﹣VO﹣EFGH＝6×6×4﹣＝144﹣12＝132（cm3），∵3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，∴制作該模型所需原料的質(zhì)量為：132×0.9＝118.8（g）．故答案為：118.8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查制作該模型所需原料的質(zhì)量的求法，考查長(zhǎng)方體、四棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A、B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如圖直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70．（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程組，能求出乙離子殘留百分比直方圖中a，b．（2）利用頻率分布直方圖能估計(jì)甲離子殘留百分比的平均值和乙離子殘留百分比的平均值．【解答】解：（1）C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70．則由頻率分布直方圖得：，解得乙離子殘留百分比直方圖中a＝0.35，b＝0.10．（2）估計(jì)甲離子殘留百分比的平均值為：＝2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05＝4.05．乙離子殘留百分比的平均值為：＝3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率、平均值的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asin＝bsinA．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．【分析】（1）運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和二倍角公式，以及正弦定理，計(jì)算可得所求角；（2）運(yùn)用余弦定理可得b，由三角形ABC為銳角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，求得a的范圍，由三角形的面積公式，可得所求范圍．【解答】解：（1）asin＝bsinA，即為asin＝acos＝bsinA，可得sinAcos＝sinBsinA＝2sincossinA，∵sinA＞0，∴cos＝2sincos，若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin＝，由0＜B＜π，可得B＝；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b＝＝，由三角形ABC為銳角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，解得＜a＜2，可得△ABC面積S＝a?sin＝a∈（，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理、面積公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．圖1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2．（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B﹣CG﹣A的大?。痉治觥浚?）推導(dǎo)出AD∥BE，CG∥BE，從而AD∥CG，由此能證明A，C，G，D四點(diǎn)共面，推導(dǎo)出AB⊥BE，AB⊥BC，從而AB⊥面BCGE，由此能證明平面ABC⊥平面BCGE．（2）取CG的中點(diǎn)M，連結(jié)EM，DM，推導(dǎo)出DE⊥平面BCGE，DE⊥CG，由四邊形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，從而CG⊥平面DEM，DM⊥CG，由此能求出四邊形ACGD的面積．【解答】證明：（1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，∴AD∥CG，∴AD，CG確定一個(gè)平面，∴A，C，G，D四點(diǎn)共面，由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，∴AB⊥面BCGE，∵AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE．解：（2）作EH⊥BC，垂足為H，∵EH?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，∴EH⊥平面ABC，由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2，∠EBC＝60°，∴BH＝1，EH＝，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系H﹣xyz，則A（﹣1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），＝（1，0，），＝（2，﹣1，0），設(shè)平面ACGD的法向量＝（x，y，z），則，取x＝3，得＝（3，6，﹣），又平面BCGE的法向量為＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝，∴二面角B﹣CG﹣A的大小為30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，是中檔題．20．已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2+b．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為﹣1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）f′（x）＝6x2﹣2ax＝6x（x﹣）．令f′（x）＝6x（x﹣）＝0，解得x＝0，或．對(duì)a分類(lèi)討論，即可得出單調(diào)性．（2）對(duì)a分類(lèi)討論，利用（1）的結(jié)論即可得出．【解答】解：（1）f′（x）＝6x2﹣2ax＝6x（x﹣）．令f′（x）＝6x（x﹣）＝0，解得x＝0，或．①a＝0時(shí)，f′（x）＝6x2≥0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．②a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（﹣∞，0），（，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減．③a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（，0）上單調(diào)遞減．（2）由（1）可得：①a＝0時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增．則f（0）＝b＝﹣1，f（1）＝2﹣a+b＝1，解得b＝﹣1，a＝0，滿(mǎn)足條件．②a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，]上單調(diào)遞減．≥1，即a≥時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減．則f（0）＝b＝1，f（1）＝2﹣a+b＝﹣1，解得b＝1，a＝4，滿(mǎn)足條件．0＜＜1，即0＜a＜時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，）上單調(diào)遞減，在（，1]上單調(diào)遞增．則f（）＝﹣a×+b＝﹣1，而f（0）＝b，f（1）＝2﹣a+b＞b，∴f（1）＝2﹣a+b＝1，聯(lián)立解得：無(wú)解，舍去．③a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，則f（0）＝b＝﹣1，f（1）＝2﹣a+b＝1，解得b＝﹣1，a＝0，不滿(mǎn)足條件，舍去．綜上可得：存在a，b，使得f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為﹣1且最大值為1．a(chǎn)，b的所有值為：，或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程與不等式的解法、分類(lèi)討論方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．21．已知曲線(xiàn)C：y＝，D為直線(xiàn)y＝﹣上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B．（1）證明：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)；（2）若以E（0，）為圓心的圓與直線(xiàn)AB相切，且切點(diǎn)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積．【分析】（1）求得y＝的導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)的斜率，可得切線(xiàn)DA，DB的方程，求得交點(diǎn)D的坐標(biāo)，可得AB的方程，化簡(jiǎn)可得AB恒過(guò)定點(diǎn)；（2）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝kx+，由（1）可得x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，求得AB中點(diǎn)H（k，k2+），由H為切點(diǎn)可得E到直線(xiàn)AB的距離即為|EH|，求得k，再由四邊形ADBE的面積為S△ABE+S△ABD，運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得所求值．【解答】解：（1）證明：y＝的導(dǎo)數(shù)為y′＝x，設(shè)切點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1＝，y2＝，切線(xiàn)DA的方程為y﹣y1＝x1（x﹣x1），即為y＝x1x﹣，切線(xiàn)DB的方程為y＝x2x﹣，聯(lián)立兩切線(xiàn)方程可得x＝（x1+x2），可得y＝x1x2＝﹣，即x1x2＝﹣1，直線(xiàn)AB的方程為y﹣＝（x﹣x1），即為y﹣＝（x1+x2）（x﹣x1），可化為y＝（x1+x2）x+，可得AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，）；（2）法一：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝kx+，由（1）可得x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，AB中點(diǎn)H（k，k2+），由H為切點(diǎn)可得E到直線(xiàn)AB的距離即為|EH|，可得＝，解得k＝0或k＝±1，即有直線(xiàn)AB的方程為y＝或y＝±x+，由y＝可得|AB|＝2，四邊形ADBE的面積為S△ABE+S△ABD＝×2×（1+2）＝3；由y＝±x+，可得|AB|＝?＝4，此時(shí)D（±1，﹣）到直線(xiàn)AB的距離為＝；E（0，）到直線(xiàn)AB的距離為＝，則四邊形ADBE的面積為S△ABE+S△ABD＝×4×（+）＝4；法二：（2）由（1）得直線(xiàn)AB的方程為y＝tx+．由，可得x2﹣2tx﹣1＝0．于是x1+x2＝2t，x1x2＝﹣1，y1+y2＝t（x1+x2）+1＝2t2+1，|AB|＝＝×＝2（t2+1）．設(shè)d1，d2分別為點(diǎn)D，E到直線(xiàn)AB的距離，則d1＝，d2＝．因此，四邊形ADBE的面積S＝|AB|（d1+d2）＝（t2+3）．設(shè)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則M（t，t2+）．由于，而，與向量（1，t）平行，所以t+（t2﹣2）t＝0．解得t＝0或t＝±1．當(dāng)t＝0時(shí)，S＝3；當(dāng)t＝±1時(shí)，S＝4．