天津市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期統(tǒng)練試題九含解析

PAGE天津市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期統(tǒng)練試題九（含解析）一、選擇題1.已知集合，則=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．實(shí)行數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)悟交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.設(shè)函數(shù)f（x）=cosx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=0”是“f（xA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)定義域?yàn)镽的函數(shù)為偶函數(shù)等價(jià)于進(jìn)行推斷.【詳解】時(shí)，,為偶函數(shù)；為偶函數(shù)時(shí)，對(duì)隨意的恒成立，，得對(duì)隨意的恒成立，從而.從而“”是“為偶函數(shù)”的充分必要條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題較易，注意重要學(xué)問、基礎(chǔ)學(xué)問、邏輯推理實(shí)力的考查.3.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理推論得出a，b，c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用．4.設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則A.， B.， C.， D.，【答案】A【解析】由題意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故選A．【考點(diǎn)】求三角函數(shù)的解析式【名師點(diǎn)睛】有關(guān)問題，一種為供應(yīng)函數(shù)圖象求解析式或某參數(shù)的范圍，一般先依據(jù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定，再依據(jù)周期或周期或周期求出，最終再利用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)坐標(biāo)滿意解析式，求出滿意條件的值，另一種時(shí)依據(jù)題目用文字形容的函數(shù)圖象特點(diǎn)，如對(duì)稱軸或曲線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)題意自己畫出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等.5.函數(shù)的最大值為（）．A.4 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式以及誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡(jiǎn)成，配方并利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】將原函數(shù)化簡(jiǎn)，即，當(dāng)時(shí)，的最大值為5．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的余弦公式以及正弦型的三角函數(shù)最值，屬于基礎(chǔ)題.6.函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）（cosx–sinx）的最小正周期是A. B.π C. D.2π【答案】B【解析】試題分析：,故最小正周期,故選B.【考點(diǎn)】三角函數(shù)化簡(jiǎn)，周期公式【名師點(diǎn)睛】本題主要考查和差倍半的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)、進(jìn)一步探討函數(shù)的性質(zhì)，本題較易，能較好地考查考生的運(yùn)算求解實(shí)力及對(duì)困難式子的變形實(shí)力等.【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】7.已知函數(shù)對(duì)隨意都有，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱,所以y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以f(x)為偶函數(shù)，令x=-2,則,,所以周期為4,所以,應(yīng)選A.8.已知函數(shù)設(shè)表示中的較大值，表示中的較小值，記得最小值為得最小值為,則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：設(shè)，由得，此時(shí)；由得，此時(shí)；由得，此時(shí)；綜上可知時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以考點(diǎn)：1．二次函數(shù)值域；2．分狀況探討【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，，由是奇函數(shù)，可作出的圖像，如下圖所示,又因?yàn)?，，所以的圖像恒在圖像的下方，即將的圖像往右平移一個(gè)單位后恒在圖像的下方，所以，解得．故選B．考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】二、填空題10.設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則=___________.【答案】2【解析】，令，則為奇函數(shù)，所以的最大值和最小值和為0，又.有，即.答案為：2.11.函數(shù)滿意，且在區(qū)間上，則的值為____．【答案】【解析】分析：先依據(jù)函數(shù)周期將自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，代入對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式求值，再代入對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式求結(jié)果.詳解：由得函數(shù)的周期為4，所以因此點(diǎn)睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿意相應(yīng)段自變量的取值范圍.12.下面有5個(gè)命題：①函數(shù)的最小正周期是；②終邊在軸上的角的集合是；③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)；④把函數(shù)的圖象向右平移得到的圖象；⑤角為第一象限角的充要條件是．其中，真命題的編號(hào)是______（寫出全部真命題的編號(hào)）．【答案】①④【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系以及二倍角公式可推斷①；利用終邊相同角的寫法即可推斷②；探討單調(diào)性，且只有，由零點(diǎn)存在性定理可推斷③；利用三角函數(shù)的圖像變換可推斷④；依據(jù)充分必要條件可推斷⑤；【詳解】①函數(shù)，最小正周期是；②終邊在軸上的角的集合應(yīng)當(dāng)是；③因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)單調(diào)遞增．又易知，所以在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，是原點(diǎn)；④把函數(shù)的圖象向右平移得到，即得到的圖象；⑤“角為第一象限角”是“”的充分不必要條件．故答案為：①④【點(diǎn)睛】本題考查了推斷命題的真假、三角函數(shù)圖像的變換、導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、充分必要條件、坐標(biāo)軸上的角的集合、二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.13.已知函數(shù)和的圖象的對(duì)稱軸完全相同．若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意可知兩函數(shù)周期相同，即，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由兩個(gè)三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸完全相同知其周期相同，即，所以又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期公式、三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)是定義在上、以1為周期的函數(shù)，若在上的值域?yàn)?，則在區(qū)間上的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥柯?5.已知，函數(shù)若對(duì)隨意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】由題意分類探討和兩種狀況，結(jié)合恒成立的條件整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】分類探討：①當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，，則；②當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)或時(shí)，，則；綜合①②可得的取值范圍是，故答案為.點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，親密聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析．三、解答題16.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】試題分析：（1）依據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可化簡(jiǎn)得，再依據(jù)，即可得到，利用正弦定理，可作出證明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.試題解析：（1）由題意知，，化簡(jiǎn)得：即，因?yàn)?，所以，從而，由正弦定理?（2）由（1）知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.考點(diǎn)：三角恒等變換的應(yīng)用；正弦定理；余弦定理.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了三角恒等變換的應(yīng)用、正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，涉及到三角函數(shù)的基本關(guān)系式和三角形中的性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和學(xué)生的推理與運(yùn)算實(shí)力，以及學(xué)問間的融合，屬于中檔試題，解答中熟記三角函數(shù)恒等變換的公式是解答問題的關(guān)鍵.【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】17.設(shè)函數(shù)，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】試題分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)得到由題設(shè)知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得從而.依據(jù)得到，進(jìn)一步求最小值.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以由題設(shè)知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最小值.【名師點(diǎn)睛】此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)、進(jìn)一步探討函數(shù)的性質(zhì)，本題易錯(cuò)點(diǎn)在于一是圖象的變換與解析式的對(duì)應(yīng)，二是忽視設(shè)定角的范圍.難度不大，能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解實(shí)力及困難式子的變形實(shí)力等.18.如圖,在四棱錐中,平面平面,.（1）求證:平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn),使得平面？若存在,求的值；若不存在,說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.【解析】試題分析：（Ⅰ）由面面垂直的性質(zhì)定理知AB⊥平面，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，再由線面垂直的判定定理可知平面；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法可求出直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假設(shè)存在，依據(jù)A，P，M三點(diǎn)共線，設(shè)，依據(jù)BM∥平面PCD，即（為平面PCD的法向量），求出的值，從而求出的值.試題解析：（Ⅰ）因平面平面，，所以平面.所以.又因?yàn)椋云矫?（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所?如圖建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.（Ⅲ）設(shè)棱上一點(diǎn)，則存在使得.因此點(diǎn).因?yàn)槠矫?，所以平面?dāng)且僅當(dāng)，即，解得.所以在棱上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí).【考點(diǎn)】空間線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理；線面角的計(jì)算；空間想象實(shí)力，推理論證實(shí)力【名師點(diǎn)睛】平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用：當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常作的協(xié)助線是在其中一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而可以證明線線垂直(必要時(shí)可以通過平面幾何的學(xué)問證明垂直關(guān)系)，構(gòu)造(找尋)二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等.【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】19.已知函數(shù)．（1）探討的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】分析：(1)首先確定函數(shù)的定義域，之后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，之后對(duì)進(jìn)行分類探討，從而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，從而求得函數(shù)對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；(2)依據(jù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合第一問的結(jié)論，可以確定，令，得到兩個(gè)極值點(diǎn)是方程的兩個(gè)不等的正實(shí)根，利用韋達(dá)定理將其轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)證得結(jié)果.詳解：（1）的定義域?yàn)椋?（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減.（ii）若，令得，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿意，所以，不妨設(shè)，則.由于，所以等價(jià)于.設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)，.所以，即.點(diǎn)睛：該題考查的是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值以及極值所滿意的條件，在解題的過程中，須要明確導(dǎo)數(shù)的符號(hào)對(duì)單調(diào)性的確定性作用，再者就是要先保證函數(shù)的生存權(quán)，先確定函數(shù)的定義域，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行探討，還有就是在做題的時(shí)候，要時(shí)刻關(guān)注第一問對(duì)其次問的影響，再者就是通過構(gòu)造新函數(shù)來解決問題的思路要明確.20.已知函數(shù)且在上的最大值為，（1）求函數(shù)f(x)的解析式；(2)推斷函數(shù)f(x)在（0，π）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明【答案】（1）（2）2個(gè)零點(diǎn).【解析】【分析】（1）由題意，可借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)上的單調(diào)性，確定出最值，令最值等于，即可得到關(guān)于a的方程，由于a的符號(hào)對(duì)函數(shù)的最值有影響，故可以對(duì)a的取值范圍進(jìn)行探討，分類求解；（2）借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)單調(diào)性，由零點(diǎn)判定定理即可得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),對(duì)于隨意的x∈(0,)，有sinx+xcosx>0,當(dāng)a=0時(shí),f(x)=?，不合題意；當(dāng)a<0時(shí),x∈(0,),f′(x)<0,從而f(x)在(0,)單調(diào)遞減，又函數(shù)f(x)=axsinx?(a∈R)在[0,]上圖象是連綿不斷的，故函數(shù)在[0,]上的最大值為f(0)，不合題意；當(dāng)a>0時(shí),x∈(0,),f′(x)>0,從而f(x)在(0,)單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)=axsinx?(a∈R)在[0,]上圖象是連綿不斷的，故函數(shù)在[0,]上上的最大值為f()=a?=，解得a=1，綜上所述得；(2)函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)。證明如下：由(I)知,f(x)=xsinx?,從而有f(0)=?<0,f()=π?32>0，又函數(shù)在[0,]上圖象是連綿不斷的,所以函數(shù)f(x)在(0,)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又由(I)知f(x)在(0,)單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)在(0,)內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)x∈[,π]時(shí),令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx，由g()=1>0,g(π)=?π<0,且g(x)在[,π]上圖象是連綿不