第12講、函數(shù)與方程（教師版）

[在此處鍵入]第12講函數(shù)與方程知識(shí)梳理一、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).三、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.五、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點(diǎn).（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.【解題方法總結(jié)】函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧:①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn).②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào).③連續(xù)不斷的函數(shù)通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào).④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn)，不一定能推出.必考題型全歸納題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間【例1】（2024·廣西玉林·博白縣中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則，于是，即，而函數(shù)是奇函數(shù)，則有，所以.故選：D【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以，即，故，則．故選：D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)依次為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于，顯然是增函數(shù)，，所以的唯一零點(diǎn)；對(duì)于，顯然也是增函數(shù)，，所以的唯一零點(diǎn)；對(duì)于，顯然也是增函數(shù)，，所以的唯一零點(diǎn)；；故選：A.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若是方程的一個(gè)解，則可能存在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)解，所以是方程的解，令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞增，又，所以.故選：C.【解題總結(jié)】求函數(shù)零點(diǎn)的方法：（1）代數(shù)法，即求方程的實(shí)根，適合于宜因式分解的多項(xiàng)式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).題型二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍【例2】（2024·山西陽(yáng)泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵和在上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù)，∴只需即可，即，解得.故選：D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是奇函數(shù)，∴，，，易知在上是增函數(shù)，∴有唯一零點(diǎn)0，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，∴在上有解，，∴．故選：A．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)，則，此時(shí)，則，令，當(dāng)時(shí)，，記，則，所以在上遞增，在上遞減，故,所以，所以的最大值為.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍___________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，，，故，由零點(diǎn)存在性定理知：在區(qū)間上至少有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間至少有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以，，?dāng)時(shí)，，，遞增，當(dāng)時(shí)，，，遞減，故在上遞增，在上遞減，又，即在上，，故在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)．所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有零點(diǎn).令，，可知為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有零點(diǎn).又當(dāng)時(shí)，，符合題意，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍．故答案為：．【解題總結(jié)】本類問(wèn)題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.題型三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題【例3】（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則________.【答案】4【解析】由，即，即，令，則，即，即.由，得，設(shè)函數(shù)，顯然該函數(shù)增函數(shù)，又，所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，因此，即，所以.故答案為：4.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·新疆·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有，解得，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，解得或，且有，，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；又因?yàn)?，，所以，存在一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)，所以不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得或，且有，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；又因?yàn)?，，所以，存在一個(gè)負(fù)數(shù)零點(diǎn)，要使存在唯一的零點(diǎn)，則滿足，解得或，又因?yàn)椋?，綜上，的取值范圍是．故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍∮腥齻€(gè)不同的零點(diǎn)，函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即有三個(gè)解，而無(wú)解，故.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如下圖，當(dāng)時(shí)，與必有1個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，即，即令在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如下圖，

當(dāng)時(shí)，必有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，所以，即在上有根，令故，解得：.綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若曲線有兩條過(guò)的切線，則a的范圍是______.【答案】【解析】設(shè)切線切點(diǎn)為，因，則切線方程為：.因過(guò)，則，由題函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn).，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，.據(jù)此可得大致圖象如下.則由圖可得，當(dāng)時(shí)，曲線有兩條過(guò)的切線.故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·天津北辰·統(tǒng)考三模）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】令，因?yàn)楹瘮?shù)有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，又有三個(gè)零點(diǎn)，所以必須有兩個(gè)零點(diǎn)，且其零點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)不相等，且函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)均為函數(shù)的零點(diǎn)，由可得，，所以，所以為函數(shù)的零點(diǎn)，即，所以，令，可得，由已知有兩個(gè)根，設(shè)，則有兩個(gè)正根，所以，，所以，故，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，設(shè)其根為，，則，設(shè)，則，，所以，令，則，則，，且，，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的零點(diǎn)，又也為函數(shù)的零點(diǎn)，且與互不相等，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則___________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，故，即，?由，得.令，因?yàn)樵龊瘮?shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，故，解得，則.故答案為：【解題總結(jié)】方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題，可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定，但是要確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.題型四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題【例4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，由可得，所以，關(guān)于的方程、共有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.①先討論方程的解的個(gè)數(shù).當(dāng)時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，由，可得，所以，方程只有兩解和；②下面討論方程的解的個(gè)數(shù).當(dāng)時(shí)，由可得，可得或，當(dāng)時(shí)，由，可得，此時(shí)方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，不合乎題意，當(dāng)時(shí)，由可得，因?yàn)?，由題意可得或或，解得或.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)滿足（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【解析】令，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由于方程至多兩個(gè)實(shí)根，設(shè)為和，由圖象可知，直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0?2?3?4，由于關(guān)于x的方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則關(guān)于u的二次方程的一根為，則，則方程的另一根為，直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)必為4，則，解得.所以且.故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·四川資陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）定義在R上函數(shù)，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且則關(guān)于x的方程()有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則n的所有可能的值為A．2 B．4C．2或4 D．2或4或6【答案】B【解析】∵函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴是奇函數(shù)，時(shí)，在上遞減，在上遞增，作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知的解的個(gè)數(shù)是1，2，3.或時(shí)，有一個(gè)解，時(shí)，有兩個(gè)解，時(shí)，有三個(gè)解，方程中設(shè)，則方程化為，其判別式為恒成立，方程必有兩不等實(shí)根，，，，兩根一正一負(fù)，不妨設(shè)，若，則，，和都有兩個(gè)根，原方程有4個(gè)根；若，則，，∴，，有三個(gè)根，有一個(gè)根，原方程共有4個(gè)根；若，則，，∴，，有一個(gè)根，有三個(gè)根，原方程共有4個(gè)根．綜上原方程有4個(gè)根．故選：B.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為A． B．或 C．或 D．或或【答案】A【解析】在和上單增，上單減，又當(dāng)時(shí)，時(shí)，故的圖象大致為：令，則方程必有兩個(gè)根，且，不仿設(shè)，當(dāng)時(shí)，恰有，此時(shí)，有個(gè)根，，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)無(wú)根，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)有個(gè)根，，有個(gè)根，綜上，對(duì)任意，方程均有個(gè)根，故選A.【解題總結(jié)】2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過(guò)參變分離減少運(yùn)算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實(shí)．題型五：函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題【例5】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，函數(shù)g（x）=ax-3的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為，即，若函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則等價(jià)為在上有解，即，在上有解，由，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，取得極小值同時(shí)也是最小值，且，即，當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)，要使得有解，則當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，得，過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得，綜上可得．故選C．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，的圖象如下，由圖可知，當(dāng)時(shí)，與無(wú)交點(diǎn)，即無(wú)零點(diǎn)．故選：D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，且，關(guān)于軸對(duì)稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，根據(jù)已知得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即方程在上有解，即在上有解．令，，則，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，由于，，且，所以．故選：A．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)上一點(diǎn)，，且關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，在上，有解，即有解．令，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，，，有解等價(jià)于與圖象有交點(diǎn)，

．故選：B【解題總結(jié)】題型六：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型【例6】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)所以有解即有解令，則因?yàn)?，且由圖象可知，所以所以在上單調(diào)遞減，令得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減所以且當(dāng)時(shí)所以的取值范圍為函數(shù)的值域，即故選：A【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024·湖北·高三校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，∵函?shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，∴方程有解，即有解．令，則，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．∴．又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．要使方程有解，則需滿足，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024·福建廈門(mén)·廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？家荒＃┤糁辽俅嬖谝粋€(gè)，使得方程成立．則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【解析】原方程化簡(jiǎn)得:有解,令,,當(dāng)時(shí),,所以f(x)在單調(diào)遞減,當(dāng)x<e時(shí),,所以f(x)在單調(diào)遞增..所以.選B.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意得，函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，且，可構(gòu)造函數(shù)和，因?yàn)?，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以為單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增；而，則，由于，所以為單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增；可知函數(shù)及均在處取最小值，所以在處取最小值，又因?yàn)楹瘮?shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，只需即可，即：解得：.故選：D.【解題總結(jié)】分類討論數(shù)學(xué)思想方法題型七：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)題【例7】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】設(shè)，定義域?yàn)镽,∴，故函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∵有唯一零點(diǎn)，∴，即．故選：D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，記，則，令則，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)橹挥形ㄒ坏牧泓c(diǎn)，所以零點(diǎn)只能是于是故選：C【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為A．或 B．1或 C．或2 D．或1【答案】A【解析】已知，①且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則，得：，②①+②得：，由于關(guān)于對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，由于有唯一零點(diǎn)，則必有，，即：，解得：或.故選：A.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則負(fù)實(shí)數(shù)A． B． C． D．或【答案】A【解析】函數(shù)有唯一零點(diǎn)，設(shè)則函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則設(shè)∴為偶函數(shù)，∵函數(shù)有唯一零點(diǎn)，∴與有唯一的交點(diǎn)，∴此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，解得或（舍去），故選A．【解題總結(jié)】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.題型八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題【例8】（2024·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】存在兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系中繪制兩個(gè)函數(shù)的圖象：由圖可知，保證兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足，解得：故選：A.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，求導(dǎo)由反比例函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，且，，故在內(nèi)必有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；令，解得或2，可作出函數(shù)的圖像，令，即，在之間解得或或，作出圖像如下圖數(shù)形結(jié)合可得：，故選：A【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2024·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，且定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為奇函數(shù)，所以我們求出時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，，，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，而，故在有1零點(diǎn)，，故在上有1零點(diǎn)，圖像大致如圖所示：故在上有2個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)槠錇槠婧瘮?shù)，則其在上也有2個(gè)零點(diǎn)，且，故共5個(gè)零點(diǎn)，故選：D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，在上至多個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意，所以，.函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，所以，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，由題意可得，解得，此時(shí)不存在；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，則函數(shù)在上只有個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，不合乎題意；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，此時(shí)；④當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，此時(shí)，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【解題總結(jié)】已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.題型九：零點(diǎn)嵌套問(wèn)題【例9】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn).其中，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】令，則，故當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，可得處取得最小值，，，畫(huà)出的圖象，由可化為，故結(jié)合題意可知，有兩個(gè)不同的根，故，故或，不妨設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，，①若，，與相矛盾，故不成立；②若，則方程的兩個(gè)根，一正一負(fù)；不妨設(shè)，結(jié)合的性質(zhì)可得，，，，故又，，．故選：A．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，（其中），則的值為A． B． C．-1 D．1【答案】D【解析】令f（x）=0，分離參數(shù)得a=令h（x）=由h′（x）=得x=1或x=e．當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上為減函數(shù)，在（1，e）上為增函數(shù)．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=則a=即μ2+（a-1）μ+1-a=0，μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，對(duì)于μ=，則當(dāng)0＜x＜e時(shí)，μ′＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，μ′＜0．而當(dāng)x＞e時(shí)，μ恒大于0．不妨設(shè)μ1＜μ2，則μ1=，=（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．故選D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024·遼寧·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則的值為（

）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9【答案】A【解析】∴∴令，，則，∴令，解得∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；∴，，∴a﹣3∴.設(shè)關(guān)于t的一元二次方程有兩實(shí)根，，∴，可得或.∵，故∴舍去∴6，.又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由于，∴，（不妨設(shè)）.∵，可得，，.則可知，.∴.故選：A.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足有三個(gè)不同的零點(diǎn)且則的值是（

）A．81 B．-81 C．9 D．-9【答案】A【解析】由有三個(gè)不同的零點(diǎn)知：有三個(gè)不同的實(shí)根，即有三個(gè)不同實(shí)根，若，則，整理得，若方程的兩根為，∴，而，∴當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增；即當(dāng)時(shí)有極小值為，又，有，即.∵方程最多只有兩個(gè)不同根，∴，即，，∴.故選：A【解題總結(jié)】解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.題型十：等高線問(wèn)題【例10】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)①若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，則的取值范圍是②若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，則的取值范圍是③若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是④方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)只能是1，2，3，6四個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對(duì)于①：作出的圖像如下：若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，則，不妨設(shè)，則，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以，，所以，所以，所以，故①正確；對(duì)于②：由上可知，，，且，所以，所以，，所以，所以，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因?yàn)楹氵^(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)最多2個(gè)交點(diǎn)，所以，當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，即，所以，解得，所以，所以，所以當(dāng)與相切時(shí)，即時(shí)，此時(shí)有4個(gè)交點(diǎn)，若有4個(gè)實(shí)數(shù)根，即有4個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)由圖可知只有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，，則，則當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，，又及對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)可知，當(dāng)無(wú)限大時(shí)，即在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即有5個(gè)實(shí)數(shù)根，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：，所以，所以或，由圖可知，當(dāng)時(shí)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，當(dāng)，0時(shí)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，當(dāng)時(shí)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，當(dāng)時(shí)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，所以若時(shí)，則，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，若時(shí)，則，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)，若，則，交點(diǎn)有個(gè)，若且時(shí)，則且，交點(diǎn)有個(gè)，若，交點(diǎn)有1個(gè)，綜上所述，交點(diǎn)可能有1，2，3，6個(gè)，即方程不同實(shí)數(shù)根1，2，3，6，故④正確；故選：B．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.先作圖象，由圖象可得因此為，，從而.故選：A【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】（2024·四川瀘州·高一四川省瀘縣第四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，滿足，則，即：，所以，，所以，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得：，，考慮函數(shù)單調(diào)遞增，，所以時(shí)的取值范圍為.故選：A【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝，若互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），則的取值范圍是（

）A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6）【答案】A【解析】畫(huà)出分段函數(shù)f(x)＝的圖像如圖：令互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），則x1∈，x2∈（0，1），x3∈（1，2），則＝1+t+1﹣t+22t﹣2＝2+22t﹣2，又t∈（0，），∴∈（）．故