江蘇省徐州市三校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期聯(lián)考試題含解析

PAGE16-江蘇省徐州市三校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期聯(lián)考試題（含解析）一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)意（是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．【詳解】解：是虛數(shù)單位），．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，知，，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查學(xué)生的基本計(jì)算實(shí)力，是一道簡(jiǎn)單題.3.已知i為虛數(shù)單位，若，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得，由模長(zhǎng)公式可得答案．【詳解】∵，∴，故.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.五位同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)課外學(xué)問(wèn)講座，每個(gè)同學(xué)可自由選擇，則不同的選擇種數(shù)是（）A.54 B.5×4×3×2 C.45 D.5×4【答案】C【解析】由乘法原理可得：不同的選擇種數(shù)是.5.函數(shù)在上的最大值與最小值之和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性即可得到最值.【詳解】由已知，，令得，，令得或，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，故，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力，是一道簡(jiǎn)單題.6.支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的支配方式共有A.12種 B.18種 C.24種 D.36種【答案】D【解析】4項(xiàng)工作分成3組,可得：=6，支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，可得：種．故選D.7.已知,為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，然后利用特別點(diǎn)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行解除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】依題意，令，則.由于，故解除C選項(xiàng).由于，故在處導(dǎo)數(shù)大于零，故解除B,D選項(xiàng).故本小題選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查函數(shù)圖像的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】有零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)相反．【詳解】，∵，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，有解，且在解的兩側(cè)的符號(hào)相反，即有極值．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值的關(guān)系，要留意，不能保證是極值點(diǎn)，事實(shí)上還要有在兩側(cè)的符號(hào)相反．二、多項(xiàng)選擇題9.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)意（其中是虛數(shù)單位），則（）A.的實(shí)部是2 B.的虛部是 C. D.【答案】CD【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，再結(jié)合復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部的概念及共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可得解.【詳解】解：，即的實(shí)部是1，虛部是，故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，又，，故C，D均正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，重點(diǎn)考查了共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.10.假如對(duì)定義在上的奇函數(shù)，，對(duì)隨意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，全部，則稱(chēng)函數(shù)為“函數(shù)”，下列函數(shù)為函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】由已知可知是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，對(duì)選項(xiàng)逐一推斷即可.【詳解】由題意，是奇函數(shù)，故解除選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，即在上是增函?shù)，由于在R上不具單調(diào)性，故解除A；對(duì)于C，，，所以在上增函數(shù)，滿(mǎn)意題意，對(duì)于D，易知在上單調(diào)遞增，又是奇函數(shù)，故在上是增函數(shù)，滿(mǎn)意題意.故選：CD【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)的問(wèn)題，涉及到函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，是一道簡(jiǎn)單題.11.對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.在處取得極大值 B.有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C. D.若在上恒成立，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A、C，只需探討的單調(diào)性即可；對(duì)于選項(xiàng)B，令解方程即可；對(duì)于選項(xiàng)D，采納分別常數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值即可.【詳解】由已知，，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以的極大值為，A正確；又令得，即，當(dāng)只有1個(gè)零點(diǎn)，B不正確；，所以，故C正確；若在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，涉及到函數(shù)的極值、零點(diǎn)、不等式恒成立等問(wèn)題，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力，是一道中檔題.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)既存在極大值又存在微小值C.當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D.若時(shí)，，則的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值以及函數(shù)的圖像，最終干脆推斷選項(xiàng).【詳解】A.,解得，所以A正確；B.，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以是函數(shù)的微小值，是函數(shù)的極大值，所以B正確.C.當(dāng)時(shí)，，依據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，再依據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，所以C正確；

D.由圖像可知，的最大值是2，所以不正確.故選A,B,C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)，以及函數(shù)的圖像，首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，推斷零點(diǎn)兩側(cè)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，本題易錯(cuò)的地方是是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，但當(dāng)時(shí)，，所以圖像是無(wú)限接近軸，假如這里推斷錯(cuò)了，那選項(xiàng)簡(jiǎn)單推斷錯(cuò)了.三、填空題13.已知復(fù)數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合的周期性即可得到答案.【詳解】由已知，，，所以.故答案：1【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本計(jì)算，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、的周期性等學(xué)問(wèn)，是一道簡(jiǎn)單題.14.已知函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_____.【答案】【解析】分析】求導(dǎo)，令，解不等式即可.【詳解】由已知，，令得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查學(xué)生的基本計(jì)算實(shí)力，是一道簡(jiǎn)單題.15.已知是定義在上的函數(shù)，且，對(duì)隨意的都有，則的解集是______.【答案】【解析】【分析】令，易知在上單調(diào)遞減，留意到，所以原不等式的解等價(jià)于，再利用單調(diào)性即可得到答案.【詳解】令，則對(duì)隨意恒成立，所以在上單調(diào)遞減，留意到，所以，解得，所以的解集是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用構(gòu)造法解抽象函數(shù)不等式，涉及到利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題.16.已知函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則與的關(guān)系為_(kāi)_____（用表示），若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增，則的最大值等于______..【答案】(1).(2).【解析】【分析】求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即；函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，只需解不等式即可.【詳解】由已知，，由導(dǎo)數(shù)幾何意義知，，，即；若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增，則在上恒成立，在上恒成立，即在上恒成立，易知在上單調(diào)遞增，所以，，解得；故答案為：(1).(2).【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力，是一道中檔題.四、解答題17.求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù).（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，留意復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法：由外向內(nèi)，層層求導(dǎo)，本題是一道基礎(chǔ)題.18.已知，復(fù)數(shù).（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用復(fù)數(shù)的除法得到，依據(jù)為純虛數(shù)可得.（2）先求出，依據(jù)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限可得橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)滿(mǎn)意的不等式，從而得到的取值范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，且，則（2）由（1）知，，則點(diǎn)位于其次象限，所以，得.所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.19.已知名學(xué)生和名老師站在一排照相，求：（1）中間二個(gè)位置排老師，有多少種排法？（2）兩名老師不能相鄰的排法有多少種？（3）兩名老師不站在兩端，且必需相鄰，有多少種排法？【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）先排老師有種方法，再排學(xué)生有種方法，再依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可得到答案；（2）先排4名學(xué)生有種方法，再把老師插入4個(gè)學(xué)生形成的5個(gè)空位中，有種方法，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可得到答案；（3）先將2名老師看成一個(gè)整體，有種方法，再?gòu)?名學(xué)生種選2名排兩端，有種方法，最終將剩下的2名學(xué)生和老師這個(gè)整體全排列，有種方法，由乘法原理即可得到答案.【詳解】（1）；（2）；（3）.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于有限制的元素要優(yōu)先排，特別位置要優(yōu)先排．不相鄰問(wèn)題用插空法，解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“辨別”、“分類(lèi)”、“分步”的角度入手.20.如圖，已知海島到海岸馬路的距離，間的距離為，從到必需先坐船到上的某一點(diǎn)，航速為，再乘汽車(chē)到，車(chē)速為，（1）①設(shè)，試將由到所用的時(shí)辰表示為的函數(shù)；②記，試將由到所用的時(shí)辰表示為的函數(shù)；（2）隨意選?。?）中的一個(gè)函數(shù)，求登陸點(diǎn)選在何處，由到所用的時(shí)間最少？【答案】（1）①；②；（2）處【解析】【分析】（1）①②依據(jù)題意建模即可得到，；（2）分別對(duì)①②中的函數(shù)求導(dǎo)，找到單調(diào)性即可得到答案.【詳解】（1），，，則①，，則②中，，，（2）選①，得當(dāng)時(shí)，，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，取最小值選②得當(dāng)時(shí)，，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，取最小值，此時(shí)答：選擇距B處所用時(shí)間最少.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是一道中檔題.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值和最大值；（2）當(dāng)時(shí)，探討函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）最小值是，最大值是；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）易得在遞減，在遞增，所以，再比較的大小可得最大值；（2），分，，，四種狀況探討即可.【詳解】（1）時(shí)，，，令，解得：，令，解得：，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴的最小值是，而，，因?yàn)楣试诘淖畲笾凳牵唬?），①時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，若，，，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，，，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上所述，時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值及單調(diào)性，考查學(xué)生分類(lèi)探討的思想及數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道中檔題.22.已知函數(shù)，.（1）求證：函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方；（2）當(dāng)時(shí)，令的兩個(gè)零點(diǎn)，.求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，求出新函數(shù)的