第77講、定點(diǎn)、定值問(wèn)題（教師版）

第77講定點(diǎn)、定值問(wèn)題知識(shí)梳理1、定值問(wèn)題解析幾何中定值問(wèn)題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來(lái)解決．證明過(guò)程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚?）函數(shù)把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．（3）定值化簡(jiǎn)得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．2、求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過(guò)程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個(gè)參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個(gè)參數(shù)表示另外一個(gè)參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．②分式相除消參：兩個(gè)含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．③因式相減消參：兩個(gè)含參數(shù)的因式相減，把兩個(gè)因式所含參數(shù)消掉．④參數(shù)無(wú)關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為時(shí)，此時(shí)與參數(shù)的取值沒(méi)什么關(guān)系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒(méi)什么關(guān)系了，或者說(shuō)參數(shù)不起作用．3、求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明．一般解題步驟：①斜截式設(shè)直線方程：，此時(shí)引入了兩個(gè)參數(shù)，需要消掉一個(gè)．②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．③參數(shù)無(wú)關(guān)找定點(diǎn)：找到和沒(méi)有關(guān)系的點(diǎn)．必考題型全歸納題型一：面積定值例1．（2024·安徽安慶·安慶一中?？既＃┮阎獧E圓過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)，橢圓的離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)P為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)M，直線與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形的面積為定值.【解析】（1）根據(jù)題意可知，又，即可得，結(jié)合，解得；即橢圓的方程為.（2）證明：由（1）可知，如下圖所示：設(shè)，且；易知直線的斜率，所以的直線方程為；同理直線的斜率，所以的直線方程為；由題意解得；所以可得，四邊形的面積又，可得，故，即四邊形的面積為定值.例2．（2024·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線：的焦距為，且焦點(diǎn)到近線的距離為1.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值.【解析】（1）依題意得，，一條漸近線為，即，右焦點(diǎn)為，所以，即，，所以，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)雙曲線的頂點(diǎn)，不妨設(shè)，又漸近線方程為，將代入，得，將代入，得，則，.當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線，且，聯(lián)立，消去并整理得，因?yàn)閯?dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，所以，得，設(shè)動(dòng)直線與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，聯(lián)立，得，同理得，則因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離，所以，又因?yàn)?，所以，即，故的面積為定值，且定值為.例3．（2024·廣東廣州·高三廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，漸近線方程為，點(diǎn)在上；

(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的兩條直線，分別與雙曲線交于，兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），且兩條直線的斜率，滿(mǎn)足，直線與直線，軸分別交于，兩點(diǎn)，求證：的面積為定值.【解析】（1），，依題意，，所以雙曲線的方程為.（2）依題意可知斜率存在，設(shè)方程為，，，，，①，，整理得.1），，過(guò)舍去，2），，過(guò)點(diǎn)，此時(shí)，將代入①得，與交于點(diǎn)，故（定值）變式1．（2024·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？既＃┰O(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程；(2)內(nèi)接于橢圓，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，與交于點(diǎn)，滿(mǎn)足，證明：面積為定值，并求出該定值．【解析】（1）由題意得，解得，所以橢圓C的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．由題設(shè)知，，，均不為零，記，則且又四點(diǎn)共線，從而，于是，，，從而①，②，又點(diǎn)在橢圓上，即③，④，①＋②×2并結(jié)合③、④得，即點(diǎn)總在定直線上．∴所在直線為上．由消去y得，，設(shè)，則，于是，又到的距離，∴∴面積定值為．變式2．（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知，既是雙曲線：的兩條漸近線，也是雙曲線：的漸近線，且雙曲線的焦距是雙曲線的焦距的倍.

(1)任作一條平行于的直線依次與直線以及雙曲線，交于點(diǎn)，，，求的值；(2)如圖，為雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作，的平行線交于，兩點(diǎn)，證明：的面積為定值，并求出該定值.【解析】（1）依題意，根據(jù)雙曲線的焦距是雙曲線的焦距的倍，可得，即，故雙曲線：，不妨設(shè)：，則設(shè)：，聯(lián)立，可得，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，從而,所以（2）如圖，延長(zhǎng)，分別交漸近線于，兩點(diǎn)，由（1）可知，則，設(shè)，則：，聯(lián)立，解得，而：，聯(lián)立，解得，從而，設(shè)的傾斜角為，則，而，故，則，因此.變式3．（2024·四川成都·高二樹(shù)德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，是橢圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，三點(diǎn)不共線，記的面積為.

(1)若，求證：；(2)記直線的斜率為，當(dāng)時(shí)，試探究是否為定值并說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)的夾角為，則，所以，則；（2）由可知，，所以，設(shè)直線的方程分別為：，設(shè).則，所以.題型二：向量數(shù)量積定值例4．（2024·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，，是C的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的動(dòng)直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，橢圓的其中一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上，(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)，證明:為定值.【解析】（1）由可得準(zhǔn)線為，所以橢圓的左焦點(diǎn)，所以橢圓的半焦距，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以，故.所以，所求橢圓的方程為.（2）如圖所示：①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為，將代入可得，所以，，此時(shí)，，則，②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由，得，則，，，，所以，，，，綜上所述，為定值，且定值為.例5．（2024·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？计谀┮阎菕佄锞€上一點(diǎn)，且M到C的焦點(diǎn)的距離為5.

(1)求拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)Q，設(shè)，，求證：是定值.【解析】（1）由拋物線的定義，得，解得p＝2.所以拋物線C的方程為，M的坐標(biāo)為或.（2）由題意知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為x＝ty＋1（t≠0），則.將x＝ty＋1代入得.設(shè)，，則，.由，得；由，得.所以，故是定值1.例6．（2024·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)的直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，探索是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可得，即，化簡(jiǎn)可得.（2）設(shè)點(diǎn)，由（1）點(diǎn)滿(mǎn)足方程:，，代入上式消去可得，即的軌跡方程為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，則直線的方程為，由，消去，得，顯然，設(shè)，則，，又，，則.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，.故是定值，即.變式4．（2024·全國(guó)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在E上．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為橢圓E的左頂點(diǎn)，直線QA，QB分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值．【解析】（1）由題意得，又點(diǎn)在橢圓上，則，解得，故所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意知直線的斜率不為，可設(shè)方程為，聯(lián)立，消得，則，設(shè)由韋達(dá)定理得，，則，且，又則直線的方程為：，令得，，同理可得，，故，由，則，則.即為定值.變式5．（2024·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┮阎獧E圓的離心率為，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為2.(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且與x軸，y軸交于M，N兩點(diǎn).①若，求k的值；②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，求證：為定值.【解析】（1），，代入得.又橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2，即，即，以上各式聯(lián)立解得，則橢圓方程為.（2）①直線與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，聯(lián)立消去得:，設(shè)，則解得:.由得;②證明：由①知，為定值.題型三：斜率和定值例7．（2024·四川成都·高三成都七中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，．(1)證明：總與和相切；(2)在（1）的條件下，若與在y軸右側(cè)相切于A點(diǎn)，與在y軸右側(cè)相切于B點(diǎn)．直線與和分別交于P，Q，M，N四點(diǎn).是否存在定直線使得對(duì)任意題干所給a，b，總有為定值？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：當(dāng)時(shí)，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，代入橢圓方程得：，由，化簡(jiǎn)得：，所以，把代入，得：，于是，則橢圓的切線斜率為，切線方程為，整理得到，其中，故，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿(mǎn)足，所以橢圓在處的切線方程為；上一點(diǎn)的切線方程為，理由如下：設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，與聯(lián)立得，，由，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋肷鲜降?，整理得，同除以得，，即，因?yàn)?，，所以，?lián)立，兩式相乘得，，從而，故，即，令，則，即，解得，即，所以上一點(diǎn)的切線方程為，綜上：在點(diǎn)的切線方程為.故曲線且在點(diǎn)的切線方程為．當(dāng)時(shí)，，聯(lián)立得，，解得，則，當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足，即曲線C與相切，而此時(shí)且．故總與和相切．（2）設(shè)直線．設(shè)與交于和，聯(lián)立得，由韋達(dá)定理得，，由題意，，代入整理得，因?yàn)闉槎ㄖ祵?duì)任意a，b均成立，故為定值與a無(wú)關(guān)，為定值與b無(wú)關(guān)．當(dāng)時(shí)，必有，此時(shí)．故有，代入解得，矛盾．當(dāng)時(shí)，且時(shí)成立．此時(shí)直線，由（1）知與曲線僅有1個(gè)交點(diǎn)，矛盾．故不存在，使為定值對(duì)任意a，b均成立．例8．（2024·河南洛陽(yáng)·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線與拋物線在第一象限交于點(diǎn).(1)已知為拋物線的焦點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為.若斜率為的直線與拋物線和均相切，證明為定值，并求出該定值.【解析】（1）由得，設(shè)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得.（2）聯(lián)立，解得或，所以，所以直線的斜率.設(shè)直線的方程為.聯(lián)立，消去得，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，即，若，則，不符合題意，所以，即，①聯(lián)立，消去得，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，即，②由①②可得，所以，故為定值，該定值為0.例9．（2024·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是且直線PA，PB的斜率之積是，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線H.(1)求曲線H的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.【解析】（1）設(shè)，則由直線PA，PB的斜率之積是可得，化簡(jiǎn)可得（2）設(shè)直線方程為：，則與橢圓方程聯(lián)立可得：，則，故或，設(shè)，則，.故.變式6．（2024·河南商丘·高二校考階段練習(xí)）已知是橢圓的頂點(diǎn)（如圖），直線l與橢圓交于異于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，若橢圓的離心率是，且，

(1)求此橢圓的方程；(2)設(shè)直線和直線的斜率分別為，證明為定值.【解析】（1）由已知可得橢圓的離心率，，∴，∴橢圓方程為；（2）如圖，由（1）可知：，，，且，所以直線的斜率，設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立得：，，∴，則，又，，，，∴，，為定值.變式7．（2024·云南昆明·高二云南師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線為為圓與軸正半軸的交點(diǎn).(1)若直線與圓相切，求直線的方程：(2)證明：若直線與圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率之和為定值.【解析】（1）由已知可得，圓心，半徑.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)直線與圓不相切；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線斜率為，則方程為，即.由直線與圓相切，可知圓心到直線的距離，整理可得，，解得或.所以，直線的方程為或.綜上所述，直線的方程為或.（2）由題設(shè)得到點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)直線與圓的交點(diǎn)為，，則；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，代入圓的方程可得.設(shè)點(diǎn)，則.所以，，則.綜上所述，與的斜率之和為定值.故與的斜率之和為定值.題型四：斜率積定值例10．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切．(1)求C的方程；(2)直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)C上的點(diǎn)P作x軸的平行線交線段AB于點(diǎn)Q，且平分，設(shè)直線的斜率為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），判斷是否為定值？并說(shuō)明理由．【解析】（1）由橢圓的離心率為，得，即有，由以C的短軸為直徑的圓方程為，由與直線相切得：，聯(lián)立解得，∴C的方程為；（2）為定值，且，理由如下：由題意，直線AP，BP的斜率互為相反數(shù)，即，設(shè)，由，消去y得：，∴，而，∴，即，∴，∴，化簡(jiǎn)得，又∵在橢圓上，∴，∴，∴，∴，又∵不在直線，則有，即，∴為定值，且.例11．（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足直線PM與PN的斜率之積為，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，AD⊥x軸，垂足為D，連接BD并延長(zhǎng)交曲線C于點(diǎn)H．證明：直線AB與AH的斜率之積為定值．【解析】（1）由題設(shè)得，化解得，所以為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)．（2）設(shè)直線的斜率為，則其方程為．由得，記，則，，．于是直線的斜率為，方程為．由得．①設(shè)，則和是方程①的解，則，故，由此得．從而直線的斜率，所以．所以直線與的斜率之積為定值．例12．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線：的距離之比為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)過(guò)上兩點(diǎn)，作斜率均為的兩條直線，與的另兩個(gè)交點(diǎn)分別為，.若直線，的斜率分別為，，證明：為定值.【解析】（1）設(shè)，由題意可知，所以的方程為；（2）設(shè)，，∴方程：代入橢圓方程，∴，∴，∴，∴，∴同理設(shè)，，∴，∴為定值.變式8．（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在C上，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.【解析】證明：由題意可得，解得，故橢圓方程為，由題意可設(shè)直線l的方程為，設(shè)，則，則，兩式相減得，即，即，又M為線段AB的中點(diǎn)，即有,即，即直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.題型五：斜率比定值例13．（2024·福建廈門(mén)·高二廈門(mén)一中?？计谥校┮阎p曲線：實(shí)軸長(zhǎng)為4（在的左側(cè)），雙曲線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率為，，請(qǐng)從下列的結(jié)論中選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并予以證明.①為定值；②為定值；③為定值【解析】（1）設(shè)是上的一點(diǎn)，與是的兩條漸近線，到兩條漸近線的距離之積，依題意，，故，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）正確結(jié)論：③為定值.證明如下：由（1）知，，設(shè)，，因?yàn)?，不與，重合，所以可設(shè)直線：，與聯(lián)立：，消去整理可得：故，，，所以，，，①，，不是定值，②，，不是定值，③，所以是定值.例14．（2024·四川成都·高二?？计谥校┮阎獧EC：，為其左右焦點(diǎn)，離心率為，(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)P在橢圓C上，過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的切線l，斜率為，，的斜率分別為，，則是否是定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由已知條件可得，，解得，橢圓；（2）是定值，證明：因?yàn)辄c(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線，斜率為，且，與聯(lián)立消得，由題設(shè)得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，，代入上式得，而，定值），是定值；例15．（2024·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，且在軸上方，當(dāng)軸時(shí)，.(1)求雙曲線方程.(2)求證：直線的斜率之比為定值.【解析】（1）由題意可得，當(dāng)軸時(shí)，直線，則，又，所以；（2）由題意可知，不妨設(shè)：,，易知，聯(lián)立雙曲線方程得，則，且，不難發(fā)現(xiàn)由斜率公式可知，則，故是定值.題型六：線段定值例16．（2024·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知圓：與圓：.(1)若圓與圓內(nèi)切，求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)，在軸正半軸上是否存在異于A的點(diǎn)，使得對(duì)于圓上任意一點(diǎn)，為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)椋?，即，故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)，且圓：，故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)，若圓與圓內(nèi)切，則，即，且，所以.（2）設(shè)點(diǎn)，則，于是，即，同理，可得，要使為定值，則，解得或（舍去），故存在點(diǎn)使得為定值，此時(shí).例17．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，記其軌跡為Γ.(1)請(qǐng)從以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求對(duì)應(yīng)的Γ的方程；①以點(diǎn)P為圓心的動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且內(nèi)切于圓；②已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)T的距離與到直線l的距離之比為；③設(shè)E是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E作直線EG垂直于x軸，垂足為G，且.(2)在（1）的條件下，設(shè)曲線Γ的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，若過(guò)點(diǎn)的直線m的斜率存在且不為0，設(shè)直線m交曲線Γ于點(diǎn)M，N，直線n過(guò)點(diǎn)且與x軸垂直，直線AM交直線n于點(diǎn)P，直線BN交直線n于點(diǎn)Q，則線段的比值是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）選①，則由得，由橢圓的定義得長(zhǎng)軸為4，焦距為2，所求軌跡Γ的方程為.選②，設(shè)，由，化簡(jiǎn)得即所求軌跡Γ的方程為.選③，設(shè)，由，得，代入圓O的方程，得，即所求軌跡Γ的方程為（2）已知直線m的斜率存在且不為0，設(shè)過(guò)點(diǎn)K的直線m的方程為，設(shè)，與方程聯(lián)立得：，∴.且直線AM的方程為，∴.同理，，∴其中，，將代入可得，，∴.例18．（2024·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，已知橢圓()的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(非左右頂點(diǎn))，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，面積的最大值為2．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，且與的離心率相等，為與異于的交點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，證明：為定值．【解析】（1）的周長(zhǎng)為，由橢圓的定義得，即，又面積的最大值為2，，即，，，，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可知，，橢圓的離心率，設(shè)橢圓的方程為，則有，，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，，，點(diǎn)在曲線上，，依題意，可設(shè)直線，的斜率分別為，則的方程分別為，，于是，聯(lián)立方程組，消去整理，得，，，，同理可得：，，，為定值.變式9．（2024·湖南·高三臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，且．(1)求的值；(2)若直線l與交于M，N兩點(diǎn)，與交于P，Q兩點(diǎn)，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，證明：為定值．【解析】（1）由題意知，，所以，解得．（2）由（1）知，．設(shè)直線，，，，，根據(jù)題意結(jié)合圖形可知，且．聯(lián)立，得，則，同理聯(lián)立，得，則．由可得，，又，，所以，即，化簡(jiǎn)得，即，又因?yàn)?，，所以，再由，得．?lián)立，解得，所以，，．故，所以為定值.變式10．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線（為常數(shù)，）.點(diǎn)是拋物線上不同于原點(diǎn)的任意一點(diǎn).(1)若直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求；(2)設(shè)為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)為，且直線，與軸分別交于，兩點(diǎn).①證明：②試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）將直線與拋物線聯(lián)立，消去可得，由題意可知該方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，又點(diǎn)在拋物線上，即；可得，解得（2）①易知拋物線的準(zhǔn)線方程為；不妨設(shè)，切點(diǎn)，如下圖所示：將求導(dǎo)可得，則切線的斜率，切線的方程為，又，的方程可化為；同理可得的方程可化為；又兩切線交于點(diǎn)，所以，因此可得是方程的兩根，因此；所以；因此②設(shè)直線和的傾斜角為，直線的傾斜角為，所以；又；；；所以，將代入可得，則可得，即；又，所以，可得，則為定值.變式11．（2024·山東淄博·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：與直線相切.(1)若直線與圓交于，兩點(diǎn)，求；(2)已知，，設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，證明：為定值.【解析】（1）由題意，圓心到直線的距離：，圓與直線相切，∴，圓方程為:，∵圓心到直線的距離:，∴.（2）由題意及（1）證明如下設(shè),則，∴，即為定值.變式12．（2024·福建廈門(mén)·廈門(mén)一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，分別是橢圓：的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，，直線的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線，與，軸分別交于點(diǎn)，，與橢圓相交于點(diǎn)，.（i）求的面積與的面積之比；（ⅱ）證明：為定值.【解析】（1）∵、是橢圓，的兩個(gè)頂點(diǎn)，且，直線的斜率為，由，，得，又，解得，，∴橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，則，，聯(lián)立方程消去，整理得，，得設(shè)，，∴，.（i），，∴，∴的面積與的面積之比為1；（ii）證明：綜上，.變式13．（2024·四川巴中·高二四川省通江中學(xué)?？计谥校┮阎獔A過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上.是圓外的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求證：無(wú)論的位置如何變化恒為定值；(3)對(duì)于（2）中的定值，使恒為該定值的點(diǎn)是否唯一？若唯一，請(qǐng)給予證明；若不唯一，寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的集合.【解析】（1）顯然，兩點(diǎn)的中點(diǎn)為，直線斜率為，線段的垂直平分線的方程為：，由，解得，，因此圓心，半徑，所以圓的方程為：.（2）如圖，若斜率不存在，則，，；若斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去整理得，設(shè)，，則，，，同理，，所以不論的斜率是否存在，恒為定值.（3）設(shè)，當(dāng)過(guò)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由消去y得，設(shè)，，則，，則，同理，于是，當(dāng)過(guò)的直線斜率不存在時(shí)，其方程為，由，解得，于是，即，因此，而點(diǎn)在圓外，即有，則，所以滿(mǎn)足條件的點(diǎn)不唯一，點(diǎn)的集合.變式14．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若直線：與圓相切，切點(diǎn)在第四象限，直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求證：的周長(zhǎng)為定值．【解析】（1）設(shè)，由條件可知：，等號(hào)的兩邊平方，整理后得：；（2）由（1）的結(jié)論知：曲線C是方程為的橢圓，設(shè)，依題意有：，則，所以直線l的方程為：，聯(lián)立方程：，得：，

設(shè)，則，，，由條件可知：，，的周長(zhǎng)，即定值為10；綜上，曲線C的方向?yàn)?，的周長(zhǎng).題型七：直線過(guò)定點(diǎn)例19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.(1)若的面積為，求直線的方程；(2)過(guò)兩點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別是，證明：直線與交于定點(diǎn).【解析】（1）因的周長(zhǎng)為8，由橢圓定義得，即，而半焦距，又，則，橢圓的方程為，依題意，設(shè)直線的方程為，由消去x并整理得，設(shè)，，則，，，因此，解得，所以直線的方程為或.（2）由（1）知，，則，，設(shè)直線與交點(diǎn)為，則，，而，，則，，兩式相加得：，而，則，因此，兩式相減得：，而，則，即，所以直線與交于定點(diǎn).例20．（2024·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)軸上一點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作直線的垂線，垂足為，兩點(diǎn)，證明：直線，交于一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）設(shè)橢圓半焦距為，∵離心率為，∴.由橢圓性質(zhì)可知，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，面積最大.∴，∴.又，解得，，.∴橢圓的方程為：；（2）設(shè)與軸交于點(diǎn)，則，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，顯然不適合題意；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直線為，∵四邊形為矩形，∴，交于線段的中點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，，直線為：，聯(lián)立，得，，∴，，設(shè)，，則，，聯(lián)立，得，將，代入整理得.將代入，得.綜上，直線、交于定點(diǎn).例21．（2024·江西南昌·高二南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，橢圓C：(a>b>0)過(guò)點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)K(2，0)作與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B點(diǎn)作直線l：x＝的垂線，其中c為橢圓C的半焦距，垂足分別為A1，B1，試問(wèn)直線AB1與A1B的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由題意得?所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線l：x＝，AB1與A1B的交點(diǎn)是.②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB為y＝k(x－2)，由?(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，A1，B1，所以lAB1：，lA1B：y＝，聯(lián)立解得x＝，代入上式可得＝＝0.綜上，直線AB1與A1B過(guò)定點(diǎn)．變式15．（2024·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，點(diǎn)在E上．(1)求E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作互相垂直且與x軸均不重合的兩條直線分別交E于點(diǎn)A，B和C，D，若M，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)，證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）因?yàn)樵摍E圓的離心率，所以有，又，所以有，因?yàn)辄c(diǎn)在E上，所以，聯(lián)立，解得，所以E的方程為；（2）由（1）知，由題意知直線AB和直線CD的斜率都存在且不為0，設(shè)直線AB方程為：，與E的方程聯(lián)立，消去x并整理，得，且，設(shè)，則，所以，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)?，則直線CD的方程為，同理得，當(dāng)，即時(shí)，直線MN的斜率，所以直線MN的方程為，所以，因?yàn)?，所以直線MN的方程即為，顯然直線MN過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，則或，此時(shí)直線MN的方程為，也過(guò)點(diǎn).綜上所述，直線MN過(guò)定點(diǎn).變式16．（2024·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，橢圓：的左，右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，，．(1)求橢圓的方程；(2)不過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）由題意知，，，，∵，，∴，解得，從而，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，．直線不過(guò)點(diǎn)，因此．由，得，時(shí)，，，∴，由，可得，即，故的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)．變式17．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知A?B分別為橢圓E∶的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)?橢圓的離心率為，F(xiàn)1?F2為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上任意一點(diǎn)，且的最小值為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l是圓C∶x2+y2=9上的點(diǎn)處的切線，點(diǎn)M是直線l上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作橢圓C的切線MG，MH，切點(diǎn)分別為G，H，設(shè)切線的斜率都存在.試問(wèn)∶直線GH是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】解∶（1）由.知，，則橢圓方程為，設(shè)，線段AB的方程為則，又因?yàn)椋缘淖钚≈禐?，解得a2=9，所以，故橢圓E的方程為.（2）由題意可知，直線l的方程為，即，設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x3，y3)，由題知，設(shè)直線MG的方程為，，.，化簡(jiǎn)得所以，因?yàn)榉匠讨挥幸唤?，所以，故直線MG的方程為，化簡(jiǎn)得，同理可得直線MH的方程為，又因?yàn)閮汕芯€都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(x3，y3)，所以所以直線GH的方程為，又因?yàn)?，所以直線GH的方程為，.令，得所以直線GH恒過(guò)定點(diǎn).變式18．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：的右頂點(diǎn)是M（2，0），離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過(guò)點(diǎn)T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，問(wèn)直線AD是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）由右頂點(diǎn)是M（2，0），得a＝2，又離心率，所以，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，顯然直線l的斜率存在．直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去y得，由，得，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，即，所以直線AD恒過(guò)點(diǎn)（1，0）．（方法二）設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去x得，由，得或，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)，則直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，此時(shí)直線AD恒過(guò)點(diǎn)（1,0），當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直線l的方程為y＝0，也過(guò)點(diǎn)（1，0）．綜上，直線AD恒過(guò)點(diǎn)（1，0）．題型八：動(dòng)點(diǎn)在定直線上例22．（2024·江蘇南通·高二?？茧A段練習(xí)）已知為的兩個(gè)頂點(diǎn)，為的重心，邊上的兩條中線長(zhǎng)度之和為6.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程.(2)已知點(diǎn)，直線與曲線的另一個(gè)公共點(diǎn)為，直線與交于點(diǎn)，試問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)闉榈闹匦模疫吷系膬蓷l中線長(zhǎng)度之和為6，所以，故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（不包括長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），且，所以，所以的軌跡的方程為；（2）設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立方程得：，則，，所以，又直線的方程為：，又直線的方程為：，聯(lián)立方程，解得，把代入上式得：，所以當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上例23．（2024·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的兩焦點(diǎn)為，為動(dòng)點(diǎn)，若.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若，設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，且與軌跡交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).試問(wèn)：當(dāng)直線在變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條定直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）雙曲線的兩焦點(diǎn)為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)?，且，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.因?yàn)?，所以的軌跡方程；.（2）由題意設(shè)直線的方程為，取，得，直線的方程是，直線的方程是，交點(diǎn)為.若，由對(duì)稱(chēng)性可知：交點(diǎn)為.若點(diǎn)在同一條直線上，則該直線只能為.以下證明對(duì)任意的，直線與交點(diǎn)均在直線上.由得，設(shè)，由韋達(dá)定理得：設(shè)直線與交點(diǎn)為，由，得.設(shè)直線與交點(diǎn)為，由，得，因?yàn)椋?所以與重合.所以當(dāng)直線在變化時(shí)，點(diǎn)恒在直線上.例24．（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的離心率，長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)分別為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問(wèn)：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條直線上？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線的方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意，可得且，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）根據(jù)題意，可設(shè)直線的方程為，取，可得，可得直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得交點(diǎn)為；若，由對(duì)稱(chēng)性可知交點(diǎn)，若點(diǎn)在同一直線上，則直線只能為；以下證明：對(duì)任意的，直線與直線的交點(diǎn)均在直線上，由，整理得，設(shè)，則，設(shè)與交于點(diǎn)，由，可得，設(shè)與交于點(diǎn)，由，可得，因?yàn)?，因?yàn)椋磁c重合，所以當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)均在直線上，.變式19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知曲線，直線與曲線交于軸右側(cè)不同的兩點(diǎn)．(1)求的取值范圍；(2)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，試問(wèn)：的內(nèi)心是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出該直線方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，由題意可得，解得，故的取值范圍為.（2）內(nèi)心恒在一條定直線上，該直線為，∵，即點(diǎn)在橢圓上，若直線過(guò)點(diǎn)，則，解得，即直線不過(guò)點(diǎn)，故直線的斜率存在，由（1）可得：，設(shè)直線的斜率分別為，則，∵，即，則的角平分線為，故的內(nèi)心恒在直線上.變式20．（2024·浙江臺(tái)州·高二校聯(lián)考期中）已知直線l：與圓C：交于A?B兩點(diǎn).(1)若時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)度；(2)設(shè)圓C在點(diǎn)A處的切線為，在點(diǎn)B處的切線為，與的交點(diǎn)為Q.試探究：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)Q是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出這條直線的方程；若不是，說(shuō)明理由.【解析】（1），圓心，半徑，點(diǎn)C到直線的距離，∴；（2）設(shè)點(diǎn)，由題意得：Q?A?B?C四點(diǎn)共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程C：聯(lián)立，消去二次項(xiàng)得：，即為直線l的方程，因?yàn)橹本€l：過(guò)定點(diǎn)，所以，解得：，所以當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)Q恒在直線上.變式21．（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線，圓.(1)證明：直線與圓相交；(2)設(shè)直線與的兩個(gè)交點(diǎn)分別為、，弦的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，設(shè)圓在點(diǎn)處的切線為，在點(diǎn)處的切線為，與的交點(diǎn)為.證明：Q，A，B，C四點(diǎn)共圓，并探究當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條定直線上?若是，請(qǐng)求出這條直線的方程；若不是，說(shuō)明理由.【解析】（1）證明：如圖所示，圓，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為2，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)到圓心距離為1，即在圓內(nèi)，故直線l與圓C相交；（2）l與C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，弦AB的中點(diǎn)為M，設(shè)點(diǎn)，由垂徑定理得，即，整理得，直線l不過(guò)圓心C，則，所以點(diǎn)M的軌跡方程為；（3）依題意有，，四邊形QACB對(duì)角互補(bǔ)，所以Q，A，B，C四點(diǎn)共圓，且QC為圓的直徑，設(shè)，則圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，整理得，與圓C的方程聯(lián)立，消去二次項(xiàng)得∶，即為直線l的方程，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，所以，解得：，所以當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)Q恒在直線上．變式22．（2024·吉林四平·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)上的點(diǎn)滿(mǎn)足直線、的斜率之積為．(1)求的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)且不與軸垂直的直線與交于、兩點(diǎn)，記直線、交于點(diǎn)．探究：點(diǎn)是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)，則，且，所以，，則，故①，又②，

聯(lián)立①②，解得，，故橢圓的方程為．（2）結(jié)論：點(diǎn)在定直線上．

由（1）得，、，設(shè)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，整理得，，，

直線的方程為，直線的方程為，所以，，可得

，解得，因此，點(diǎn)在直線上.變式23．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓：（）過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在定直線上，并求出該定直線的方程．【解析】（1）由橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為，所以，解得故所求的橢圓方程為．（2）由題意得，，直線的方程，設(shè)，聯(lián)立，整理得，∴，．由求根公式可知，不妨設(shè)，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，得代入，得，解得，即直線與的交點(diǎn)在定直線上．題型九：圓過(guò)定點(diǎn)例25．（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)F恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）已知圓M：的切線l(直線l的斜率存在且不為零)與橢圓相交于兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).【解析】（1）由題意可知，離心率，拋物線的焦點(diǎn)為，即該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，故，故，所以橢圓C的方程為；（2）直線l的斜率存在且不為零，故設(shè)直線為，依題意，圓M：，圓心為，半徑，由直線l與圓M：相切，得圓心到直線l的距離，化簡(jiǎn)得，即.設(shè)，聯(lián)立方程，得，則，，故，則，故，即，故以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).例26．（2024·四川宜賓·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點(diǎn)，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率,所以,即.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),所以,所以.所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)橹本€的斜率存在且不為零.故設(shè)直線的方程為.由消去,得,所以設(shè),則.所以.所以.①因?yàn)橹本€和圓相切,所以圓心到直線的距離,整理,得,②將②代入①,得,顯然以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)綜上可知,以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).例27．（2024·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）已知直線l1:過(guò)橢圓C:的左焦點(diǎn)，且與拋物線M:相切.(1)求橢圓C及拋物線M的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線l2過(guò)拋物線M的焦點(diǎn)且與拋物線M交于A，B兩點(diǎn)，直線OA，OB與橢圓的過(guò)右頂點(diǎn)的切線交于M，N兩點(diǎn).判斷以MN為直徑的圓與橢圓C是否恒交于定點(diǎn)P，若存在，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由，得，因?yàn)橹本€與拋物線只有1個(gè)公共點(diǎn)，所以，解得，故拋物線的方程為.由直線過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)得得所以，，3，所以橢圓C的方程為.（2）如圖1，設(shè)，，當(dāng)直線l2斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程：由得，所以，，.

所以，，直線的方程為，同理可得，直線的方程為，令得，，，假設(shè)橢圓C上存在點(diǎn)，恒有.則即，即，即，令，可得或.由于點(diǎn)不在橢圓C上，點(diǎn)在橢圓上，所以橢圓C上存在點(diǎn)，使恒成立如圖2，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線過(guò)拋物線的右焦點(diǎn)，則直線方程為，與拋物線交于，，則直線OA方程為：，直線OB方程為：，橢圓的過(guò)右頂點(diǎn)的切線方程為，切線方程與直線OA交于，與直線OB交于，由上面斜率存在可知恒過(guò)，經(jīng)驗(yàn)證滿(mǎn)足，所以當(dāng)斜率不存在時(shí)候也滿(mǎn)足以MN為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).變式24．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到直線的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)的距離的2倍，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知斜率為的直線l與曲線C交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線l不過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(3)設(shè)點(diǎn)Q為曲線C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)E、F是C上異于點(diǎn)Q的任意兩點(diǎn)，以為直徑的圓恰過(guò)Q點(diǎn)，試判斷直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知，，化簡(jiǎn)可得，，故曲線C的方程為.（2）不妨設(shè)直線的方程：，，，因?yàn)橹本€l不過(guò)點(diǎn)，易知，由可得，，由且可得，或，由韋達(dá)定理可知，，，因?yàn)?，，，，所以，將，代入上式得，，故的值?.（3）由橢圓方程可知，點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橐詾橹睆降膱A恰過(guò)Q點(diǎn)，所以，結(jié)合橢圓特征可知，直線的斜率存在，不妨設(shè)直線方程：，且，，，由可得，，由可得，，由韋達(dá)定理可知，，，因?yàn)?，，，，所以，將，代入上式并化?jiǎn)可得，，故直線方程：，易知直線必過(guò)定點(diǎn)，從而直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.變式25．（2024·廣西·高三象州縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；(2)當(dāng)時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C，過(guò)F的直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ與直線分別交于A，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離等于到的距離，軌跡為拋物線，設(shè)拋物線方程為，，，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足條件.綜上所述：軌跡方程為：時(shí)，；時(shí)，（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得：，，，直線的方程為，同理：直線的方程為，令得，，設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，所以.，圓的半徑為.所以為直徑的圓的方程為.展開(kāi)可得，令，可得，解得或.所以以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)和變式26．（2024·江西宜春·高二江西省豐城中學(xué)?？计谀┮阎p曲線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且點(diǎn)到的漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率不為的直線與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，直線分別交直線AM，AN于點(diǎn)E，F(xiàn)．試判斷以EF為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；反之，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意得：因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為，所以有：解得：因此，雙曲線C的方程為：（2）①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為由可得：設(shè)、，則由：，由直線AM方程，令，得點(diǎn)由直線AN方程，令，得點(diǎn)則以EF為直徑的圓的方程為：令，有：將，代入上式，得可得：解得：，或即以EF為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和；②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為、，以EF為直徑的圓方程為，該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和綜合可得，以EF為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)和題型十：角度定值例28．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過(guò)這兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別是橢圓