第28講、三角函數概念及誘導公式（教師版）

INET：三角函數值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4、三角函數線如下圖，設角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A（1，0）作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T．三角函數線有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線知識點二：同角三角函數基本關系1、同角三角函數的基本關系（1）平方關系：．（2）商數關系：；知識點三：三角函數誘導公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數名不變，符號看象限函數名改變，符號看象限【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導三角函數式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設三角函數在該象限的正負；（3）當為奇數是，“奇變”，正變余，余變正；當為偶數時，“偶不變”函數名保持不變即可．【解題方法總結】1、利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化．2、“”方程思想知一求二．必考題型全歸納題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別例1．（2024·遼寧·校聯(lián)考一模）已知角的終邊上一點的坐標為，則的最小正值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，而，所以角的終邊上點的坐標可寫為：，所以，因此的最小正值為.故選：D例2．（2024·全國·高三專題練習）下列與角的終邊相同的角的表達式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，B，，中角度和弧度混用，不正確；對于C，因為與是終邊相同的角，故與角的終邊相同的角可表示為，C正確；對于D，，不妨取，則表示的角與終邊不相同，D錯誤，故選：C例3．（2024·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）下列各角中與角的終邊相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】與角的終邊相同的角為，當時，，B正確；經驗證，其他三個選項均不合要求.故選：B變式1．（2024·北京·高三北大附中校考階段練習）已知角的終邊為射線，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為角的終邊為射線，所以，角時，，所以，角的集合為，故A選項錯誤；所以，，故B選項錯誤；，故C選項正確；，故D選項錯誤.故選：C【解題方法總結】（1）終邊相同的角的集合的表示與識別可用列舉歸納法和雙向等差數列的方法解決．（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標軸角．題型二：等分角的象限問題例4．（2024·全國·高三專題練習）已知是銳角，那么是（

）．A．第一象限角 B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角【答案】C【解析】因為是銳角,所以,所以,滿足小于180°的正角.其中D選項不包括，故錯誤.故選：C例5．（2024·全國·高三專題練習）若角α是第二象限角，則角2α的終邊不可能在()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】A【解析】∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.∴2α可能是第三或第四象限角或是終邊在y軸的非正半軸上的角，即其終邊不可能在第一、二象限.故選A.例6．（2024·浙江·高三專題練習）若角滿足＝(k∈Z)，則的終邊一定在()A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x軸非正半軸上D．第一象限或第二象限或y軸非正半軸上【答案】D【解析】當時，，終邊位于第一象限當時，，終邊位于第二象限當時，，終邊位于軸的非正半軸上當時，，終邊位于第一象限綜上可知，則的終邊一定在第一象限或第二象限或軸的非正半軸上故選變式2．（1990·上海·高考真題）設角屬于第二象限，且，則角屬于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】為第二象限角，，；當時，為第一象限角；當時，為第三象限角；為第一或第三象限角；，，為第三象限角.故選：C.變式3．（2024·全國·高三專題練習）已知角的終邊與的終邊重合，則的終邊不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因為角的終邊與的終邊重合，所以，，所以，，令，則，此時的終邊位于第二象限；令，則，此時的終邊位于第三象限；令，則，此時的終邊位于第四象限．所以的終邊不可能在第一象限，故選：A．變式4．（2024·全國·高三專題練習）若角是第一象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】C【解析】因為是第三象限角，所以，所以，當為偶數時，是第一象限角，當為奇數時，是第三象限角.故選：C．【解題方法總結】先從的范圍出發(fā)，利用不等式性質，具體有：（1）雙向等差數列法；（2）的象限分布圖示．題型三：弧長與扇形面積公式的計算例7．（2024·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習）已知扇形的圓心角為，扇形的面積為，則該扇形的周長為__________.【答案】【解析】設扇形的半徑為，利用扇形面積計算公式，可得；所以該扇形的弧長為，所以周長為.故答案為：例8．（2024·上海徐匯·上海市南洋模范中學?？既＃┮阎刃螆A心角所對的弧長，則該扇形面積為__________.【答案】【解析】由弧長公式可得，所以扇形面積為，故答案為：例9．（2024·全國·高三專題練習）在東方設計中存在著一個名為“白銀比例”的理念，這個比例為，它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金分割比例”，傳達出一種獨特的東方審美觀.如圖，假設扇子是從一個圓面剪下的，扇形的面積為，圓面剩余部分的面積為，當時，扇面較為美觀.那么按“白銀比例”制作折扇時，扇子圓心角的弧度數為____________.【答案】【解析】設扇子圓心角為，則圓面剩余部分的圓心角為，圓的半徑為，則，，因為，即，即，所以.故答案為：變式5．（2024·全國·高三專題練習）《九章算術》是中國古代數學名著，其對扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據這一算法解決下列問題：現(xiàn)有一扇形田，下周長（弧長）為20米，徑長（兩段半徑的和）為20米，則該扇形田的面積為_____平方米.【答案】100【解析】因為徑長為20米，下周長為20米，所以由題意中“以徑乘周四而一”可知，該扇形菜田的面積平方米。故答案為：100.變式6．（2024·福建廈門·高三福建省廈門第六中學校考階段練習）若一個扇形的周長是4為定值，則當該扇形面積最大時，其圓心角的弧度數是__.【答案】2【解析】設扇形的圓心角弧度數為，半徑為，則，，當且僅當，解得時，扇形面積最大.此時.故答案為：2.變式7．（2024·江西鷹潭·高三鷹潭一中?？茧A段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為r，弧長為l，若扇形周長為20，當這個扇形的面積最大時，則圓心角______弧度．【答案】.【解析】由題意，扇形的圓心角為，半徑為r，弧長為l，且扇形周長為20，可得，即，則扇形的面積，當時，扇形面積取得最大值，此時.故答案為：.

【解題方法總結】應用弧度制解決問題的方法（1）利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．（2）求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題．（3）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．題型四：三角函數定義題例10．（2024·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知是角終邊上的一點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函數的定義可知，故選：B例11．（2024·全國·高三對口高考）如果點P在角的終邊上，且，則點P的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函數定義知：，，所以，，即P的坐標是.故選：B例12．（2024·北京豐臺·北京豐臺二中?？既＃┮阎c的坐標為，將繞坐標原點逆時針旋轉至，則點的縱坐標為（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】設射線與軸非負半軸所成夾角為，則，，射線與軸非負半軸所成夾角為，則，所以，又，，所以.故選：D變式8．（2024·全國·高三專題練習）設，角的終邊與圓的交點為，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫圖，角的終邊與圓的交點為，設，則，，代入得，解得，∵，∴，∴，又∵在單位圓中，，，∴，，∴，故選：D變式9．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，動點P，Q從點出發(fā)在單位圓上運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉弧度，則P，Q兩點在第2019次相遇時，點P的坐標為________.【答案】【解析】由題意求得，P，Q兩點每一秒鐘相遇一次，則P，Q兩點在第2019次相遇時，經過了2019秒，求得點P轉過的周數，可得點P的坐標．因為點P按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉弧度，所以兩點相遇1次的路程是單位圓的周長，即，所以兩點相遇一次用了1秒，因此當兩點相遇2019次時，共用了2019秒，所以此時點P所轉過的弧度為，由終邊相同的角的概念可知，與的終邊相同，所以此時點P位于y軸上，故點P的坐標為.故答案為：.【解題方法總結】（1）利用三角函數的定義，已知角α終邊上一點P的坐標可求α的三角函數值；已知角α的三角函數值，也可以求出角α終邊的位置．（2）判斷三角函數值的符號，關鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結合三角函數值在各象限的符號確定所求三角函數值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況．題型五：象限符號與坐標軸角的三角函數值例13．（2024·全國·高三對口高考）若，則（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【解析】由，即為第四象限角，所以且.故選：C例14．（2024·全國·高三專題練習）已知點是角終邊上一點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，則點在第四象限，由，故.故選：C.例15．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知是第二象限角，則點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因為是第二象限角，所以，，進而硧定，.所以點在第四象限.故選：D變式10．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知是第二象限角，則點（，）所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由題意知：，，進而得到，，所以點（，）位于第三象限.故選：C變式11．（2024·河南許昌·高三?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，點位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】因為，，所以點位于第二象限.故選：B變式12．（2024·全國·高三專題練習）已知點是第二象限的點，則的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】∵點是第二象限的點，∴，，由可得，的終邊位于第二象限或第三象限或軸的非正半軸；由可得，的終邊位于第一象限或第三象限，綜上所述，的終邊位于第三象限.故選：C.【解題方法總結】正弦函數值在第一、二象限為正，第三、四象限為負；．余弦函數值在第一、四象限為正，第二、三象限為負；．正切函數值在第一、三象限為正，第二、四象限為負．題型六：同角求值—條件中出現(xiàn)的角和結論中出現(xiàn)的角是相同的例16．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知是三角形的一個內角，且滿足，則（

）A．2 B．1 C．3 D．【答案】A【解析】將兩邊同時平方可得，即；所以若，解得，這與是三角形的一個內角矛盾，所以，解得，此時求得.故選：A.例17．（2024·山西陽泉·統(tǒng)考二模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，即，所以.因為，所以，所以.因為，所以.故選：B.例18．（2024·全國·高三專題練習）已知，且，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，兩邊平方得，故，所以與導號，又因為，所以，，所以.故選：C.變式13．（2024·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，由題意可得，解得，因此，.故選：B.變式14．（2024·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）已知是關于的方程的兩根，則__________.【答案】【解析】由題意：，所以，所以，即，解得.故答案為：.變式15．（2024·湖南衡陽·高三衡陽市一中?？计谥校┮阎?，則________．【答案】【解析】兩邊平方得：，解得：.故答案為：變式16．（2024·全國·高三專題練習）已知，則______．【答案】【解析】已知①，則，，，，則，，②，聯(lián)立①②，得，，故答案為：.變式17．（2024·全國·高三專題練習）若，則________．【答案】【解析】因為，則，又因為，則，且，解得或（舍去），所以.故答案為：.變式18．（2024·陜西西安·?？寄M預測）已知，則的值是__________．【答案】5【解析】因為，所以，故答案為：5.變式19．（2024·浙江溫州·樂清市知臨中學校考二模）已知，則__________.【答案】【解析】因為，所以、.故答案為：變式20．（2024·全國·高三對口高考）若，求的值為__________.【答案】/【解析】由可得，因為不適合，故，所以，故，故答案為：【解題方法總結】（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數的符號，再利用三角形三角函數定義求未知三角函數值．（2）若無象限條件，一般“弦化切”．題型七：誘導求值與變形例19．（2024·山西陽泉·統(tǒng)考三模）已知，且，則_______．【答案】/【解析】因為，所以，故，所以.。故答案為：例20．（2024·四川綿陽·統(tǒng)考三模）已知，，則______.【答案】/【解析】由得，由可得，故.故答案為：例21．（2024·陜西西安·高三西北工業(yè)大學附屬中學?？茧A段練習）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，所以在第一、二象限，所以.故選：D.變式21．（2024·陜西西安·高三西北工業(yè)大學附屬中學?？茧A段練習）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用誘導公式可得，故選：B.變式22．（2024·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，的值為，故選：變式23．（2024·陜西西安·長安一中校考二模）已知，則（

）A． B． C．- D．【答案】A【解析】.故選：A.【解題方法總結】（1）誘導公式用于角的變換，凡遇到與整數倍角的和差問題可用誘導公