第50講、外接球、內(nèi)切球、棱切球（學(xué)生版）

第50講外接球、內(nèi)切球、棱切球知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：正方體、長(zhǎng)方體外接球1、正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半．2、長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半．3、補(bǔ)成長(zhǎng)方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長(zhǎng)，如圖3所示．（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4知識(shí)點(diǎn)二：正四面體外接球如圖，設(shè)正四面體的的棱長(zhǎng)為，將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．知識(shí)點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球四面體中，，，，這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可以通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題．如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．知識(shí)點(diǎn)四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出知識(shí)點(diǎn)五：直棱錐外接球如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫(huà)在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過(guò)球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．知識(shí)點(diǎn)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型1、正棱錐外接球半徑：．2、側(cè)棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)．解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線(xiàn)；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．知識(shí)點(diǎn)七：側(cè)棱為外接球直徑模型方法：找球心，然后作底面的垂線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形．知識(shí)點(diǎn)八：共斜邊拼接模型如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個(gè)共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點(diǎn)為公共斜邊的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點(diǎn)到，，，四點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．知識(shí)點(diǎn)九：垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問(wèn)題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過(guò)和作平面和平面的垂線(xiàn)，其交點(diǎn)為球心，記為．（3）過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．圖1圖2知識(shí)點(diǎn)十：最值模型這類(lèi)問(wèn)題是綜合性問(wèn)題，方法較多，常見(jiàn)方法有：導(dǎo)數(shù)法，基本不等式法，觀察法等知識(shí)點(diǎn)十一：二面角模型如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問(wèn)題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過(guò)和作平面和平面的垂線(xiàn)，其交點(diǎn)為球心，記為．（3）過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．知識(shí)點(diǎn)十二：坐標(biāo)法對(duì)于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為，利用球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長(zhǎng)．坐標(biāo)的引入，使外接球問(wèn)題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來(lái)，轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算，大大降低了解題的難度．知識(shí)點(diǎn)十三：圓錐圓柱圓臺(tái)模型1、球內(nèi)接圓錐如圖，設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來(lái)計(jì)算．如圖，當(dāng)時(shí)，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當(dāng)時(shí)，球心在圓錐外部．和本專(zhuān)題前面的內(nèi)接正四棱錐問(wèn)題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無(wú)需提前判斷．由圖、圖可知，或，故，所以．2、球內(nèi)接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿(mǎn)足．3、球內(nèi)接圓臺(tái)，其中分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高．知識(shí)點(diǎn)十四：錐體內(nèi)切球方法：等體積法，即知識(shí)點(diǎn)十五：棱切球方法：找切點(diǎn)，找球心，構(gòu)造直角三角形必考題型全歸納題型一：外接球之正方體、長(zhǎng)方體模型例1．（2024·云南昆明·高一?？计谀┱襟w的表面積為96，則正方體外接球的表面積為例2．（2024·吉林·高一校聯(lián)考期末）已知正方體的頂點(diǎn)都在球面上，若正方體棱長(zhǎng)為，則球的表面積為．例3．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在球表面上，長(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為2，3，4則球的表面積是變式1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)郡中學(xué)校考期中）長(zhǎng)方體的外接球的表面積為，，，則長(zhǎng)方體的體積為.變式2．（2024·天津靜?！じ咭恍？计谥校┰陂L(zhǎng)方體中，，，，則長(zhǎng)方體外接球的表面積為．題型二：外接球之正四面體模型例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為．例5．（2024·浙江·高二校聯(lián)考期中）正四面體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)表面積是36π的球面上，則該正四面體的棱長(zhǎng)是．例6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球體積為.變式3．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）正四面體和邊長(zhǎng)為1的正方體有公共頂點(diǎn)，，則該正四面體的外接球的體積為.變式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)?？计谥校┱拿骟w中，其側(cè)面積與底面積之差為，則該正四面體外接球的體積為.題型三：外接球之對(duì)棱相等的三棱錐模型例7．（2024·高一單元測(cè)試）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．例8．（2024·河南·開(kāi)封高中校考模擬預(yù)測(cè)）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（

）A． B． C． D．例9．（2024·廣東揭陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（

）A． B． C． D．變式5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．題型四：外接球之直棱柱模型例10．（2024·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為36，把它沿圖中的虛線(xiàn)折成正六棱柱，當(dāng)這個(gè)正六棱柱的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為．例11．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（

）A． B． C． D．例12．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A．12π B．24π C．48π D．96π變式6．（2024·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習(xí)）已知正三棱柱的體積為，則其外接球表面積的最小值為（）A．12π B．6π C．16π D．8π變式7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱柱中，已知，側(cè)面，且直線(xiàn)與底面所成角的正弦值為,則此三棱柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．變式8．（2024·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱所有棱長(zhǎng)都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B．60 C． D．題型五：外接球之直棱錐模型例13．（2024·安徽宣城·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，側(cè)棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為．例14．（2024·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）在三棱錐中，面，為等邊三角形，且，則三棱錐的外接球的表面積為．例15．（2024·四川成都·高一成都七中?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐，其中平面，則三棱錐外接球的表面積為.變式9．（2024·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐中，為等邊三角形，平面，若，則三棱錐外接球的表面積的最小值為.變式10．（2024·陜西榆林·高二?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐中，平面，，異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為．變式11．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對(duì)角線(xiàn)與的交點(diǎn)，若，，則三棱錐的外接球的體積為.變式12．（2024·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)校考二模）在四棱錐中，平面BCDE，，，，且，則該四棱錐的外接球的表面積為.變式13．（2024·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）三棱錐中,平面,,,,則三棱錐外接球的體積是．題型六：外接球之正棱錐、正棱臺(tái)模型例16．（2024·山東濱州·高一?？计谥校┮阎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為6，則該四棱錐的外接球的體積為．例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┮阎忮F的頂點(diǎn)都在球O的球面上，其側(cè)棱與底面所成角為，且，則球O的表面積為例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）在正三棱錐中，點(diǎn)D在棱上，且滿(mǎn)足，，若，則三棱錐外接球的表面積為.變式14．（2024·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知正三棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，高為，則該三棱錐外接球的表面積為.變式15．（2024·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球體積為．變式16．（2024·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正三棱臺(tái)中，，，，則正三棱臺(tái)的外接球表面積為（

）

A．64 B． C． D．變式17．（2024·遼寧·高三校聯(lián)考期末）正四棱臺(tái)高為2，上下底邊長(zhǎng)分別為2和4，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．變式18．（2024·貴州六盤(pán)水·高一?？茧A段練習(xí)）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該四棱錐外接球的表面積為．變式19．（2024·山西晉中·高三祁縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正四棱錐中，，若四棱錐的體積為，則該四棱錐外接球的體積為．變式20．（2024·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在正四棱臺(tái)中，，．當(dāng)該正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．題型七：外接球之側(cè)棱相等的棱錐模型例19．（2024·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的表面積為．例20．（2024·江蘇常州·高三華羅庚中學(xué)校考階段練習(xí)）在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為．例21．（2024·河北承德·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知三棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)均為，且，則三棱錐的外接球的表面積為.變式21．（2024·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？计谀┮阎忮FP-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，，△ABC是邊長(zhǎng)為的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，，則球O的體積為.變式22．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知在三棱錐中，，，則該三棱錐外接球的體積為A． B． C． D．變式23．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．變式24．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C．s D．題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺(tái)模型例22．（2024·浙江臺(tái)州·高二校聯(lián)考期末）已知圓錐的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，則該圓錐的外接球的體積為.例23．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知某圓錐的軸截面為正三角形，側(cè)面積為，該圓錐內(nèi)接于球，則球的表面積為.例24．（2024·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）一個(gè)圓柱的底面直徑與高都等于一個(gè)球的直徑，則圓柱的表面積與球的表面積之比為.變式25．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知一個(gè)球內(nèi)接圓臺(tái)，圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為和，球的體積為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（

）

A． B． C． D．變式26．（2024·云南·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓臺(tái)的上下底面圓的半徑分別為3，4，母線(xiàn)長(zhǎng)為，若該圓臺(tái)的上下底面圓的圓周均在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．變式27．（2024·陜西西安·高一?？计谥校┤鐖D所示，一個(gè)球內(nèi)接圓臺(tái)，已知圓臺(tái)上?下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．題型九：外接球之垂面模型例25．（2024·江西九江·高一?？计谀┤鐖D，三棱錐中，平面平面BCD，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，.若A，B，C，D四點(diǎn)在某個(gè)球面上，則該球體的表面積為.

例26．（2024·四川樂(lè)山·高二期末）已知正邊長(zhǎng)為1，將繞旋轉(zhuǎn)至，使得平面平面，則三棱錐的外接球表面積為．例27．（2024·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則三棱錐的外接球的表面積為.變式28．（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，．設(shè)D為的中點(diǎn)，三棱錐的體積為，平面平面，則三棱柱外接球的表面積為．變式29．（2024·河南開(kāi)封·開(kāi)封高中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖,在三棱錐中,平面平面ABC,,,,為等邊三角形,則三棱錐外接球的表面積為．變式30．（2024·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形中，，沿對(duì)角線(xiàn)將折起，使平面平面，連接，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為.

變式31．（2024·河南安陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面平面，，且，是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為．變式32．（2024·云南臨滄·高二?？计谥校┤鐖D，已知矩形中，，現(xiàn)沿折起，使得平面平面，連接，得到三棱錐，則其外接球的體積為．

變式33．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在三棱錐中，平面平面，底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為.變式34．（2024·四川樂(lè)山·統(tǒng)考三模）在三棱錐中，，平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積的最小值為．變式35．（2024·湖南衡陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形中，，沿對(duì)角線(xiàn)將折起，使平面平面，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為.題型十：外接球之二面角模型例28．（2024·廣東陽(yáng)江·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B．C． D．例29．（2024·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在四面體PABC中，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例30．（2024·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐平面，二面角的大小為.若點(diǎn)均在球的表面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．變式36．（2024·福建·高一福建師大附中?？计谀┰谒拿骟w中，與都是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，且二面角的大小為，則四面體外接球的表面積是（

）A．52π B．54π C．56π D．60π變式37．（2024·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）圖1為兩塊大小不同的等腰直角三角形紙板組成的平面四邊形ABCD，其中小三角形紙板的斜邊AC與大三角形紙板的一條直角邊長(zhǎng)度相等，小三角形紙板的直角邊長(zhǎng)為a，現(xiàn)將小三角形紙板ACD沿著AC邊折起，使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)M的位置，得到三棱錐，如圖2．若二面角的大小為，則所得三棱錐M－ABC的外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．變式38．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，在中，，，，，沿將折起，使得二面角為60°，得到三棱錐，如圖2，若，則三棱錐的外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．變式39．（2024·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，二面角的大小為，若球的表面積等于，則三棱錐的體積等于（

）A． B．C． D．變式40．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐中，，二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．題型十一：外接球之側(cè)棱為球的直徑模型例31．（2024·貴州黔東南·高二凱里一中?？计谥校┮阎忮F的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．例32．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考期末）已知三棱錐的體積為，，，若是其外接球的直徑，則球的表面積為（

）A． B． C． D．例33．（2024·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學(xué)?？计谥校┮阎忮F的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,為球的直徑,是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,三棱錐的體積為,則球的表面積為(

)A． B． C． D．變式41．（2024·重慶·校聯(lián)考一模）已知三棱錐各頂點(diǎn)均在球上，為球的直徑，若，，三棱錐的體積為4，則球的表面積為A． B． C． D．變式42．（2024·河北唐山·統(tǒng)考三模）三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，是球的直徑，，，則該球的表面積為A． B． C． D．變式43．（2024·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為A． B． C． D．變式44．（2024·福建莆田·高三統(tǒng)考期中）三棱錐的各頂點(diǎn)均在球上，為該球的直徑，，三棱錐的體積為，則球的表面積為A． B． C． D．變式45．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在某球面上，為該球的直徑，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，三棱錐的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．變式46．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是球的直徑，是球球面上的兩點(diǎn)，且，若三棱錐的體積為，則球的表面積為A． B． C． D．題型十二：外接球之共斜邊拼接模型例34．（2022·江西·高二階段練習(xí)（理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是菱形，底面ABCD，是對(duì)角線(xiàn)與的交點(diǎn)，若，，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．例35．（2022·安徽·蕪湖一中高二期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例36．（2022·江西贛州·高二期中（理））在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（

）A． B． C． D．變式47．在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．變式48．三棱錐中，平面平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為題型十三：外接球之坐標(biāo)法模型例37．（2024·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，則四面體ABCD外接球體積是（）A． B． C． D．例38．（2024·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某環(huán)保組織設(shè)計(jì)一款苗木培植箱，其外形由棱長(zhǎng)為2（單位：）的正方體截去四個(gè)相同的三棱錐（截面為等腰三角形）后得到.若將該培植箱置于一球形環(huán)境中，則該球表面積的最小值為例39．（2024·河南開(kāi)封·開(kāi)封高中校考一模）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為.變式49．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖①，在中，，，D，E分別為，的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖②.若F是的中點(diǎn)，則四面體的外接球體積是（

）A． B． C． D．變式50．（2024·湖北武漢·高一武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）期末）如圖，已知四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，面，，，，若，則四棱錐外接球表面積為（

）

A． B． C． D．變式51．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體中中，，AD＝2，M是棱的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B，M，的平面交棱AD于點(diǎn)N，點(diǎn)P為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球表面積的最小值為．變式52．（2024·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱?的中點(diǎn)，G為面對(duì)角線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的外接球表面積的最小值為.變式53．（2024·廣東陽(yáng)江·高三陽(yáng)春市第一中學(xué)階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的外接球半徑的取值范圍為．題型十四：外接球之空間多面體例40．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）自2015年以來(lái)，貴陽(yáng)市著力建設(shè)“千園之城”，構(gòu)建貼近生活、服務(wù)群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級(jí)為“公園中的城市”．截至目前，貴陽(yáng)市公園數(shù)量累計(jì)達(dá)到1025個(gè)．下圖為貴陽(yáng)市某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長(zhǎng)為，則石凳所對(duì)應(yīng)幾何體的外接球的表面積為．例41．（2024·山東青島·高一山東省青島第五十八中學(xué)校考階段練習(xí)）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長(zhǎng)為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長(zhǎng)均為1的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為.例42．（2024·寧夏銀川·銀川二中?？家荒＃┌岩粋€(gè)棱長(zhǎng)都是6的正四棱錐（底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是正方形的中心）每條棱三等分，沿與正四棱錐頂點(diǎn)相鄰的三等分點(diǎn)做截面，將正四棱錐截去四個(gè)小正四面體和一個(gè)小正四棱錐（如圖所示），則剩下的幾何體的外接球的表面積等于．變式54．（2024·山東濟(jì)南·高一山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）取兩個(gè)相互平行且全等的正n邊形，將其中一個(gè)旋轉(zhuǎn)一定角度，連接這兩個(gè)多邊形的頂點(diǎn)，使得側(cè)面均為等邊三角形，我們把這種多面體稱(chēng)作“n角反棱柱”.當(dāng)n=4時(shí)，得到如圖所示棱長(zhǎng)均為2的“四角反棱柱”，則該“四角反棱柱”外接球的表面積等于（

）A． B． C． D．題型十五：與球有關(guān)的最值問(wèn)題例43．（2024·江西撫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱中，，棱柱的側(cè)棱足夠長(zhǎng)，點(diǎn)P在棱上，點(diǎn)在上，且，則當(dāng)△的面積取最小值時(shí)，三棱錐的外接球的體積為.例44．（2024·全國(guó)·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖，直三棱柱中，，點(diǎn)在棱上，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為.例45．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)平面，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，若，則當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，三棱錐外接球的體積為.變式55．（2024·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，直三棱柱中，⊥，，，點(diǎn)P在棱上，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為．變式56．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期末）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面為等腰直角三角形且，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的表面積為.變式57．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝3，則當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，其外接球的表面積為．變式58．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三寧鄉(xiāng)一中?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，底面，，，為的中點(diǎn)，若三棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上，是球上一點(diǎn)，且三棱錐體積的最大值是，則球的體積為.變式59．（2024·江西南昌·南昌十中?？寄M預(yù)測(cè)）點(diǎn)，，，在同一個(gè)球的球面上，，若四面體體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為.題型十六：內(nèi)切球之正方體、正棱柱模型例46．（2024·廣東肇慶·高一校考階段練習(xí)）棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球的球心為，則球的體積為（

）A． B． C． D．例47．（2024·河北邯鄲·高一大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直三棱柱存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例48．（2024·山西太原·高一?？茧A段練習(xí)）已知正方體的內(nèi)切球(球與正方體的六個(gè)面都相切)的體積是，則該正方體的體積為（

）A．4 B．16 C．8 D．64變式60．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若一個(gè)正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（

）A． B． C． D．變式61．（2024·遼寧·高二沈陽(yáng)二中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在正三棱柱中，D是側(cè)棱上一點(diǎn)，E是側(cè)棱上一點(diǎn)，若線(xiàn)段的最小值是﹐且其內(nèi)部存在一個(gè)內(nèi)切球（與該棱柱的所有面均相切），則該棱柱的外接球表面積為（

）A． B． C． D．變式62．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若一個(gè)正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為（

）A． B． C． D．變式63．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)O到直三棱柱各面的距離都相等，球O是直三棱柱的內(nèi)切球，若球O的表面積為，的周長(zhǎng)為4，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．題型十七：內(nèi)切球之正四面體模型例49．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）邊長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．例50．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正四面體的棱長(zhǎng)為，則其內(nèi)切球的表面積為（）A． B．C． D．例51．（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）正四面體的棱長(zhǎng)為，則它的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為（

）A． B． C． D．題型十八：內(nèi)切球之棱錐模型例52．（2024·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知矩形中，，沿著對(duì)角線(xiàn)將折起，使得點(diǎn)不在平面內(nèi)，當(dāng)時(shí)，求該四面體的內(nèi)切球和外接球的表面積比值為（

）A． B． C． D．例53．（2024·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知四棱錐的各棱長(zhǎng)均為2，則其內(nèi)切球表面積為（

）

A． B．C． D．例54．（2024·湖北武漢·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．變式64．（2024·河南濮陽(yáng)·高一濮陽(yáng)一高校考階段練習(xí)）在三棱錐中，平面，且，若球在三棱錐的內(nèi)部且與四個(gè)面都相切（稱(chēng)球?yàn)槿忮F的內(nèi)切球），則球的表面積為（

）A． B． C． D．變式65．（2024·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體為正八面體，則該正八面體的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．變式66．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．題型十九：內(nèi)切球之圓錐、圓臺(tái)模型例55．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在Rt中，.以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．例56．（2024·天津·統(tǒng)考二模）已知一個(gè)圓錐的高為，底面直徑為，其內(nèi)有一球與該圓錐的側(cè)面和底面都相切，則此球的體積為（

）A． B． C． D．例57．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知某圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，其軸截面為直角三角形，則下列關(guān)于該圓錐的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．圓錐的體積為 B．圓錐的表面積為C．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形 D．圓錐的內(nèi)切球表面積為變式67．（2024·貴州貴陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側(cè)面、底面均相切的球）的半徑為2，當(dāng)該圓錐的表面積最小時(shí)，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．變式68．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．變式69．（2024·安徽宣城·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為分別為，的中點(diǎn)，8個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的十面體恰有內(nèi)切球，則該內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．變式70．（2024·湖北咸寧·高二統(tǒng)考期末）已知球內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺(tái)的上、下底面半徑，則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（

）

A． B． C．2 D．題型二十：棱切球之正方體、正棱柱模型例58．（2024·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知球與一正方體的各條棱相切，同時(shí)該正方體內(nèi)接于球，則球與球的表面積之比為（

）A．2：3 B．3：2 C． D．例59．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正三棱柱的體積為18，若存在球O與三棱柱的各棱均相切，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．例60．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知球與棱長(zhǎng)為的正方體的各條棱都相切，則球內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為（

）A． B． C． D．變式71．（吉林省吉林市2024屆高三第四次數(shù)學(xué)（理）調(diào)研試題）已知正三棱柱(底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直)，它的底面邊長(zhǎng)為2，若存在一個(gè)球與此正三棱柱的所有棱都相切，則此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為.變式72．（福建省三明市2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面為等邊三角形.若球O與該三棱柱的各條棱都相切，則球O的體積為.變式73．已知正三棱柱，若有一半徑為4的球與正三棱柱的各條棱均相切，則正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為.變式74．（廣東省茂名市五校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知正三棱柱的高等于1.一個(gè)球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為（

）A． B． C． D．題型二十一：棱切球之正四面體模型例61．（2024·全國(guó)·高一期中）已知某棱長(zhǎng)為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為（

）A． B． C． D．例62．（2024·陜西西安·高一校聯(lián)考期中）所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐構(gòu)成一個(gè)正四面體，則該正四面體的內(nèi)切球與外接球的體積之比為（

）A． B． C． D．例63．（2024·江西南昌·高二進(jìn)賢縣第一中學(xué)校考期中）球與棱長(zhǎng)為的正四面體各條棱都相切，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．變式75．（2024·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知球的表面積為，若球與正四面體的六條棱均相切，則此四面體的體積為（

）A．9 B． C． D．變式76．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）正四面體P-ABC的棱長(zhǎng)為4，若球O與正四面體的每一條棱都相切，則球O的表面積為（

）A．2π B．8π C． D．12π題型二十二