線性代數(shù)強(qiáng)化講義

第一講行列式與矩陣

一、內(nèi)容提要

階行列式的定義

a\\a\2?--a\n

a2\。?2?

D=22

M-Jn

*2

（二）行列式的性質(zhì)

1.行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即

2交換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)：

3.行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面來:

4行列式中有兩行（列）元素相同，則此行列式的值為零：

5行列式中有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式的值為零;

6若行列式中某行（列）的元素是兩數(shù)之和，即

%]a\2

D=%+%ai2+壇ain+"?

a,a

a\\a\2…為a\1a\2,?Clx

則D=ai\a\2ain+打1A2?,b

aa??a

n\n2…an\勺2

7.將行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上去行列式的值不變。

（=）行列式依行（列）展開

1.余子式與代數(shù)余子式

（1）余子式的定義

去掉n階行列式D中元素為所在的第i行和第j列元素，剩下的元素按原位置次序所

構(gòu)成的n-1階行列式稱為元素句的余子式，記為

（2）代數(shù)余子式的定義

%的代數(shù)余子式的記為A..,&=（-1）,+7M

2.〃階行列式D依行（列）展開

（1）按行展開公式

Di=k

=,

0i工k

j=i

（2）按列展開公式

D

=

i=l0

（四）范德蒙行列式

王

D==n(xjf)

\<i<j<n

（五）矩陣的概念

1.矩陣的定義

由〃?X"個(gè)數(shù)%（=1,2,…,"2；7=1,2,???,?）組成的m行n列的矩形數(shù)表

稱為矩陣，記為A=（他）

2.特殊的矩陣

（1）方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣；

（2）上（下）三角陣：主對(duì)角線以下（上）的元素全為零的方陣稱為上（下）三角陣;

（3）對(duì)角陣：主對(duì)角線以外的元素全為零的方陣；

（4）數(shù)量矩陣：主對(duì)角線上元素相同的對(duì)角陣；

（5）單位矩陣：主對(duì)角線上元素全是1的對(duì)角陣，記為E；

（6）零矩陣：元素全為零的矩陣。

3.矩陣的相等

設(shè)A=（ay）mn;B=（bjj）

若與=與?=1,2,…M;）=1,2,…,〃），則稱A與B相等,記為A=B。

（六）矩陣的運(yùn)算

1.加法

（1）定義：設(shè)A=（&B=（%）,,,,,,則C=A+8=（%.+%）,”,，

（2）運(yùn)算規(guī)律

①A+B=B+A；②(A+B)+C=A+(B+C)

③A+O=A④A+(-A)=0,-A是A的負(fù)矩陣

2.數(shù)與矩陣的乘法

(1)定義：設(shè)4=(%)，為常數(shù)，則必=(%%)““

(2)運(yùn)算規(guī)律①K(A+B)=KA+KB,②(K+L)A=KA+LA,③(KL)A=K(LA)

3.矩陣的乘法

(1)定義：設(shè)4=(%),““，8=(%)卬.則

AB=C=(G?)mp,具中Gj=Za*bkj

k=\

(2)運(yùn)算規(guī)律

①G4B)C=A(BC)；?A(B+C)=AB+AC

2

@(B+C)A=BA+CA

(3)方陣的暴

①定義：A=(陽)"，貝UA*=A…A

K

②運(yùn)算規(guī)律：A'"-A"=A,n+n；(A")"=A""’

(4)矩陣乘法與基運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算不同之處。

?AB^BA②4?=0,不能推出A=0或8=0;

③(AB)?*Ak-Bk

4.矩陣的轉(zhuǎn)置

(1)定義：設(shè)矩陣A=(%),““，將A的行與列的元素位置交換，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置，

記為=(?7,)nm,

(2)運(yùn)算規(guī)律

①(Ar)r=A;②(A+B)r=A7'+B1；

@(kA)T=KAT-@(AB)T=BTAT.

(3)對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣

若則稱A為對(duì)稱陣；

AT=-A,則稱A為反對(duì)稱陣。

5.逆矩陣

(1)定義：設(shè)A為〃階方陣，若存在一個(gè)〃階方陣B,使得AB=BA=E,則稱A為可

逆陣，B為A的逆矩陣，記作5=4-1。

(2)A可逆的元素條件：

A可逆=同*0

(3)可逆陣的性質(zhì)

①若A可逆，則A」也可逆，且(A")」=A：

②若A可逆，kWO,則kA可逆，且(心曠：工人”；

k

③若A可逆，則AT也可逆,且(萬尸=(川)7；

④若A,B均可逆，則AB也可逆，且(AB/=B”AT。

(4)伴隨矩陣

①定義：A*=(AQ：,其中&為與的代數(shù)余子式，

②性質(zhì)：

i)AA*=4*4=|A|E；ii)

iii)(A*)*=|H"2A；iv)若A可逆，則A"也可逆，且(A*)T=(4-1)*=JA

\A\

③用伴隨矩陣求逆矩陣公式：Ai=LA*

(七)方陣的行列式

1.定義：由n階方陣A的元素構(gòu)成的n階行列式(各元素的位置不變)叫做方陣A的

行列式，記為|A|或detA。

2.性質(zhì)：

⑴四=|4,⑵回=

（3）|AB|=|Ap|,（4）

（A）特殊矩陣的行列式及逆矩陣

1.單位陣E：|目=1;ET=E；

2.數(shù)量矩陣kE：卜目=—;當(dāng)ZHOB寸

3.對(duì)角陣：

4

A則囚=44…乙；

I

1

若…;i.#o,則A-:幾2

1

4.上（下）三角陣

4*、

設(shè)4=O22.，則網(wǎng)=卬|422…

若同片0,則A-I仍為上（下）三角陣

（九）矩陣的初等變換與初等矩陣

1.矩陣的初等變換

（1）定義：以下三種變換

①交換兩行（列）：

②某行（列）乘一個(gè)不為零的常數(shù)公

③某行（列）的A倍加到另一行（列）上去，稱為矩陣的初等變換。

2.初等矩陣

（1）定義：將〃階單位陣E進(jìn)行一次初等變換得到的矩陣稱為初等陣;

交換ij兩行（列），記為鳳仃）；

第i行（列）乘不為零的常數(shù)k記為為E（i（k））-,

第"亍的k倍加到第i行上去，記為E（j（k）i-,

（2）初等陣性質(zhì)

初等陣是可逆陣，且逆陣仍為同型的初等陣；

而［E（y）］-'=E①）［E（/（^））］-'=

（3）方陣A可逆與初等陣的關(guān)系

若方陣A可逆，則存在有限個(gè)初等陣弓，G，…/，使A=々鳥…

（4）初等陣的行列式

4

=|￡W))|=N|E(./(Qi)|=l

(5)初等陣的作用：

對(duì)矩陣A進(jìn)行一次初等行(列)變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的初等陣左(右)乘矩陣A,且

|E(y)A|=-|A|,|E(??伏))A|="|,廬(//)可=同

3.矩陣的等價(jià)

(1)定義：若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變到矩陣B,則稱A與B等價(jià)，

(2)A與B等價(jià)的三種等價(jià)說法，

①A經(jīng)過一系列初等變換變到B；

②存在一些初等陣片，…,心,耳,…,耳，使得E,…反記…耳=B

③存在可逆陣P，Q,使得以Q=8

(十)分塊矩陣

1.分塊矩陣的定義

以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。

2.分塊矩陣的運(yùn)算

(1)設(shè)A,B為同型矩陣，采用相同的分法有

&…B”

S21B2t

A+8=(&+與)。=1,2,…，s;J=l,2,…,f)

(2)kA=(kAij)(i=l,2,…,s;/=l,2,…/)

(3)設(shè)A=(%B=(與)叩,分塊成

Ai,?1A,、［坨…即、

、A.”???Asl,、當(dāng)…Blr>

其中A,1,A,2,A,的列數(shù)分別等于名,，/八…，鳥的行數(shù)，則AB=C=(%)?,其中

W=￡AikBkj(i=1,2,3,…,s;j=1,2,…,r)

hl

3.準(zhǔn)對(duì)角陣

(1)定義：形如

'A、

A=..4為〃i階方陣的矩陣稱為準(zhǔn)對(duì)角陣。

L“s’

(2)準(zhǔn)對(duì)角陣的行列式及逆矩陣

設(shè)4=4..,則何引聞悶…悶；若每個(gè)A可逆，則A可逆，且

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6

A；1

A-1=

(3)特殊的準(zhǔn)對(duì)角陣

，若Al,A2可逆，則I,

(A]

A]，若Al,A2可逆，則*=[,人2

JW

(iii)A=是|B|*0,|C|+0,則同=網(wǎng)|C*0

I。

1_(B'-B'DC'}

0c-'J

(iv)A='忸卜0,|C*0,則

iDCj

二、重點(diǎn)

(-)計(jì)算行列式；

(二)矩陣的乘法；

(三)矩陣的逆；

(四)矩陣的初等變換。

三、典型例題

(-)行列式的計(jì)算

1.數(shù)字型行列式的計(jì)算

例1計(jì)算行列式

000…0仇0

000…00

b2

%00…000

%a2%…an-2an-\b〃

解：由于前行都只有一個(gè)元素不為0,由行列式定義知?！敝缓豁?xiàng)：6歷…仇，且

(?-2(?-1)一2)

符號(hào)為(-1)?TT")=(-1)—「，從而2=(-1)F一仇外…"。

例2計(jì)算下列行列式

abc246427327

(1)a2h2c21014543443

b-\-ca+ca+b-342721621

abcabc

解(1)：a2b2c2=a2b2c2

b+ca+ca+ba+b+ca+b+ca+b-vc

abc111

=(a+。+C)a2b2c2=(。+。+C)abc

111a2b2c2

=(〃+/?+c)(b-Q)(C-Q)(C-b)

246427327100()427327100()100327

(2)1014543443=2000543443=2000100443

-34272162110007216211000100621

1132711327

=10521443=1050-1-211=-294x1()5

1162100294

例3計(jì)算下列〃階行列式

x-aaa??a

ax-aa??a

D,=aax-a??a

aaa??x-a

解

n[

Dn=[x^(n-2)a](x-2a)-

說明：一定要注意此種形式的行列式；例如:

aXX.V

XaXX

=[。+(〃-1)X](Q-X尸

D”=XXaX

XXX

0111

1011

z,,

D“=1101=(-l)-(n-l)

1110

1aa

a1a

2=aa1=[1+(〃—1)0(1—。嚴(yán)

aaa1

例4計(jì)算〃階行列式

8

（7j11

00

1a20

2=10%00%=

100°an

解：

1111

%000-1

nn=（%一2—）（。2…明）

0%00Mai

0000an

1+a111

22+a2a2

例5計(jì)算行列式

333+。3

4444+a

1+a111Q+10a+10a+1067+10

22+a2a222+。22

解:D4=

333+a3333+43

4444+a4444+a

11111111

22+a220a00

=（〃+10）3=（a+10）

33+〃300a0

4444+a000。

=（4+10）?3

例6設(shè)行列式

3040

2222

D=

0-700

53-22

求第四行各元素的余子式之和的值。

解：由行列式展開知，D的第四行各元素余子式之和的值為行列式

3040

2222的值

D=

[0-700

-11-11

因?yàn)閷?。接第四行展開得

。[=(-1)41+A42+(—DA43+A"

4+24+3

=(-1)(-1嚴(yán)％+(-l)A/42+(-l)(-l)M43

=M4]+M42+M43+“44

3040

340340

2222

所以計(jì)算A==(-7)(-1)3+2222=7442

0-700

-1-1一1001

-11-11

34-10

7=7=-28

4444

從而D中第四行各元素的余子式之和的值為-28。

說明：若求D中第四行各元素代數(shù)余子式之和呢？

例7計(jì)算〃階行列式

Xy0…00

0Xy...00

6=

000…Xy

y00…0X

解：將行列式按第一列展開得

xy0…0y0…00

0xy…0xy…00

D〃=x(-l),+1+y(-i)n+1

?????????????????????????????

000…X00???xy

說明：請(qǐng)注意這種形式的行列式!

2.含參數(shù)行列式的計(jì)算

A-31-1

例8計(jì)算行列式。1A-51

-112-3

2-31-12-202-A10-1

解：D=12-51=12-51=(/l-2)1A-51

-112-3-112-3-112-3

100

A—5

=(2-2)12-52=(2-2)=(2-2)(2-3)(2-6)

-112-4

2-3-22

例9計(jì)算三階行列式。二k2+1-k

-4-24+3

丸―3-222-1-221-22

解：D=k4+1—k=。A+l-k=(A-1)O4+1-k

-4-24+32-1-2A+31-24+3

io

1-22

=("1)02+1-k(X—1)(X+1)"

002+1

3.抽象行列式的計(jì)算

例10設(shè)A,B均為“階方陣，M=2,慟=一3,蟀

O271-1

解12Az]=[2.24-啕-1|=|4A-|B'1|=4,,|A-|||B-||=------

'a、

例11設(shè)三階矩陣A=2七,B=力，其中％/，/2,73都是三維行向量，且已知

13九J

圈=18,同=2,求卜-四。

a-paBaa

11

解：..[A—@%=2%-2%=2%-2慟=[2%-2|B|=-|A|-2|fi|=2

33

2/3%%33y3

例12設(shè)A為三階方陣，4,夕2，&3是三維線性無關(guān)的列向量，若

/la2-a2+a3,Aa3-a3+a],則行歹!j式|川=。

解：法一利用分塊矩陣，有

A(%a2。3)=(4%A。？A?3)=(aI+a2,a2+a3,a3+4)兩邊取行:歹U式有

a+aa+a

囿%a2%1=1%+%233\\

=2同+%+%a2+。3a3+1

=2?+%+%_a\-%|

=2同?1?2|

=2|?,%%|

a

又a2,a?線性無關(guān)，i。31Ko

從而得同=2

a+a

法二A(a[a2%)=(%+%i3%+%)

口0P

=(%a2<z3)110

、011>

兩邊取行列式得

q01、

同4a2叫=|%%%|i10

1

101

又同?2a3ko|A|=110=2

011

+a

法三4ala2。3)=@2a2+%%+%)

H01]

=(?ia2a3)110

、01L

令P=(4,。2，。3)由％,a2,出線性無關(guān)知P可逆

qoi、

從而110

、。1I

101

由相似的性質(zhì)知網(wǎng)=110=2

011

例13設(shè)A為三階實(shí)矩陣，且為==-1，求閾.

解：由44*=同￡又2產(chǎn)&.5*="

從而有|44*卜|441=網(wǎng)2|44=|A『

所以刑2=|M|x|2(|^-l)=0這叫A|=0或A|=l

又將又按第二行展開得M=a31A3]+。32又32+a33A33=嫉+際+a33＞。

從而|A|=1

說明：此例的變化有

①設(shè)A為三階實(shí)矩陣，且&=&，卬=-1,求同；

②設(shè)A為三階實(shí)矩陣，且&=-勾,a”關(guān)0,求|A|；

③設(shè)A為”(〃22)階非零實(shí)矩陣，且%=&,求同。

(二)矩陣的運(yùn)算

例14已知A=BC,其中8=。=(2,-1,2),求4‘

12

‘2-12'

解：-：A=BC=4-24

3-12,

A2=(BC)(BC)=2(BC)=2A

屋=A?.A=(2A)A=2A2^22A-

A"=2n-'A

用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)〃=2時(shí)A2=2A結(jié)論成立

假設(shè)對(duì)n-\時(shí)結(jié)論成立，下證對(duì)n也成立

A"=A"TA=(2"<A)A=2"<(A2)=2"~'A

由歸納原理，結(jié)論成立。從而A"=2"TA

(123

例15設(shè)4=014,求A”

00

‘10o'，023、

解A=010+004=E+B

0b、000,

又EB=BE所以

100、

0200

例16設(shè)4=，求A”。

0039

<0013>

021’39

解由分塊矩陣知A=，其中8=

2

J)7<13

20、0

又B=+=2E+P

02J00J

B"=(2E+P)"=(2￡)n+〃(2E)'iP

(2n

[0T)

<39、

而的秩為1.有

13J

’2"〃.2〃T00、

從而A"=°2n00

003?6〃"9-6"-'

6〃-i

,0036、

‘0-10、

例17設(shè)A=100B=piAP,其中P為三階逆陣，^B2004-2A2

100」

解VB=P-'AP...B2fxM"心照

2

’0-10、10o'

又A2100=0-10

、°0、°0L

A2004=(A2)l002=E

300\

故§2004-2A2E-2A2030

1°0-V

(三)伴隨矩陣

例18設(shè)A為n階方陣，A*為A的伴隨矩陣求(ZA)*

4…A”」

解設(shè)A=(%),則A*="?A'

A，1??A”，

又％A=(ka..,故k%j的代數(shù)余子式為

14

他1??,ka、”k%j+\…ka\?

kan,??ka1”k%_ij+\…他T"

ka

"柯+ij-ik%+ij+\--Mn

?.

kaka

ka.1■■"nj-\ka〃j+i?n

n-\

=〃i&(i=12…%，=12…〃)

從而(M)+==&"TA*

—An

’0100、

00044

例19設(shè)4=

000%,求|4|中所有元素的代數(shù)余子式之和ZZ&

i=l>1

000

1%7

04川()：；一呆

解???|小=(-1)3|4|=Txx=0

A,0

10

，&=(%)

其中A［二00

0

A可逆，故A*=|A|A"

’0004、

'0時(shí)1000

又

、A「00200

<0030,

’0004、

1000

從而A''=|A|A-'=-^

0200

,003°,

4410_5

因此有zz為=q(l+2+3+4)

24~~12

/=17=1

（四）可逆矩陣

（223、

例20設(shè)4=1-10,求內(nèi)

-12b

解：方法一（用伴隨矩陣求Ai）因?yàn)?/p>

-10101-123

A”==-1,A=1,A--=4,

21-11H-122l21

23222323

=5,A31==3,=3,

-11-12-10I0

22

-4

1-1

又

43、1-4—3、

故*=二

4-1531-5-3

-6一4,647

方法二（用初等行變換求Ai）

(223100、，1-10010、n-10010、

(AE)=1-10010—>-121001-011011

.-121002310,0431-2

001