第65講、雙曲線及其性質(zhì)（教師版）

第65講雙曲線及其性質(zhì)知識梳理知識點一：雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于）的點的軌跡叫做雙曲線（這兩個定點叫雙曲線的焦點）．用集合表示為．注意：（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支．（2）當(dāng)時，點的軌跡是以和為端點的兩條射線；當(dāng)時，點的軌跡是線段的垂直平分線．（3）時，點的軌跡不存在．在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時注意以下兩點：=1\*GB3①條件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用．知識點二：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形A2A2焦點坐標(biāo)，，對稱性關(guān)于，軸成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱頂點坐標(biāo)，，范圍實軸、虛軸實軸長為，虛軸長為離心率漸近線方程令，焦點到漸近線的距離為令，焦點到漸近線的距離為點和雙曲線的位置關(guān)系共焦點的雙曲線方程共漸近線的雙曲線方程切線方程為切點為切點切線方程對于雙曲線上一點所在的切線方程，只需將雙曲線方程中換為，換成便得．切點弦所在直線方程為雙曲線外一點為雙曲線外一點點為雙曲線與兩漸近線之間的點弦長公式設(shè)直線與雙曲線兩交點為，，．則弦長，，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù)．通徑通徑（過焦點且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長為焦點三角形雙曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的成為焦點三角形，設(shè)，，，則，，焦點三角形中一般要用到的關(guān)系是等軸雙曲線等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線離心率兩漸近線互相垂直漸近線方程為方程可設(shè)為．【解題方法總結(jié)】（1）雙曲線的通徑過雙曲線的焦點且與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長為．（2）點與雙曲線的位置關(guān)系對于雙曲線，點在雙曲線內(nèi)部，等價于．點在雙曲線外部，等價于結(jié)合線性規(guī)劃的知識點來分析．（3）雙曲線?？夹再|(zhì)性質(zhì)1：雙曲線的焦點到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點到兩條漸近線的距離為常數(shù)；性質(zhì)2：雙曲線上的任意點到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；（4）雙曲線焦點三角形面積為（可以這樣理解，頂點越高，張角越小，分母越小，面積越大）（5）雙曲線的切線點在雙曲線上，過點作雙曲線的切線方程為．若點在雙曲線外，則點對應(yīng)切點弦方程為必考題型全歸納題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，分別是離心率為2的雙曲線的左，右焦點，過點的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點，，且，，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】由題意知，∴，由雙曲線的定義知，，則，∴，，∴，∴的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.例2．（2024·山東臨沂·高二校考期末）已知雙曲線：（，），矩形的四個頂點在上，，的中點為的兩個焦點，且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【答案】【解析】由題意得，．如圖所示，設(shè)，的中點分別為，，在中，，故．由雙曲線的定義可得，則，又，所以，．所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故答案為：.例3．（2024·高二課時練習(xí)）設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】根據(jù)題意可知橢圓方程中的a=13，∵=∴c=5根據(jù)雙曲線的定義可知曲線C2為雙曲線，其中半焦距為5，實軸長為8∴虛軸長為6∴雙曲線方程為變式1．（2024·貴州貴陽·高二清華中學(xué)校考階段練習(xí)）漸近線方程為且經(jīng)過點的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】設(shè)漸近線方程為且經(jīng)過點的雙曲線的方程為，將點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，所以，所求雙曲線的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.變式2．（2024·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【答案】【解析】由雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，可設(shè)雙曲線C的方程為，又C過點，所以，，整理得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故答案為：變式3．（2024·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)校考期中）雙曲線經(jīng)過兩點，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【答案】【解析】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得：，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：.變式4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，M是雙曲線C的右支上一點，雙曲線C的焦點到漸近線的距離為3，與的夾角為，，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】∵雙曲線的一條漸近線為，即，故焦點到漸近線的距離，∴.∵向量與的夾角為，∴.∵，∴，∴，由雙曲線的定義知，，∴，.在中，由余弦定理知，又，∴，∴，∴該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.變式5．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，四點、、、中恰有三點在上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】因為點、關(guān)于原點對稱，且雙曲線也關(guān)于原點對稱，故點、都在雙曲線上，對于點，，，所以，，即點不在雙曲線上，所以，點、、都在雙曲線上，所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.變式6．（2024·高二課時練習(xí)）（1）若雙曲線過點，離心率，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）若雙曲線過點，漸近線方程是，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為．（3）若雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】（1）由，設(shè)，則，．設(shè)所求雙曲線的方程為①或②，把代入①，得，與矛盾，舍去；把代入②，得．∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由漸近線方程，可設(shè)所求雙曲線的方程為①，將點的坐標(biāo)代入①式，得，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（3）設(shè)所求雙曲線的方程為，點在雙曲線上，∴，即，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：；；.【解題方法總結(jié)】求雙曲線的方程問題，一般有如下兩種解決途徑：（1）在已知方程類型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)，，，即利用待定系數(shù)法求方程．（2）根據(jù)動點軌跡滿足的條件，來確定動點的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參數(shù)，即利用定義法求方程．題型二：雙曲線方程的充要條件例4．（2024·全國·高三對口高考）若曲線表示雙曲線，那么實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】曲線表示雙曲線，所以即可.解得或，所以實數(shù)k的取值范圍是：.故選：B.例5．（2024·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若方程表示雙曲線，則，即，由能推出，必要性成立，由不能推出，充分性不成立，故“”是“方程表示雙曲線”的必要不充分條件.故選：B.例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【解析】由題意，解得．故選：B.變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知方程，則E表示的曲線形狀是（

）A．若，則E表示橢圓B．若E表示雙曲線，則或C．若E表示雙曲線，則焦距是定值D．若E的離心率為，則【答案】B【解析】由題意得，當(dāng)時，，即，要表示橢圓，需滿足，解得且，故A錯誤；若E表示雙曲線，則不能為0，故化為，則，即或，故B正確；由B的分析知，時，，此時c不確定，故焦距不是定值，C錯誤；若E的離心率為，則此時曲線表示橢圓，由A的分析知，且，當(dāng)時，，此時，則，解得，當(dāng)時，，此時，則，解得，故D錯誤，故選：B變式8．（2024·四川南充·統(tǒng)考三模）設(shè)，則“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，方程表示雙曲線，則，所以，根據(jù)選項，“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為B.故選：B.【解題方法總結(jié)】表示橢圓的充要條件為：；表示雙曲線方程的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：．題型三：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題例7．（2024·廣東揭陽·高三校考開學(xué)考試）已知雙曲線為坐標(biāo)原點，為雙曲線的兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則雙曲線的方程可以為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)為雙曲線的下焦點，為雙曲線的上焦點，如圖所示，過點作于點.因為，所以，因為，所以，所以，故，得.因為，所以，故點，將代入雙曲線中，即，化簡得，，解得或（舍去），故B項正確.故選：B.例8．（2024·安徽六安·六安一中校考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，直線與雙曲線交于，兩點，若，則的面積等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6【答案】C【解析】直線與雙曲線交于，兩點，若，則四邊形為矩形，所以，，由雙曲線可得，，則，所以，所以，又，所以，解得，所以．故選：C．例9．（2024·福建漳州·高三漳州三中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線分別交雙曲線的左右兩支于兩點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線得出.因為，所以.作于C，則C是AB的中點.設(shè)，則由雙曲線的定義，可得.故，又由余弦定理得，所以，解得.故選：C變式9．（2024·湖北恩施·校考模擬預(yù)測）已知，分別為雙曲線C：的左右焦點，且到漸近線的距離為1，過的直線與C的左、右兩支曲線分別交于兩點，且，則下列說法正確的為（

）A．的面積為2 B．雙曲線C的離心率為C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線C的半焦距為，因為雙曲線C的焦點在x軸上，且，則其中一條漸近線方程為，即，且，則到漸近線的距離，可得.對于選項A：因為，且，可得，解得，所以的面積為，故A錯誤；對于選項B：雙曲線C的離心率為，故B錯誤；對于選項C：因為，可得，所以，故C錯誤；對于選項D：設(shè)，則，因為，即，解得，所以，故D正確；故選：D.變式10．焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的左?右焦點分別是?，過的弦AB與其右支交于A?B兩點，，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可得，則的周長為.故選：C．變式12．（2024·云南保山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是離心率等于的雙曲線的左右焦點，過焦點的直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點，若的周長20，則等于（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的實半軸長、虛半軸長、半焦距分別為，則，．因為離心率，則，所以，，由雙曲線的定義知，，，則，所以的周長，，故選：D．變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左?右焦點，是該雙曲線上的一點，且，則的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，則由雙曲線的定義可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面積為.故選：C.變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線上，下列說法正確的是（

）A．若為直角三角形，則的周長是B．若為直角三角形，則的面積是6C．若為銳角三角形，則的取值范圍是D．若為鈍角三角形，則的取值范圍是【答案】C【解析】因為雙曲線，所以，不妨設(shè)點P在第一象限，則，若為直角三角形，當(dāng)時，則，又，即，所以，，所以，所以的周長是，的面積是；當(dāng)時，設(shè)，代入方程解得（負(fù)值舍去），所以，故，所以，所以的周長是，的面積是6，綜上所述，若為直角三角形，則的周長是或8，的面積是3或6，故A、B錯誤；若為銳角三角形，根據(jù)上述，則的取值范圍是，故C正確；若為鈍角三角形，根據(jù)上述，則的取值范圍是，故D錯誤.故選：C.變式15．（2024·吉林四平·高三雙遼市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別、，點為雙曲線右支上一點，的內(nèi)切圓圓心為，則的面積與的面積之差為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，，.過點作于點，于點，于點，則由的內(nèi)切圓圓心為知：，，，，，解得：，.故選：C.變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點分別為，若雙曲線上一點P使得，求的面積（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先根據(jù)雙曲線方程得到，，，設(shè)，，可得，.由，在根據(jù)余弦定理可得:，即可求得答案.，所以，，，在雙曲線上，設(shè)，，①由，在根據(jù)余弦定理可得:故②由①②可得，直角的面積故選：C.變式17．（2024·上海浦東新·統(tǒng)考三模）設(shè)為雙曲線（）的上一點，，（為左、右焦點），則的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】雙曲線，則不妨設(shè)是雙曲線的右支上一點，則由雙曲線的定義，得則,所以所以，即所以所以故選：C【解題方法總結(jié)】對于題中涉及雙曲線上點到雙曲線兩焦點距離問題常用定義，即，在焦點三角形面積問題中若已知角，則用，及余弦定理等知識；若未知角，則用．題型四：雙曲線上兩點距離的最值問題例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點為，，點為雙曲線上任意一點，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【解析】根據(jù)雙曲線的定義，設(shè)點在雙曲線右支上，則，設(shè)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；由題意知，，，不妨設(shè)點在雙曲線右支上，則，設(shè)，所以，所以當(dāng)時，的值最小，最小為1，故選：A.例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線上一點，是左焦點，是右支上一點，與的內(nèi)切圓切于點，則的最小值為

A． B． C． D．【答案】B【解析】與的內(nèi)切圓切于點，∴,由雙曲線定義=,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,共線時取等故選B例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點，點在曲線上運動，點在曲線上運動，則的最小值是．【答案】【解析】如下圖所示：在雙曲線中，，，，圓的圓心為，半徑長為，所以，雙曲線的左、右焦點分別為、，由雙曲線的定義可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與圓的交點，且時，等號成立，故的最小值是.故答案為：.變式18．（2024·河北衡水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線，其右焦點為，為其上一點，點滿足=1，，則的最小值為(

)A．3 B． C．2 D．【答案】B【解析】雙曲線的右焦點F（5，0）∵M(jìn)滿足|MF|=1，∴點M在以F為圓心，1為半徑的圓上∵，即圓的半徑，即|MP|為圓F的切線長由圓的幾何性質(zhì)，要使|MP|最小，只需圓心F到P的距離|FP|最小∵P是雙曲線上一點∴|FP|最小為c-a=5-3=2，此時|MP|=故選：B．變式19．（2024·高二課時練習(xí)）已知直線l與雙曲線交于A，B兩點，且（為坐標(biāo)原點），若M是直線上的一個動點，則的最小值為（

）A．12 B．6 C．16 D．8【答案】D【解析】由，可知A，B，O三點共線，即直線l過原點O，根據(jù)雙曲線對稱性知O為AB中點，即，可得，當(dāng)和同時取最小值時，取最小值，又由的最小值為原點O到直線距離，且，即的最小值是．故選：D.變式20．（2024·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）已知點，是雙曲線的左、右焦點，點P是雙曲線C右支上一點，過點向的角平分線作垂線，垂足為點Q，則點和點Q距離的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【解析】如圖所示，延長，交于點T，則因為平分，，所以，，因為P在雙曲線上，所以，所以，連接，則，因為，所以，當(dāng)三點共線時取等號，即點和點Q距離的最大值為3，故選：C【解題方法總結(jié)】利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問題例13．（2024·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點在軸上，中心在坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為，為雙曲線右支上一動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為等軸雙曲線的左、右焦點在軸上，中心在坐標(biāo)原點，所以可設(shè)雙曲線的方程為，又因為雙曲線的焦距為8，所以，而，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由雙曲線的定義可知，，由題意可知，，，，所以,故的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且點位于第一象限時取得最大值.故選：B例14．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點為A，左，右焦點分別為，，點P在其右支上，點，三角形的面積為，則當(dāng)取得最大值時點P的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則由三角形的面積為可得，即，又雙曲線一條漸近線方程為，故，即，故，故，解得，故，雙曲線.又由雙曲線的定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時取得等號.此時直線的方程為，即，聯(lián)立可得，解得，由題意可得在中間可得，代入可得，故.故選：B例15．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知F是雙曲線C：的右焦點，P是C的左支上一點，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】由雙曲線方程可知，，，故右焦點，左焦點，當(dāng)點在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知，所以，從而，又為定值，所以，此時點在線段與雙曲線的交點處（三點共線距離最短），故選：B.變式21．（2024·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知拋物線上一點到準(zhǔn)線的距離為是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的一動點，則的最小值為（

）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，則點到準(zhǔn)線的距離為，所以，則，故，設(shè)是雙曲線的右焦點，則，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號，所以的最小值為.故選：D.變式22．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知點，雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上運動.當(dāng)?shù)闹荛L最小時，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線得到,,，左焦點，設(shè)右焦點.當(dāng)?shù)闹荛L最小時，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.===.故選：C.變式23．（2024·福建寧德·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線，點F是C的右焦點，若點P為C左支上的動點，設(shè)點P到C的一條漸近線的距離為d，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．10【答案】A【解析】由雙曲線,可得，,設(shè)雙曲線左焦點為，不妨設(shè)一條漸近線為，即，作，垂足為E，即，作,垂足為H，則，因為點P為C左支上的動點，所以，可得，故，由圖可知，當(dāng)三點共線時，即E和H點重合時，取得最小值，最小值為，即的最小值為，故選：A．變式24．（2024·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)，為雙曲線C：的左、右焦點，Q為雙曲線右支上一點，點P（0，2）．當(dāng)取最小值時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由雙曲線定義得,故如圖示，當(dāng)三點共線，即Q在M位置時，取最小值，，故方程為，聯(lián)立，解得點Q的坐標(biāo)為(Q為第一象限上的一點)，故故選：A變式25．（2024·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)P是雙曲線上一點，M?N分別是兩圓和上的點，則的最大值為（

）A．6 B．9 C．12 D．14【答案】B【解析】因為雙曲線方程為，故，則其焦點為，根據(jù)題意，作圖如下：則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，且在之間時取得等號；，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，且在之間時取得等號；則，故可得，故的最大值為：.故選：B.變式26．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點是右焦點為的雙曲線上一點，點是圓上一點，則的最小值是.【答案】【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，則，設(shè)圓的圓心為，則，半徑.因為雙曲線表示雙曲線的右支（除去頂點），由定義可知：，所以（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立），因為，所以的最小值為，故答案為：.變式27．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的左焦點為，點是雙曲線右支上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為（

）A．5 B． C．7 D．8【答案】C【解析】記雙曲線的右焦點為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點為線段與雙曲線的交點時，取到最小值．故選：C．變式28．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知雙曲線是其左右焦點.圓，點P為雙曲線C右支上的動點，點Q為圓E上的動點，則的最小值是（

）A． B． C．7 D．8【答案】A【解析】由題設(shè)知，，，，圓的半徑由點為雙曲線右支上的動點知，∴∴.故選：A變式29．（2024·四川眉山·高二四川省眉山第一中學(xué)?？计谥校┮阎请p曲線的右焦點，動點在雙曲線左支上，點為圓上一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】雙曲線中，，，，圓半徑為，，∴，（當(dāng)且僅當(dāng)共線且在間時取等號．∴，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與雙曲線的交點時取等號．∴的最小值是9．故選：A．變式30．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）過雙曲線的右支上一點，分別向圓：和圓：作切線，切點分別為，，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【解析】圓C1：（x+4）2+y2＝4的圓心為（﹣4，0），半徑為r1＝2；圓C2：（x﹣4）2+y2＝1的圓心為（4，0），半徑為r2＝1，設(shè)雙曲線x21的左右焦點為F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），連接PF1，PF2，F(xiàn)1M，F(xiàn)2N，可得|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2?2c﹣3＝2?8﹣3＝13．當(dāng)且僅當(dāng)P為右頂點時，取得等號，即最小值13．故選D．【解題方法總結(jié)】在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．題型六：離心率的值及取值范圍方向1：利用雙曲線定義去轉(zhuǎn)換例16．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，分別為雙曲線Ε：的左、右焦點，過原點O的直線l與E交于A，B兩點（點A在第一象限），延長交E于點C，若，，則雙曲線E的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】結(jié)合雙曲線的對稱性可知，，，所以為等邊三角形，則，則.由雙曲線的定義，得，所以，，則.故選：A例17．（2024·陜西西安·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過原點的直線與交于，兩點（點在第一象限），延長交于點，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】結(jié)合雙曲線的對稱性可知，，，所以為等邊三角形，則，則.由雙曲線的定義，得，所以，，則.故選：A例18．（2024·江西南昌·南昌市八一中學(xué)校考三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若在上存在點不是頂點，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)與y軸交于Q點，連接，則，因為，故P點在雙曲線右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形內(nèi)角和為，故，則，即，即，所以的離心率的取值范圍為，故選：A變式31．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為為坐標(biāo)原點，過原點的直線與相交于兩點，，四邊形的面積等于，則的離心率等于（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】如圖，不妨設(shè)點A在第一象限，由題意可得：，則四邊形為平行四邊形，因為，即，則，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，因為，即，整理得.故選：A.變式32．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知雙曲線的左?右焦點分別是，，點在上且位于第一象限，圓與線段的延長線，線段以及軸均相切，的內(nèi)切圓為圓.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為，則的離心率為（

）

A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】由已知及平面幾何知識可得圓心，在的角平分線上，如圖，設(shè)圓，與軸的切點分別為，，顯然，直線為兩圓的公切線，切點也在的角平分線上，所以，由雙曲線的定義知，則，所以，所以，所以，.又圓與圓的面積之比為，這樣圓與圓的半徑之比為，因為，所以，即，整理得，故雙曲線的離心率.故選：D.方向2：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式變式33．（2024·四川成都·四川省成都列五中學(xué)校考三模）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，即，所以，由雙曲線的定義知，所以.如圖，過作，為垂足，因為，所以為的中點，，由得，即，所以，在直角中，,即，即，所以，解得，因為，所以雙曲線的離心率是.故選：A變式34．（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，是雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線的左、右兩支于兩點，且，則雙曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】注意到，則，連接．設(shè)，則，在中，由勾股定理有，解得，∴，在中，由，得，解得．故選B．變式35．（2024·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）已知是雙曲線的一個焦點，為的虛軸的一個端點，（為坐標(biāo)原點），直線垂直于的一條漸近線，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)為右焦點，為的虛軸的端點且在軸的正半徑軸上，則，則，因為，所以，即，所以直線的斜率為，因為雙曲線漸近線方程為，因為直線垂直于的一條漸近線，所以，所以，所以，所以，解得，因為，所以，故選：A變式36．（2024·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點為，右頂點為，一條漸近線與圓在第一象限交于點，交軸于點，且，則的離心率為（

）A． B．2C． D．【答案】C【解析】如圖所示，連接，由雙曲線的漸近線方程為，根據(jù)題意，點在第一象限，將代入，可得，可得由求根公式，可得，因為，且，所以，所以點由，可得，即，因為，所以，即，化簡得，兩邊同除以，得，解得或（舍去）．故選：C.變式37．（2024·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線為左焦點，分別為左?左頂點，為右支上的點，且（為坐標(biāo)原點）.若直線與以線段為直徑的圓相交，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的右焦點為，則，則，為右支上的點，取的中點為B，連接，則，設(shè)，則，則，在中，，即，又直線與以線段為直徑的圓相交，故，設(shè)，則，則需使，解得，即雙曲線離心率的范圍為，即的離心率的取值范圍為，故選：D變式38．（2024·河南信陽·信陽高中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的上下焦點分別為，點在的下支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，過點作漸近線的垂線，垂足為，設(shè)，則點到漸近線的距離.由雙曲線的定義可得，故，所以，即的最小值為，因為恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解得.故選：A.方向3：利用，其中為焦距長，變式39．（2024·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知分別是雙曲線的左?右焦點，斜率為的直線過，交的右支于點，交軸于點，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，由題可知，又因為，所以，因為直線的斜率為，所以，設(shè)為的中點，連接，易知，所以，則，解得，所以雙曲線的離心率為．故選：A.變式40．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過斜率為的直線與的右支交于點，若線段恰被軸平分，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】如圖，設(shè)交y軸與A，A為的中點，因為O為的中點，故為的中位線，則，而，則,因為直線的斜率為，故中，，故設(shè)，則，結(jié)合雙曲線定義以及P在雙曲線右支上，即有，則，故選：C變式41．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點是雙曲線右支上一點，分別是的左、右焦點，若的角平分線與直線交于點，且，則的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】作的平分線交的平分線于，過作軸，垂足分別為，如圖，則點為的內(nèi)心，有，設(shè)，，則，于是直線與直線重合，而的角平分線與直線交于點，即與重合，則點為的內(nèi)心，因此令，由，得，因此，即有，即，所以雙曲線的離心率為.故選：B變式42．（2024·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，分別是雙曲線C：（，）的兩個焦點，P為雙曲線C上一點，且，那么雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，由題意可得：，因為，整理得.故選：D.方向4：坐標(biāo)法變式43．（2024·上海嘉定·?？既＃┮阎p曲線的離心率為，點的坐標(biāo)為，若上的任意一點都滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，因為，所以，則，所以當(dāng)時取得最小值為，依題意恒成立，所以，即，化簡整理得，，即，又，所以，解得.故選：C變式44．（2024·江西·江西師大附中?？既＃┮阎请p曲線C：的左焦點，，直線與雙曲線有且只有一個公共點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】雙曲線的漸近線為，又，，所以直線的斜率為，因為直線與雙曲線有且只有一個公共點，所以根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的一條漸進(jìn)線平行，所以，即，所以，又，所以，所以，解得或（舍去），所以，故選：B變式45．（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃﹫A（為原點）是半徑為的圓分別與軸負(fù)半軸?雙曲線的一條漸近線交于兩點（在第一象限），若的另一條漸近線與直線垂直，則的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解析】如圖所示，由雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立方程組，解得，因為且另一條漸近線與直線垂直，可得，整理得，又由，所以，解得，所以離心率為.故選:B.變式46．（2024·寧夏吳忠·高三吳忠中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，F(xiàn)是C的焦點，點P為C的右支上位于第一象限的點，且軸.若直線PB與直線PA的斜率之比為3，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】由題意可得，，，點的橫坐標(biāo)為，代入，又，所以，，，則，可得．即雙曲線的離心率為2．故選：C．變式47．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知雙曲線的右焦點為，點分別在的兩條漸近線上，且在第一象限，為坐標(biāo)原點，若，，則雙曲線的離心率為（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由雙曲線方程知：漸近線方程為，，，，設(shè)，則，，即，，，又，，，，，，雙曲線的離心率.故選：D.變式48．（2024·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)過原點且傾斜角為的直線與雙曲線C：的左，右支分別交于A、B兩點，F(xiàn)是C的焦點，若三角形的面積大于，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】不妨設(shè)是雙曲線的左焦點，由題可知，直線的方程為，由，得，且，所以，，因為，且大于，所以，所以，解得，又因為，解得，所以，故選：D．方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理變式49．（2024·河南鄭州·三模）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，則，所以∽，設(shè)，則，設(shè)，則，．因為平分，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，在中，由余弦定理知，在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，解得．故選：A．變式50．（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，過的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若，的周長為8a，則C的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則.因.則.因的周長為8a，，則.則.由余弦定理：.則在中，由余弦定理，.故選：C變式51．（2024·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知分別為雙曲線E：的左、右焦點，過的直線與的左、右兩支分別交于兩點．若是等邊三角形，則雙曲線E的離心率為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】由雙曲線的定義，得，，又，所以，在中，即，所以，即，

所以

故選：C．變式52．（2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓O：與雙曲線C：的右支交于點A，B，若，則C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由，解得，因為點A，B關(guān)于x軸對稱，所以，在中，由余弦定理得，即，即，解得，所以或（舍去），故選：B變式53．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線與雙曲線的右支交于點為坐標(biāo)原點，過點作，垂足為，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，直線的斜率為，可得其傾斜角為，由題意得，則，因為，所以，所以，則，在中，由余弦定理可得，即，整理得，即，又因為，解得.故選：C.變式54．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點，點為雙曲線C在第一象限的右支上一點，以A為切點作雙曲線C的切線交x軸于點B，若，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】因為點A在第一象限，由，可得，則，點在雙曲線上，則，即，可得，可得在點處的切線方程為，令，解得，又因為，則，所以，即點，設(shè)雙曲線C的半焦距為，則，，因為，則，整理得，則，可得，且點為雙曲線C在第一象限的右支上一點，則，可得，在中，由余弦定理可得：，即，整理得，所以雙曲線C的離心率.故選：D.變式55．（2024·安徽安慶·安慶一中?？寄M預(yù)測）已知分別是雙曲線的左、右焦點，過點作直線交于兩點.現(xiàn)將所在平面沿直線折成平面角為銳角的二面角，如圖，翻折后兩點的對應(yīng)點分別為，且若，則的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，由題意可得：，則，且，則銳角二面角，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，因為，即，可得，解得.故選：C.變式56．（2024·河南·校聯(lián)考二模）已知雙曲線：的左?右焦點分別是，，是雙曲線上的一點，且，，，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為.由題意，點在雙曲線的右支上，，，由余弦定理得，解得，即，，根據(jù)雙曲線定義得，解得，故雙曲線的離心率.故選：D方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理變式57．（多選題）（2024·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線上存在點（點不與左、右頂點重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為（

）A． B． C． D．2【答案】BC【解析】∵，則離心率，則排除A；記，，，則，由正弦定理結(jié)合分比定理可知：，則，所以B，C是正確的，D不正確.故選：BC.變式58．（2024·全國·高三專題練習(xí)（理））已知雙曲線的左?右焦點分別為，為雙曲線右支上的一點，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在以為直徑的圓上，，，，，，由雙曲線定義知：，即，；，，，則，，即雙曲線離心率的取值范圍為.故選：D.變式59．（2024·河南·商丘市第一高級中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知、分別為雙曲線C：的左、右焦點，O為原點，雙曲線上的點P滿足，且，則該雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】因為，分別為雙曲線的左右焦點，由正弦定理得到，又因為得，又∵，∴，，在中，，，，∴，，在中，，所以，化簡得.故選：D.方向7：利用基本不等式變式60．（2024·四川成都·高三開學(xué)考試（文））已知雙曲線，F(xiàn)為右焦點，過點F作軸交雙曲線于第一象限內(nèi)的點A，點B與點A關(guān)于原點對稱，連接AB，BF，當(dāng)取得最大值時，雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】如圖，根據(jù)題意，，，∴，，設(shè)直線的傾斜角為，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，，，又∴，故答案為：．變式61．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右頂點為、，若該雙曲線上存在點，使得直線、的斜率之和為，則該雙曲線離心率的取值范圍為__________．【答案】【解析】設(shè)點，其中，易知點、，且有，則，，當(dāng)點在第一象限時，，，則，，且，由基本不等式可得，因為存在點，使得直線、的斜率之和為，則，即，.故答案為：.變式62．（2024·四川·高三開學(xué)考試（理））如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)化紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的部分的旋轉(zhuǎn)體．若該雙曲線上存在點P，使得直線PA，PB（點A，B為雙曲線的左、右頂點）的斜率之和為4，則該雙曲線離心率的取值范圍為______．【答案】【解析】設(shè)點，其中，易知點，，且有，則，，當(dāng)點P在第一象限時，，，則，，且，由基本不等式可得，∵存在點P，使得直線PA，PB的斜率之和為4，則，即，∴.故答案為：．方向8：利用漸近線的斜率求離心率變式63．（2024·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點，過C的右焦點F作C的一條漸近線的平行線交C的另一條漸近線于點Q，若，則C的離心率為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】設(shè)漸近線的傾斜角為，則，，則，解得（舍去）或，∴，∴.故選：D．變式64．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，（不重合），的垂直平分線過點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為直線，所以，由題可知的垂直平分線的方程為，將與聯(lián)立可得，即的中點坐標(biāo)為．設(shè)，，則，且，，兩式作差可得，即，所以，則雙曲線的離心率為．故選：D變式65．（2024·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知雙曲線：的右焦點為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點，若，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，不妨設(shè)點在第一象限，由雙曲線的性質(zhì)可得，直線和直線關(guān)于軸對稱，所以和關(guān)于軸對稱，又，則設(shè)，，又直線的方程為：，所以代入點得：，解得：，即點，將點代入雙曲線的方程得：，化解得：，解得：或，又因為，所以，則雙曲線的離心率，故選：A.變式66．（2024·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點，O是坐標(biāo)原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝3|OP|，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，則，，，在中，，在中，，，即，所以故選：A．變式67．（2024·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知P為雙曲線上的動點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)P為直徑的圓與雙曲線C的兩條漸近線交于，兩點（A，B異于點O），若恒成立，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】雙曲線C的兩條漸近線方程為，若恒成立，則A，B兩點始終位于x軸同側(cè)，則，故，即，即，得，又，所以雙曲線離心率的取值范圍為．故選：A．變式68．（2024·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的上焦點為，過焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點，若，則的離心率為（

）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】當(dāng)時，直線與另一條漸近線平行，所以．當(dāng)時，如圖1，過作另一條漸近線的垂線，垂足為，則，由得：，則，所以，則，所以，則．當(dāng)時，如圖2，過作另一條漸近線的垂線，垂足為，則，由得：，則，則，所以，則，所以，則．綜上，的離心率為或．故選：D變式69．（2024·黑龍江大慶·大慶實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點P為第一象限內(nèi)一點，且點P在雙曲線C的一條漸近線上，，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)雙曲線C的焦距為2c，由可得，所以，即，所以．故選：A．變式70．（2024·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C的方程為，斜率為的直線與圓相切于M，與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B，且M為AB中點，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】依題意，設(shè)直線的方程為，圓的方程可化為，即圓心坐標(biāo)為，半徑為，因為直線與圓相切于M，所以，由可化簡得，則直線的方程為，雙曲線C的兩條漸近線分別為，，由得，同理可得，因為M為AB中點，由中點坐標(biāo)公式可得，M在圓上，將M的坐標(biāo)代入圓方程可得，化簡整理得，從而可得，則雙曲線C的離心率.故選：B變式71．（2024·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知點在雙曲線上，到兩漸近線的距離為，，若恒成立，則的離心率的最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】雙曲線的漸近線方程為，即，設(shè)雙曲線上的點，所以，即則到兩條漸近線的距離分別為，，所以，又，因為恒成立，所以，整理得，即所以離心率，則的離心率的最大值為.故選：A.方向9：利用雙曲線第三定義變式72．（多選題）（2024·云南·羅平縣第一中學(xué)高二期中）已知雙曲線：的左焦點為，過點作的一條漸近線的平行線交于點，交另一條漸近線于點.若，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的漸近線方程為C．點到兩漸近線的距離的乘積為D．為坐標(biāo)原點，則【答案】ABD【解析】雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)過左焦點F的直線與直線平行，交C于點A.對于A：設(shè)雙曲線半焦距為c，過點與直線平行的直線的方程為，與聯(lián)立，解得，設(shè)，由，可得，所以，所以，即，所以雙曲線的離心率為，故選項A正確；對于B：由，可得，所以，所以漸近線方程為，故選項B正確；對于C：A到兩漸近線距離的乘積，故選項C錯誤；對于D：，所以，所以，故選項D正確．故選：ABD.變式73．（2024·湖南郴州·高二期末）雙曲線的左右頂點為，過原點的直線與雙曲線交于兩點，若的斜率滿足，則雙曲線的離心率為_________．【答案】【解析】由題意知：，，若為坐標(biāo)原點，則，，四邊形為平行四邊形，，即，；設(shè)，則，，雙曲線的離心率.故答案為：.變式74．（2024·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)直線與雙曲線相交于兩點，為上不同于的一點，直線的斜率分別為，若的離心率為，則（

）A．3 B．1 C．2 D．【答案】B【解析】由題意可知點關(guān)于原點對稱，設(shè)，則有，，都在雙曲線上，有，，兩式相減得，則，得，即，又由，則.故選：.變式75．（2024·江西南昌·統(tǒng)考三模）不與x軸重合的直線l經(jīng)過點，雙曲線上存在兩點關(guān)于l對稱，中點M的橫坐標(biāo)為，若，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】設(shè)，則，兩式相減得，即，即，所以，因為是AB垂直平分線，有，所以，即，化簡得，故.故選：C.方向10：利用對應(yīng)焦點焦半徑的取值范圍變式76．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點分別為.若雙曲線的右支上存在點，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為___________.【答案】【解析】依題意，點在雙曲線的右支，P不與雙曲線頂點重合，在中，由正弦定理得：，因，于是得，而點P在雙曲線M的右支上，即，從而有，點P在雙曲線M的右支上運動，并且異于頂點，于是有，因此，而，整理得，即，解得，又，故有，所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.故答案為：變式77．（2024·吉林長春·二模（文））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】由雙曲線定義可知，，，結(jié)合可得，從而，又因為雙曲線的離心率大于，所以雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.變式78．（2024·江蘇·金沙中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的焦距為，左、右焦點分別是，，點P在C的右支上，且，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由條件得，所以，即，又因為，所以，即，得，又，所以．故選：C變式79．（2024·山西·朔州市朔城區(qū)第一中學(xué)校高二開學(xué)考試）設(shè)雙曲線的左?右焦點分別為?，點P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為點在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義可得，又，所以，即，則，因為雙曲線中，，即，則，即，又雙曲線的離心率大于，所以.故選：A.變式80．（2024·湖南·衡陽市八中一模（文））已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為點P在雙曲線的右支上，所以因為，所以可得根據(jù)點P在雙曲線的右支上，可得所以，即所以雙曲線的離心率e的最大值為故選：C變式81．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線左支上一點，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線定義可得：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1|≥8a，當(dāng)且僅當(dāng)=|PF1|，即|PF1|=2a時取得等號.此時由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，，即可，又雙曲線的離心率，∴.故選:C.【解題方法總結(jié)】求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍．具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法．題型七：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題例19．（2024·上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)校考模擬預(yù)測）等軸雙曲線的焦距為.【答案】【解析】由題意得，，故，故，焦距為.故答案為：例20．（2024·四川自貢·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于B點，則的內(nèi)切圓的半徑為．【答案】【解析】雙曲線C：的左焦點為，到漸近線的距離,聯(lián)立方程組，解得可得，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，在中，，故答案為：.例21．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點為，過雙曲線上一點（）的直線與直線相交于點，與直線相交于點，則.【答案】【解析】因為在雙曲線，即有，又由得，由得，因此，，，則，所以.故答案為：變式82．（2024·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，存在過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，且為正三角形．試寫出一個滿足上述條件的雙曲線的方程：．【答案】（答案不唯一，符合題意即可）【解析】如圖，取，且x軸，可得，，即，為正三角形，符合題意，此時雙曲線的方程為.故答案為：.變式83．（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的焦距為4，焦點到C的一條漸近線的距離為1，則C的漸近線方程為【答案】【解析】由雙曲線對稱性得，一個焦點到兩條漸近線的距離相等，不妨取漸近線為，即，焦點為，則焦點到漸近線的距離，由焦距為4得，故，故C的漸近線方程為.故答案為：.變式84．（2024·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線（，）的一條漸近線恰好平分第一、三象限，若的虛軸長為4，則的實軸長為.【答案】4【解析】由題意可知，雙曲線的一條漸近線為直線，故，故其實軸長為.變式85．（2024·河北唐山·統(tǒng)考二模）已知直線：過雙曲線：的一個焦點，且與的一條漸近線平行，則的實軸長為．【答案】2【解析】直線與軸交點為，斜率為，由題意，解得，所以雙曲線的實軸長為．故答案為：2.變式86．（2024·北京房山·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于兩點，則.【答案】【解析】雙曲線的離心率為，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，一條漸近線與圓交于，兩點，圓的圓心，半徑為1，圓的圓心到直線的距離為：，所以．故答案為：．【解題方法總結(jié)】處理雙曲線的問題的時候，如果需要畫圖，注意作圖規(guī)范，結(jié)合圖象分析，另外因為雙曲線有兩條漸近線，所以要分清楚，到底是點在雙曲線上還是漸近線上，切勿搞混．題型八：利用第一定義求解軌跡例22．（2024·全國·高三對口高考）已知動圓P過點，且與圓外切，則動圓P圓心的軌跡方程為.【答案】，【解析】定圓的圓心為，與關(guān)于原點對稱，設(shè)動圓的半徑為，則有，因為與圓外切，所以，即，所以點的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的左支，則，，，所以軌跡方程為，，即，.故答案為：，例23．（2024·全國·高考真題）設(shè)P為雙曲線上一動點，O為坐標(biāo)原點，M為線段的中點，則點M的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)，，則，即，又，則，整理得，即點M的軌跡方程為.故答案為：例24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，則由題意可得，，相減可得，故點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，由題意可得，，，故點的軌跡方程為．故答案為：變式87．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，、是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上一點，是的平分線，過作的垂線，垂足為，則點的軌跡方程為．【答案】【解析】延長，交于，因為，，，所以，所以，所以，因為M是雙曲線C右支上一點，所以，又因為P是的中點，O是的中點，所以，所以P的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為2的圓的一部分，所以點P的軌跡方程為．故答案為：.變式88．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面內(nèi)兩定點，，動點M滿足，則點M的軌跡方程是.【答案】【解析】由題意知：，，故M的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，由可得，故點M的軌跡方程是.故答案為：.變式89．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若動圓與兩定圓及都外切，則動圓圓心的軌跡方程是.【答案】【解析】設(shè)圓為可得圓心，半徑，設(shè)圓為可得圓心，半徑，且，設(shè)動圓圓心為，半徑為，因為動圓同時與圓外切和圓外切，所以，，所以，所以點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的左支，所以，，，所以動圓的圓心的軌跡方程為：.故答案為：.變式90．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：和圓：，動圓M同時與圓及圓外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為.【答案】【解析】由題，設(shè)動圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,當(dāng)動圓與圓，圓外切時,,,所以,因為圓心,，即，又根據(jù)雙曲線的定義，得動點的軌跡為雙曲線的上支，其中，，所以,則動圓圓心的軌跡方程是；故答案為：變式91．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知A(－5，0)，B(5，0)，動點P滿足，，8成等差數(shù)列，則點P的軌跡方程為.【答案】【解析】由已知得，∴點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支，設(shè)雙曲線的方程為則a＝4，b＝3，c＝5，∴點P的軌跡方程為．故答案為：﹒變式92．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點，，，動圓與直線切于點，分別過點且與圓相切的兩條直線相交于點，則點的軌跡方程為.【答案】【解析】如圖所示：設(shè)PM，PN分別與圓C相切與R，Q，由圓的切線長定理得PQ=PR，MR=MB，NQ=NB，所以PM-PN=RM-QN=MB-NB=2<MN，所以點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，且c=3，a=1，所以點的軌跡方程為故答案為：變式93．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若動圓過定點且和定圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程是.【答案】【解析】設(shè)動圓的半徑為，則有，再由兩圓外切得到，進(jìn)而得到，再利用雙曲線的定義求解.定圓的圓心為，與關(guān)于原點對稱，設(shè)動圓的半徑為，則有，因為兩圓外切，所以，即，所以點的軌跡是以A，C為焦點的雙曲線的左支，則，，，所以軌跡方程為故答案為：變式94．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點是雙曲線右支上一動點，是雙曲線的左、右焦點，動點滿足下列條件：①，②，則點的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)動點的坐標(biāo)為，延長交于點，由條件②知點在的角平分線上，結(jié)合條件①知，所以在中，.又平分，所以為等腰三角形，即，.因為點為雙曲線上的點，所以，即，所以.又在中，為的中點，為的中點，所以，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，由雙曲線的性質(zhì)及角平分線定理可得點Q應(yīng)在兩條漸近線之間且橫坐標(biāo)大于0，點作漸近線的垂線垂足橫坐標(biāo)為，所以點的軌跡方程為.故答案為：.變式95．（2024·河北張家口·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓：和點，是圓上一點，線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡方程是.【答案】【解析】∵在的中垂線上，∴，∴，又，∴點軌跡是以為焦點，實軸長為6的雙曲線，∴，，又關(guān)于原點對稱，∴點軌跡方程為．故答案為：．變式96．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，A為動點，B，C為定點，(a>0)，且滿足條件sinC－sinB＝sinA，則動點A的軌跡方程是．【答案】(x>0且y≠0)【解析】由sinC－sinB＝sinA，利用正弦定理得(R為外接圓半徑)，所以|AB|－|AC|＝|BC|=，可得動點的軌跡為雙曲線，為雙曲線右支(除去右頂點)．且實軸長為,虛軸，焦點為，所以方程為(x>0且y≠0).故答案為(x>0且y≠0).變式97．（2024·全國·統(tǒng)考一模）設(shè)?是雙曲線的左右焦點，是雙曲線上任意一點，過作平分線的垂線，垂足為，則點的軌跡方程是