第1講、集合（教師版）

[在此處鍵入]第1講集合知識(shí)梳理1、元素與集合（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：和.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.（4）常見(jiàn)數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)或說(shuō)明：①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.集合應(yīng)滿足.③無(wú)序性：組成集合的元素間沒(méi)有順序之分。集合和是同一個(gè)集合.④列舉法把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.2、集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本運(yùn)算（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對(duì)于全集的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合的補(bǔ)集，記作，即．4、集合的運(yùn)算性質(zhì)（1），，．（2），，．（3），，．【解題方法總結(jié)】（1）若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．必考題型全歸納題型一：集合的表示：列舉法、描述法例1．（2024·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知集合，，則集合B中所有元素之和為（

）A．0 B．1 C．－1 D．【答案】C【解析】根據(jù)條件分別令，解得，又，所以，，所以集合B中所有元素之和是，故選：C．例2．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）對(duì)于兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合和，我們把集合記作.若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】，則，則中元素的個(gè)數(shù)為故選：C例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義集合且.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．5 C．4 D．7【答案】C【解析】根據(jù)題意，因?yàn)椋?，所?故選：C.【解題總結(jié)】1、列舉法，注意元素互異性和無(wú)序性，列舉法的特點(diǎn)是直觀、一目了然.2、描述法，注意代表元素.題型二：集合元素的三大特征例4．（2024·北京海淀·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】C【解析】設(shè)集合，若，，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；所以或.故選：C例5．（2024·江西·金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，故選：A例6．（2024·北京東城·統(tǒng)考一模）已知集合，且，則a可以為（

）A．－2 B．－1 C． D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，可知，故A、C、D錯(cuò)誤；，故B正確.故選：B【解題方法總結(jié)】1、研究集合問(wèn)題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無(wú)序性。2、研究?jī)蓚€(gè)或者多個(gè)集合的關(guān)系時(shí)，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系。題型三：元素與集合間的關(guān)系例7．（2024·河南·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，若，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，且，解得，故選：B例8．（2024·吉林延邊·統(tǒng)考二模）已知集合的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．0 C．或0 D．無(wú)解【答案】C【解析】集合有一個(gè)元素，即方程有一解，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，有一解，則，解得：，綜上可得：或，故選：C.例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，則A中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】由橢圓的性質(zhì)得，又,所以集合共有11個(gè)元素.故選：C【解題方法總結(jié)】1、一定要牢記五個(gè)大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別．2、當(dāng)集合用描述法給出時(shí)，一定要注意描述的是點(diǎn)還是數(shù)，是還是．題型四：集合與集合之間的關(guān)系例10．（多選題）（2024·山東濰坊·統(tǒng)考一模）若非空集合滿足：，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由可得：，由，可得，則推不出，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由可得，故選項(xiàng)正確；因?yàn)榍遥?，則，故選項(xiàng)正確；由可得：不一定為空集，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：.例11．（2024·江蘇·統(tǒng)考一模）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，因?yàn)?，所以集合是由所有奇?shù)的一半組成，而集合是由所有整數(shù)的一半組成，故.故選：B例12．（2024·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意集合，，若，則，此時(shí)，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故,故；若，則，此時(shí)，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故,故；若，則，此時(shí)，滿足,綜合以上可得，故選：C例13．（2024·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】集合，.要使，只需，解得：.故選：A【解題方法總結(jié)】1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.2、判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：（1）定義法進(jìn)行判斷（2）數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行判斷題型五：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算例14．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，則，故集合的元素個(gè)數(shù)為.故選：B.例15．（2024·河北張家口·統(tǒng)考二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，即，，所以，，，所以，.故選：C.例16．（2024·廣東·統(tǒng)考一模）已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，選項(xiàng)A中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；選項(xiàng)B中Venn圖中陰影部分表示，符合題意；選項(xiàng)C中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；選項(xiàng)D中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意，故選：B例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來(lái)精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國(guó)大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國(guó)大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開國(guó)大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國(guó)大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒(méi)有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為________.【答案】3【解析】把大學(xué)社團(tuán)50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國(guó)大典》三支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，依題意，作出韋恩圖，如圖，觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有21人，則只看了《青春之歌》的有(人)，因觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，則只看了《建黨偉業(yè)》的有(人)，因觀看了《開國(guó)大典》的有26人，則只看了《開國(guó)大典》的有(人)，因此，至少看了一支短視頻的有(人)，所以沒(méi)有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為.故答案為：3【解題方法總結(jié)】1、注意交集與并集之間的關(guān)系2、全集和補(bǔ)集是不可分離的兩個(gè)概念題型六：集合與排列組合的密切結(jié)合例18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】不妨設(shè)，則的值為，顯然，，所以集合Y中至少有以上5個(gè)元素，不妨設(shè)，則顯然，則集合S中至少有7個(gè)元素，所以不可能，故排除A選項(xiàng)；其次，若，則集合Y中至多有6個(gè)元素，則，故排除B項(xiàng)；對(duì)于集合T，取，則，此時(shí)，，故D項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)而言，，則與一定成對(duì)出現(xiàn)，，所以一定是偶數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.例19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A，B滿足，若，且，表示兩個(gè)不同的“AB互襯對(duì)”，則滿足題意的“AB互襯對(duì)”個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．4 C．27 D．8【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，集合B可以為；當(dāng)時(shí)，集合B可以為；當(dāng)時(shí)，集合B可以為；當(dāng)時(shí)，集合B可以為；當(dāng)時(shí)，集合B可以為；當(dāng)時(shí)，集合B可以為；當(dāng)時(shí)，集合B可以為；當(dāng)時(shí)，集合B可以為.故滿足題意的“AB互襯對(duì)”個(gè)數(shù)為27.故選：C例20．（2024·北京·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個(gè)數(shù)最多為（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【解析】對(duì)于條件①，②，必有，若集合中所有的元素是由公差為的等差數(shù)列構(gòu)成，例如，集合中有個(gè)元素，又則該集合滿足條件①②，不符合條件③，故符合條件③的集合中元素個(gè)數(shù)最多不能超過(guò)10個(gè)，故若要集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，最多有10個(gè)元素，例如.故選：B.【解題方法總結(jié)】利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個(gè)數(shù)的問(wèn)題，需要運(yùn)用分析與轉(zhuǎn)化的思想方法題型七：集合的創(chuàng)新定義例21．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合，定義，且．若，，將集合中的元素從小到大排列得到數(shù)列，則（

）A．55 B．76 C．110 D．113【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以．相?dāng)于集合中除去形式的數(shù)，其前45項(xiàng)包含了15個(gè)這樣的數(shù)，所以．則，故選：C.例22．（多選題）（2024·河南安陽(yáng)·安陽(yáng)一中?？寄M預(yù)測(cè)）由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)史稱戴德金分割，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（

）A．是一個(gè)戴德金分割B．M沒(méi)有最大元素，N有一個(gè)最小元素C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素D．M沒(méi)有最大元素，N也沒(méi)有最小元素【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則滿足戴德金分割，此時(shí)M沒(méi)有最大元素，N有一個(gè)最小元素0，故B正確；對(duì)于C，若M有一個(gè)最大元素，設(shè)為a，N有一個(gè)最小元素，設(shè)為b，則，則，而內(nèi)也有有理數(shù)，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則滿足戴德金分割，此時(shí)M沒(méi)有最大元素，N也沒(méi)有最小元素，故D正確，故選：BD例23．（2024·湖北·統(tǒng)考二模）已知X為包含v個(gè)元素的集合（，）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個(gè)元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集中，則稱組成一個(gè)v階的Steiner三元系．若為一個(gè)7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為_____________．【答案】7【解析】由題設(shè)，令集合，共有7個(gè)元素，所以的三元子集，如下共有35個(gè)：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，因?yàn)橹屑蠞M足X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集，所以中元素滿足要求的有：、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，共有7個(gè)；、、、、、、，